高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊課時過程性評價六向量的數量積(2)含答案六向量的數量積(2)(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·哈爾濱高一檢測)已知向量a,b,c均為任意向量,m為任意實數,則下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)【解析】選D.對于A,由向量加法結合律知,(a+b)+c=a+(b+c)成立,A正確,不符合題意;對于B,由數量積的分配律知,(a+b)·c=a·c+b·c成立,B正確,不符合題意;對于C,由數乘向量的分配律知,m(a+b)=ma+mb成立,C正確,不符合題意;對于D,(a·b)·c表示一個與c共線的向量,a·(b·c)表示一個與a共線的向量,而a,c是任意的向量,因此(a·b)·c與a·(b·c)不一定相等,D錯誤,符合題意.2.(5分)(2024·廊坊高一檢測)已知單位向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-45,則a·b=(A.12 B.13 C.15 【解析】選C.因為(a+2b)·(a-b)=a2-2b2+a·b=1-2+a·b=-45,所以a·b=13.(5分)(2024·珠海高一檢測)已知|a|=|b|=1,且|a-b|=3,則向量a,b的夾角為()A.120° B.90° C.60° D.30°【解析】選A.設a,b的夾角為θ,由|a-b|=3可得,(a-b)2=a2+b2-2a·b=3,所以a·b=-12,所以cosθ=a·b|a||b|=-124.(5分)(2024·東莞高一檢測)已知向量a,b的夾角為5π6,且|a|=3,|b|=1,則|a+2b|=(A.1 B.3 C.2 D.13【解析】選A.|a+2b|=(a+2=3+4×3×1×cos5.(5分)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=2i+3j,b=ki-4j,若a⊥b,則k的值是()A.6 B.-6 C.3 D.-3【解析】選A.因為i⊥j,所以i·j=0,若a⊥b,則a·b=(2i+3j)·(ki-4j)=2k|i|2-12|j|2=2k-12=0,解得k=6.6.(5分)(多選)(2024·廈門高一檢測)已知e1,e2是兩個互相垂直的單位向量,a=e1-2e2,b=2e1+e2,則下列結論中正確的有()A.|a|=5B.a⊥bC.|a-b|=13D.a與a-b的夾角θ為π【解析】選BD.a·b=(e1-2e2)·(2e1+e2)=2e12-2e22-3e1|a|=e112+4×1|b|=4e4×12+|a-b|=a2+bcosθ=a·(a-b)|a所以a與a-b的夾角θ為π4,故BD正確,AC錯誤【補償訓練】(多選)已知e1,e2是夾角為2π3的單位向量,且a=e1+e2,b=e1-e2,則(A.a+b在b上的投影向量為bB.|b|=3C.(a·e1)·e2=(a·e2)·e1D.a與b的夾角為2π【解析】選AB.對于A,B,a+b=2e1,b=e1-e2,則|a+b|=2,|b|=(e1-e2)2=2-2e1·e2=2-2×(-12)=3,(a+b)·b=2e1·(e1-e2則cosθ=(a+b)·b所以a+b在b上的投影向量為|a+b|cosθb|b|=2×32×13b=b對于C,(a·e1)·e2=[(e1+e2)·e1]·e2=12e2,(a·e2)·e1=[(e1+e2)·e2]·e1=12e1,故C對于D,設a,b夾角為α,則cosα=a·b|a||b|=0,所以a與b7.(5分)(2024·沈陽高一檢測)已知向量|a|=2,|b|=3,且a·b=1,則|2a+b|=____________________.

答案:29【解析】因為|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4×22+4×1+32=29,所以|2a+b|=29.8.(5分)(2024·濱州高一檢測)已知平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,且b⊥(a-b),則向量a與b的夾角的大小為____________.

答案:π【解析】由b⊥(a-b),所以b·(a-b)=0,即b·a-b2=0,因為|a|=2,|b|=3,所以b·a=3,設向量a,b的夾角為θ(0≤θ≤π),所以cosθ=a·b|a||b|=32×9.(5分)(2024·石家莊高一檢測)已知a,b為平面向量,|b|=2.若a在b方向上的投影向量為b2,則(a-b)·b=【分析】先設a,b的夾角為θ,由a在b方向上的投影向量為b2,求得|a|cosθ=1,進而求得a·b的值,則(a-b)·b可求得答案:-2【解析】設a,b的夾角為θ,因為a在b方向上的投影向量為b2,|b所以b2=|a|cosθ·b|b|,得|a從而a·b=|a|·|b|cosθ=1×2=2.(a-b)·b=a·b-b2=2-4=-2.10.(10分)(2024·東莞高一檢測)已知|a|=2,|b|=3,(a+b)·b=8.(1)求|a+b|;(2)當k為何值時,ka-b與a+2b垂直;(3)求向量a與a+b的夾角的余弦值.【解析】(1)依題意,(a+b)·b=a·b+b2=a·b+9=8,a·b=-1,所以|a+b|=(a+b)2=a(2)若ka-b與a+2b垂直,則(ka-b)·(a+2b)=ka2+(2k-1)·a·b-2b2=4k-(2k-1)-18=2k-17=0,解得k=172(3)a·(a+b)=a2+a·b=4-1=3,設向量a與a+b的夾角為θ,則cosθ=a·(a+b)【補償訓練】a,b的夾角為120°,|a|=1,|b|=3.(1)求|5a-b|;(2)若a+λb與λa-b互相垂直,求λ.【解析】(1)因為a,b的夾角為120°,|a|=1,|b|=3,所以|5a-b|2=25|a|2-10a·b+|b|2=25×12-10×1×3×cos120°+32=25-30×-12+9=49,故|5a-b|=7.(2)若a+λb與λa-b互相垂直,則(a+λb)·(λa-b)=0,即λ|a|2+(λ2-1)a·b-λ|b|2=0.所以λ+(λ2-1)|a||b|cos120°-9λ=0,整理得λ-32(λ2-1)-9λ即3λ2+16λ-3=0,解得λ=-8±73【綜合應用練】11.(5分)在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,E是CD上一點,且·=1,則·的值為()A.3 B.2 C.32 D.【解析】選B.設與的夾角為θ,則與的夾角為π2-θ,又∥,故有與夾角為π2-θ,如圖:因為·=||·||·cosθ=3||·cosθ=1,所以||·cosθ=33,所以·=||cosπ2-θ=||sinθ=1,所以·=·(+)=·+·=1+1=2.12.(5分)(多選)已知a,b為平面上的單位向量,且|a+b|=2|a-b|,則()A.向量a與b的夾角的余弦值為3B.|a-b|=2C.(a+2b)⊥(2a-b)D.向量a-b在向量a上的投影向量為25【解析】選ABD.由題意知|a|=|b|=1,且|a+b|=2|a-b|,故|a+b|2=4|a-b|2,即2+2a·b=8-8a·b,所以a·b=35,設a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a|a-b|2=2-2a·b=2-2×35=4故|a-b|=255,B(a+2b)·(2a-b)=2a2+3a·b-2b2=3a·b=95≠0,故a+2b,2a-b不垂直,C錯誤向量a-b在向量a上的投影向量為(a-b)·a|a|·a|a|=(a2-13.(5分)(2024·重慶高一檢測)已知向量a,b,|a|=2,|b|=5,a與b的夾角為2π3,則|a+xb|的值最小時,實數x的值為答案:1【解析】|a+xb|=a=4+25=25x由于25x2-10x+4=25x-152+3,故當x=15時,此時|a+xb|=25x2【補償訓練】已知非零向量a,b滿足|a|=2,且a與b的夾角為2π3,則|a+2b|的最小值為(A.2 B.3 C.2 D.1【解析】選B.因為|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=4|b|2-4|b|+4=(2|b|-1)2+3≥3,所以|a+2b|≥3,當且僅當|b|=12時,等號成立14.(10分)(2024·滄州高一檢測)如圖,在△ABC中,點D在線段BC上,且=14.(1)用向量,表示;(2)若·=8·,求ACAB的值.【解析】(1)=+=+14=+14(+)=34+14.(2)·=-34+14·14-=-116(3--2·).因為·=8·,所以·=-32+12+·,則-32+12=0,即=3,所以ACAB=3.15.(10分)已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°.若c=λa+b與d=a+2b的夾角為銳角,求實數λ的取值范圍.【解析】由題意知,a·b=|a||b|cos60°=1×2×12=1,因為c與d的夾角為銳角,所以c·d>0且c,d不共線,假設c,d共線,則存在實數k使得λa+b=ka+2kb,由題知,a,b不共線,所以λ=k1=2k,所以λ=若c,d不共線,則λ≠12c·d>0,即(λa+b)·(a+2b)>0,所以λ|a|2+(2λ+1)a·b+2|b|2>0,即λ+(2λ+1)+8>0,得λ>-3.綜上,λ>-3且λ≠12所以λ的取值范圍為(-3,12)∪(1七平面向量基本定理(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·周口高一檢測)設{e1,e2}是平面內一個基底,則下面四組向量中,能作為基底的是()A.e1-e2與e2-e1B.2e1+3e2與-4e1-6e2C.e1+2e2與2e1-e2D.-12e1+18e2與e1-1【解析】選C.對于A,設e1-e2=λ(e2-e1),可得λ=-1,所以向量e1-e2與e2-e1共線,所以A不符合題意;對于B,設2e1+3e2=μ(-4e1-6e2),可得μ=-12,所以向量2e1+3e2與-4e1-6e2共線,所以B不符合題意對于C,設e1+2e2=x(2e1-e2),可得1=2x2=-x所以向量e1+2e2與2e1-e2不共線,可以作為一個平面基底,所以C符合題意;對于D,設-12e1+18e2=y(e1-14e2),可得y=-12,所以向量-12e1+18e2與e1-14e2.(5分)(2024·深圳高一檢測)在梯形ABCD中,設=a,=b,若=-2,則=()A.12a+b B.-12aC.a+12b D.a-1【解析】選A.=+=b+12=b+12a.3.(5分)(2024·泰州高一檢測)如圖,向量a-b等于()A.-2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.-e1+3e2【解析】選D.如圖所示,a-b=-b-(-a)==-e1+3e2.4.(5分)(2024·鄭州高一檢測)在平行四邊形ABCD中,點E滿足=4,=λ+μ(λ,μ∈R),則λμ=()A.-316 B.-38 C.316 【解析】選A.因為=4,則-=4(-),整理得=14+34=14-34,可得λ=14,μ=-3所以λμ=14×-34=-3165.(5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,M,N分別在BC,CD上,且滿足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,則△AMN的形狀是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形【解析】選C.因為·=(+)·(+)=+34·13-14=13||2-316||2=13×9-316所以AN⊥MN,所以△AMN是直角三角形.6.(5分)(多選)如果{e1,e2}是平面α內所有向量的一個基底,那么下列說法正確的是()A.若存在實數λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0B.對平面α內任一向量a都可以表示為a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈RC.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α內D.對于平面α內任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實數λ1,λ2有無數對【解析】選AB.平面內的任一向量都可以用基底表示;C錯誤,在平面α內任一向量都可表示為λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α內;D錯誤,這樣的λ1,λ2是唯一的,而不是無數對.7.(5分)(2024·濰坊高一檢測)已知{a,b}是平面向量的一個基底,實數x,y滿足3a+4b=(x-1)a+(2-y)b,則x+y=____________.

答案:2【解析】因為{a,b}是平面向量的一個基底,且3a+4b=(x-1)a+(2-y)b,所以x-1=32-y=4所以x+y=4+(-2)=2.8.(5分)(2024·運城高一檢測)如圖,在平行四邊形ABCD中,E是BC的中點,G為AC與DE的交點,若=a,=b,則用a,b表示=______________.

【分析】在平行四邊形ABCD中,易證△AGD∽△CGE,又E是BC的中點,可得=23,進而可得=-=23-=23(+)-,化簡即可.答案:23b-1【解析】在平行四邊形ABCD中,易證△AGD∽△CGE,又E是BC的中點,所以CEAD=12=CGAG,所以=2所以=-=23-=23(+)-=23-13=23b-139.(5分)(2024·天津高一檢測)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,且AC=BC=3,點M滿足=2,則·=__________.

答案:3【解析】因為∠ACB=90°,所以·=0,因為=2,所以=+=+13=+13(-)=13+23,則·=13+23·=13=3.10.(10分)設e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)證明:{a,b}可以作為一個基底;(2)以{a,b}為基底表示向量c=3e1-e2.【解析】(1)假設a=λb(λ∈R),則e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共線,得λ=1,3所以λ不存在.故a與b不共線,可以作為一個基底.(2)設c=ma+nb(m,n∈R),則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以m+n所以c=2a+b.【補償訓練】如圖所示,在△ABC中,M是AB的中點,且=13,BN與CM相交于點E,設=a,=b,試用基底{a,b}表示向量.【解析】方法一:易得=13=13b,=12=12a,由N,E,B三點共線可知,存在實數m使=m+(1-m)=13mb+(1-m)a.由C,E,M三點共線可知,存在實數n使=n+(1-n)=12na+(1-n)b.所以13mb+(1-m)a=12na+(1-n)b,由于{a,b}為基底,解得m=35,n=45,方法二:因為C,E,M三點共線,所以存在實數k使=k+(1-k).又=3,=12,所以=3k+1-k2.因為N,E,B三點共線,所以3k+1-k所以k=15則=15+25,即=25a+15b.【綜合應用練】11.(5分)(2023·宿州高一檢測)已知{x,y}可以作為平面向量的一組基底,集合A={a|a=λy,λ∈R},B={b|b=λx+2μy,λ,μ∈R},則關于集合A,B說法正確的是()A.B?A B.A?B C.0?A D.A=B【解析】選B.根據向量的共線充要條件可知,集合A={與y共線的所有向量},根據平面向量基本定理可知:集合B={平面內所有向量},故集合A是集合B的子集.12.(5分)(多選)在△ABC中,D為BC的中點,且=2,則()A.=23+16B.=13+13C.∥(+)D.⊥(-)【解析】選BC.因為=2,則A,E,D三點共線,且||=2||,又因為AD為中線,所以點E為△ABC的重心,連接