6.2等差數列【考點梳理】1.等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋)．2．等差中項三個數a，A，b成等差數列，這時A叫做a與b的等差中項．3．等差數列的通項公式若{an}是等差數列，則其通項公式an＝a1＋(n－1)d.單調性：d＞0時，{an}為單調遞增數列；d＜0時，{an}為單調遞減數列；d＝0時，{an}為常數列．4．等差數列的前n項和公式(1)等差數列前n項和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)，其推導方法是倒序相加法．(2){an}成等差數列，求Sn的最值：若a1＞0，d＜0，且滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，,an＋1))時，Sn最大；(≥0≤0)若a1＜0，d＞0，且滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，,an＋1))時，Sn最??；(≤0≥0)或利用二次函數求最值；或利用導數求最值．5．等差數列的性質(1)am－an＝(m－n)d，即d＝eq\f(am－an,m－n).(2)在等差數列中，若p＋q＝m＋n，則有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，則有2am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*)．但要注意：在等差數列an＝kn＋b中，若m＝p＋q，易證得am＝ap＋aq成立的充要條件是b＝0，故對一般等差數列而言，若m＝p＋q，則am＝ap＋aq并不一定成立．(3)若{an}，{bn}均為等差數列，且公差分別為d1，d2，則數列{pan}，{an＋q}，{an±bn}也為等差數列，且公差分別為pd1，d1，d1±d2.(4)在等差數列中，按序等距離取出若干項也構成一個等差數列，即an，an＋m，an＋2m，…為等差數列，公差為md.(5)等差數列的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…為等差數列，公差為n2d.考點一等差數列及其通項公式【例題】（1）下列數列不是等差數列的是（

）A．0，0，0，…，0，…B．－2，－1，0，…，n－3，…C．1，3，5，…，2n－1，…D．0，1，3，…，，…【答案】D【解析】選項A中，后項減前項所得差均為0，是等差數列；選項B中，后項減前項所得差都是1，是等差數列；選項C中，后項減前項所得差都是2，是等差數列；選項D中，，不是等差數列，故選：D．（2）若、、成等差數列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為、、成等差數列，則，可得，故選：A.（3）已知等差數列中首項，公差，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解析】因為等差數列的首項，公差，所以，故選：D.（4）等差數列中，若，則等于（

）A． B．0 C． D．1【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以；故選：B（5）已知數列滿足，，則.【答案】32【解析】由題意可知，對任意的，，故數列是公差為的等差數列，所以，，故答案為：.【變式】（1）在等差數列中，若，，則公差d＝.【答案】2【解析】由題意，，故答案為：2．（2）等差數列的前三項依次是，，，則值為（

）A．2 B．1 C．4 D．8【答案】C【解析】由題意，解得，故選：C．（3）已知數列滿足，，則此數列的通項公式.【答案】【解析】因為，，所以，故答案為：（4）已知為等差數列，，則（

）．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】A【解析】因為，所以，故選：A．（5）在等差數列中，若，，則數列的公差d＝（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由，，得，解得，故選：A.考點二等差數列的性質及前n項和【例題】（1）記為等差數列的前項和，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設等差數列的公差為，由，得，即，又，所以，故，故選：D.（2）記為等差數列的前n項和.若，，則（

）A．-54 B．-18 C．18 D．36【答案】C【解析】設公差為，則，解得，所以，所以，故選：C.（3）在等差數列中，，則此等差數列的前9項之和為（

）A．5 B．27 C．45 D．90【答案】C【解析】依題意，即，即，所以，故選：C.（4）設等差數列的前n項和為，若，，則.【答案】36【解析】由，解得，，故答案為：.（5）設公差不為零的等差數列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】在等差數列中，，，故，又，故，則，故，故選：C.（6）一個等差數列的第4項為12，第8項為4，則此數列的第12項為___________.【答案】【解析】設等差數列為，由題意，，，又，所以由等差數列的性質有，即，解得，故答案為：.【變式】（1）等差數列的前n項和為，若，則公差(

)A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由題可知，故選：B．（2）設為等差數列的前n項和，若，公差，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】因為，，所以，解得（舍負），故選：B.（3）記分別為等差數列的前項和，若，則.【答案】100【解析】，所以前10項的和為，故答案為：100.（4）設等差數列的前n項和為，若，則．【答案】20【解析】由題意得，故，故答案為：20.（5）已知等差數列的前n項和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【解析】等差數列的前n項和為，，，則，，，構成首項為2，公差為2的等差數列，則+()+()+()=2+4+6+8=20，故選：D.（6）已知等差數列的前項和為若則的值為（

）A．18 B．17 C．16 D．15【答案】D【解析】因為，故，又，故，所以，故選：D.【方法總結】1．等差數列中，已知5個元素a1，an，n，d，Sn中的任意三個，便可求出其余兩個．除已知a1，d，n求an，Sn可以直接用公式外，其他情況一般都要列方程或方程組求解，因此這種問題蘊含著方程思想．注意，我們把a1，d叫做等差數列的基本元素．將所有其他元素都轉化成基本元素是解決等差數列問題的一個非常重要的基本思