專題01導(dǎo)數(shù)切線問題相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1．函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近點(diǎn)Po(x0,f(x0))時(shí)，割線PoP無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線T(T是直線T上的一點(diǎn))稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線.(2)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)就是切線PoT的斜率，即==f'(x0).這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為。2．切線方程的求法1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率第二步（寫方程）：用點(diǎn)斜式第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。2、求曲線“過”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．?？伎键c(diǎn)考點(diǎn)1：求函數(shù)某點(diǎn)處切線已知函數(shù)f(x)=x3?2lnx，那么f(x)在點(diǎn)(1【答案】x?y=0【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閒(x)=x3?2lnx，則f'(x)=3x2?2x，

可得f(1)=1，f'1=1，

即切點(diǎn)坐標(biāo)為1，1，切線斜率為1，

所以切線方程為y?1=1×x?1，整理得x?y=0.

故答案為：【答案】x?y+1=0【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【解析】【解答】因?yàn)閥=excosx，

所以y'=excosx?故答案為：xy+1=0.3.（2324高二下·陜西西安·期中）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用導(dǎo)數(shù)幾何意義去求切線方程即可.【詳解】由，得，所以該曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線方程為，即．故選：C.4．（2324高二下·吉林·期中）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)得，則，解得，于是，，所以所求切線方程為，即.故答案為：已知曲線y=aex+xlnxA．a(chǎn)=e，b=?1 B．a(chǎn)=e，b=1C．a(chǎn)=e?1，b=1【答案】D【分析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得a，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得b【詳解】解：yk=y'將(1，1)代入y=2x+b得2+b=1，b=?1，故選D．考點(diǎn)2：求函數(shù)過某點(diǎn)切線方程1．過原點(diǎn)且與函數(shù)fx=lnA．y=?x B．y=?2ex C．y=?【答案】C【分析】先設(shè)出切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求出切線的斜率即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閒(x)=ln(?x)，所以設(shè)所求切線的切點(diǎn)為(x0,f(由題知，1x0=f(x故所求切線方程為y=?1故選：C.（2324高二上·云南昆明·期末）過點(diǎn)且與曲線相切的直線斜率為（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而求出切線斜率.【詳解】設(shè)過點(diǎn)與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由求導(dǎo)得：，則切線方程為，于是，整理得，解得，所以所求切線的斜率為1.故選：C3．（2425高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）過點(diǎn)且與曲線相切的切線斜率不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，根據(jù)切線過點(diǎn)，可得，進(jìn)而確定切線斜率.【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，即切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理可得，解得或或，則切線斜率為或或，故選：D．4．（多選）（2324高二下·貴州·期中）過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，點(diǎn)斜式可解.【詳解】求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，切線方程為.當(dāng)時(shí)，，切線方程為.故選：BC.5．（2324高三上·山東青島·期中）曲線過原點(diǎn)的切線方程為.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而根據(jù)直線過原點(diǎn)即可求解切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.【詳解】由得設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為由于切線經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即，故答案為：考點(diǎn)3：切線條數(shù)問題若過點(diǎn)(a,b)可作曲線y=x2?2x的兩條切線，則點(diǎn)(a,b)A．(0,0) B．(1,1) C．(2,0) D．(3,2)【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,t2?2t)，求得切線方程為y=(2t?2)(x?t)+t2?2t，把點(diǎn)(a,b)代入得t2【詳解】由函數(shù)y=x2?2x設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,t2?2t)把點(diǎn)(a,b)代入，可得b=(2t?2)(a?t)+t整理得t2?2at+2a+b=0，因?yàn)檫^點(diǎn)(a,b)可作曲線則方程t2所以Δ=4a2分別把點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),(3,2)代入驗(yàn)證，可得只有(3,2)滿足，所以點(diǎn)(a,b)可以是(3,2).故選：D.2．（2324高二下·廣東·期中）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，.設(shè)，的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出兩條切線的斜率，由兩直線的夾角公式求得夾角的正切值．【詳解】兩條切線，的傾斜角分別為，，根據(jù)題意，，若點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，切線斜率為，若點(diǎn)是切點(diǎn)（點(diǎn)不重合），則，由，解得（舍去），所以直線斜率為，則．故選：C．3．若直線x=1上一點(diǎn)P可以作曲線x=lny的兩條切線，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍為．【答案】0,e???????【分析】先求出過點(diǎn)P1,b的切線方程，分離參數(shù)變量，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)直線y=b與曲線y=ft有兩個(gè)交點(diǎn)，再借助導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最值，結(jié)合直線與曲線的圖象得出點(diǎn)【解析】解：因?yàn)榍€x=lny為曲線y=e在曲線y=ex上任取一點(diǎn)Mt,et所以曲線y=ex在點(diǎn)Mt,et又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P1,b，則b=令ft=2?t當(dāng)t<1時(shí)，f't>0當(dāng)t>1時(shí)，f't<0所以f(t)由題意知，直線y=b與曲線y=ft有兩個(gè)交點(diǎn)，則b<f當(dāng)t<2時(shí)，ft>0；當(dāng)t>2時(shí)，ft<0，故答案為：0,e.

4.若過點(diǎn)P(m,0)與曲線f(x)=x+1ex相切的直線只有2條，則mA．(?∞,+∞C．(?1,3) D．(?【答案】D【分析】求得f′(x)=?xex【詳解】設(shè)過點(diǎn)P(m,0)的直線與曲線f(x)=x+1ex由f(x)=x+1ex，可得f′(x)=?整理得t2因?yàn)榍芯€有2條，所以切點(diǎn)有2個(gè)，即方程t2則Δ=(1?m)2?4>0，解得所以m的取值范圍是(?∞故選：D．5．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)若過點(diǎn)存在條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不等實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性最值，畫出圖象求參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為.由題意得，所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，則，由題意可知，這個(gè)方程有三個(gè)不等實(shí)根.設(shè)，則，由得，由得或.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于負(fù)無窮，趨近于正無窮，且，所以的大致圖象如圖，所以要使直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則.故選：C考點(diǎn)4.公切線問題若直線x+y+a=0是曲線fx=x3+bx?14與曲線gA．26 B．23 C．15 D．11【答案】D【分析】先由gx=x2?3lnx，利用切線斜率為1求得切點(diǎn)，再將切點(diǎn)代入切線方程求得【詳解】解：因?yàn)間x所以g′x=2x?3x，由2x?所以切點(diǎn)為1,1，因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線x+y+a=0上，解得a=?2，所以切線方程為x+y?2=0，f′x=3由題意得3t2+b=?1所以a?b=11，故選：D.2．（2024·四川成都·二模）直線與函數(shù)和的圖象都相切，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為x1,y1，與函數(shù)的切點(diǎn)為x2,【詳解】設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為x1,y1，則設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為x2,y2，則由；由，；由.由，所以.故選：D3．（2425高二下·全國·課后作業(yè)）若曲線與曲線存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解斜率，可得和，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】由得，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為由得在點(diǎn)處的切線斜率為，如果兩條曲線存在公共切線，那么．又由斜率公式可得，由此得到，則有解，所以直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)即可．當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，得，即有切點(diǎn)，此時(shí)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

故選：D．4.（多選）（2324高二上·山西運(yùn)城·期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.故選：BD.5．（2324高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知直線分別與曲線，相切于點(diǎn)，，則的值為.【答案】1【分析】利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)處的切線方程，可得，通過指數(shù)式對數(shù)式的運(yùn)算，求出的值.【詳解】由，，有，，在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，則有，得，所以，可得.故答案為：1.考點(diǎn)5：切線問題中的參數(shù)問題1．（2425高三上·安徽·階段練習(xí)）已知曲線，在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，再根據(jù)兩條互相垂直的直線斜率之積等于算出即可.【詳解】，則，則，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，解得.故選：C曲線y=x5?ax+1在x=1處的切線的斜率大于1，則A．?∞,4 B．?∞,3 C．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)fx=x5?ax+1，則故選：A.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代點(diǎn)求解出，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對應(yīng)求解出，最后求解.【詳解】由已知，，故，，則切線斜率為，故，所以．故選：B.4．（2324高二下·安徽·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．13 B．7 C．4 D．1【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，求出、的值，再代入計(jì)算可得.【詳解】∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，，，由題可知，，，，，．故選：A5．（2324高二下·天津?yàn)I海新·期末）已知，直線與曲線相切，則的最小值是．【答案】25【分析】根據(jù)題意設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)椋本€的斜率為，所以，，，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以的最小值是25.故答案為：25.考點(diǎn)6：切線綜合問題如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)P1,y0處的切線是l，則

A．1 B．2 C．0 D．?1【分析】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求出切線l的方程，從而可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則可得f(1)，求出直線的斜率可得f′【詳解】由圖象可得切線過點(diǎn)(2,0),(0,2)，所以切線l的方程為x2+y所以切線的斜率為?1，所以f因?yàn)辄c(diǎn)P1,y0在切線上，所以y所以f1故選：C.2．（2324高二下·貴州貴陽·階段練習(xí)）曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)得到切線斜率，再得到直線方程，再得到截距，進(jìn)而得到面積.【詳解】解：由，則，，所以在處切線的方程為，令，得，令，得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故選：A3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知P是曲線（）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出曲線（）和直線的圖象，將所求距離問題轉(zhuǎn)化為兩平行線距離最小，從而結(jié)合兩直線平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程即可求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】畫出曲線（）和直線的圖象，如下圖所示

若使得取最小值，則曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得，又，解得．故選：C4.已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在區(qū)間0,2(2)設(shè)gx=2x+kx，若曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線與曲線(3)求過點(diǎn)2,f2且與曲線y=f【答案】（1）2k=1y=10x?14或y=x+4.【分析】（1）根據(jù)平均變化率公式，即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求的幾何意義求切線斜率，利用斜率相等，即可求解；（3）首先設(shè)切點(diǎn)x0【詳解】（1）函數(shù)fx在區(qū)間0,2上的平均變化率為f（2）fx=x3?2x+2gx=2x+kx，由題意可知，2?k=1，得k=1；（3）f2=6，設(shè)切點(diǎn)為x0則曲線y=fx在點(diǎn)x0,x0則6?x03即x0?2x得x0=2或當(dāng)x0=2時(shí)，切線方程為當(dāng)x0=?1時(shí)，切線方程為綜上可知，切線方程為y=10x?14或y=x+4.5．（2425高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中