滬科版九年級上冊數學期末考試試題一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．拋物線y＝2x2＋1的對稱軸是()A．直線x＝B．直線y＝－C．y軸D．直線x＝22．下列說法不一定正確的是（）A．所有的等邊三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似3．若，則的值是()A．B．C．D．4．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如右圖所示，對稱軸是直線x=1，下列結論錯誤的是（）A．c＞0B．2a+b=0C．b2﹣4ac＞0D．a﹣b+c＞05．如圖，已知D,E分別是△ABC的AB,AC邊上的點,DE∥BC,且S△ADE：S四邊形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：8 B．1：2 C．1：9 D．1：36．如圖，把拋物線y＝x2沿直線y＝x平移個單位后，其頂點在直線上的A處，則平移后的拋物線解析式是（）A．y＝（x＋1）2－1B．y＝（x＋1）2＋1C．y＝（x－1）2＋1D．y＝（x－1）2－17．如圖，直線y=mx與雙曲線交于A，B兩點，過點A作AM⊥x軸，垂足為點M，連接BM，若S△ABM=2，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣48．如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60°，又從A點測得D點的俯角β為30°，若旗桿底總G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為（）A．20米 B．米 C．米 D．米9．如圖,丁軒同學在晚上由路燈AC走向路燈BD,當他走到點P時,發現身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部,當他向前再步行20

m到達Q點時,發現身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部,已知丁軒同學的身高是1.5

m,兩個路燈的高度都是9

m,則兩路燈之間的距離是()

A．24

m B．25

m C．28

m D．30

m10．如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，把△ADE沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么該矩形的周長為（）A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm二、填空題11．平移拋物線y＝x2+2x－8，使它經過原點，寫出平移后拋物線的一個解析式_____.12．對于任意實數t，拋物線y＝x2＋(2－t)x＋t必經過一定點，這個點是____．13．如圖，菱形ABCD的周長為20cm，且tan∠ABD=43，則菱形ABCD的面積為____cm214．如圖，已知矩形OABC的面積為，它的對角線OB與雙曲線相交于點D，且OB：OD＝5：3，則k＝____．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，過D點作AB的垂線交AC于點E，BC=6，sinA=，則DE=_____．16．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，則______．三、解答題17．求二次函數y＝x2－5x＋6與坐標軸的交點坐標及函數的最小值．18．如圖，已知菱形AMNP內接于△ABC，M、N、P分別在AB、BC、AC上，如果AB＝21cm，CA＝15cm，求菱形AMNP的周長.19．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.（1）求的值；（2）若BD＝10，求sin∠A的值.20．已知關于x的一元二次方程x2＋2x＋＝0有兩個不相等的實數根，k為正整數．(1)求k的值；(2)當此方程有一根為零時，直線y＝x＋2與關于x的二次函數y＝x2＋2x＋的圖象(如圖)交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次數的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標．21．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，連接BD，AE⊥BD，垂足為E.（1）求證：△ABE∽△DBC；（2）若AD＝25，BC＝32，求線段AE的長．22．在與水平面夾角是30°的斜坡的頂部，有一座豎直的古塔，如圖是平面圖，斜坡的頂部CD是水平的，在陽光的照射下，古塔AB在斜坡上的影長DE為18米，斜坡頂部的影長DB為6米，光線AE與斜坡的夾角為30°，求古塔的高（）．23．如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與雙曲線（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點．（1）若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）：①分別求出直線l與雙曲線的解析式；②若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？（2）假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．24．如圖，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°；求AC和AB的長．25．已知直線y＝kx＋b(k≠0)過點F(0，1)，與拋物線y＝x2相交于B、C兩點．(1)如圖，當點C的橫坐標為1時，求直線BC的表達式；(2)在(1)的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案1．C【分析】根據二次函數的解析式為y＝ax2＋c的形式，則對稱軸為坐標軸y軸即可得答案．【詳解】y=2x2+1的對稱軸是x=0即y軸．故選C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，利用二次函數的各種不同形式的解析式找對稱軸，此類為基礎知識，比較容易．2．C【詳解】A、所有的等邊三角形都相似,正確;B、所有的等腰直角三角形都相似,正確;C、所有的菱形不一定都相似,故錯誤;D、所有的正方形都相似,正確.所以C選項是正確的.點睛：本題考查了相似圖形的定義,解題的關鍵是了解對應角相等,對應邊的比也相等的多邊形相似,比較簡單.3．A【分析】先由已知條件可設a＝3k，那么b＝5k，再將它們代入所求代數式，即可求出結果．【詳解】解：∵，∴可設a＝3k，那么b＝5k，∴＝＝．故選：A．【點睛】本題是基礎題，考查了比例的基本性質，比較簡單．4．D【詳解】試題分析：A、因為二次函數的圖象與y軸的交點在y軸的上方，所以c＞0，正確；B、由已知拋物線對稱軸是直線x=1=﹣，得2a+b=0，正確；C、由圖知二次函數圖象與x軸有兩個交點，故有b2﹣4ac＞0，正確；D、直線x=﹣1與拋物線交于x軸的下方，即當x=﹣1時，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，錯誤．故選D．考點：二次函數的圖象與系數的關系5．D【分析】由題可知：△ADE∽△ABC，相似比為AE：AC，由S△ADE：S四邊形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方．【詳解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2．∵S△ADE：S四邊形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．故選D．【點睛】本題的關鍵是理解相似三角形面積的比等于相似比的平方．6．C【詳解】首先根據A點所在位置設出A點坐標為（m，m）再根據AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根據拋物線平移的性質：左加右減，上加下減可得解析式：∵A在直線y=x上，∴設A（m，m），∵OA=，∴m2+m2=（）2，解得：m=±1（m=－1舍去）．∴A（1，1）．∴拋物線解析式為：y＝（x－1）2＋1．故選C．7．A【解析】試題分析：∵直線y=mx與雙曲線交于A，B兩點，∴點A與點B關于原點中心對稱．∴S△OAM=S△OBM．∵S△ABM=2，∴S△OAM=1．∴|k|=1，即|k|=2．∵反比例函數圖象在第二、四象限，∴k＜0．∴k=﹣2．故選A．8．A【詳解】∵點G是BC中點，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位線．∴AB=2EG=30米．在Rt△ABC中，∠CAB=30°，∴BC=ABtan∠BAC=30×=10米．如圖，過點D作DF⊥AF于點F．在Rt△AFD中，AF=BC=10米，則FD=AF?tanβ=10×∴=10米．綜上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．故選A．考點：解直角三角形的應用（仰角俯角問題），三角形中位線定理，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值．9．D【詳解】由題意可得:EP∥BD,所以△AEP∽△ADB,所以,因為EP=1.5,BD=9,所以,解得:AP=5,因為AP=BQ,PQ=20,所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30,故選D.點睛:本題主要考查相似三角形的對應邊成比例在解決實際問題中的應用,應用相似三角形可以間接地計算一些不易直接測量的物體的高度和寬度,解題時關鍵是找出相似三角形,然后根據對應邊成比例列出方程,建立適當的數學模型來解決問題.10．A【詳解】在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，∵△ADE沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF．∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC．∵tan∠EFC=，∴tan∠BAF=．∴設BF=3x、AB=4x．在Rt△ABF中，根據勾股定理可得AF=5x，∴AD=BC=5x．∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x．∵tan∠EFC=，∴CE=CF?tan∠EFC=2x?=x．∴DE=CD﹣CE=4x﹣x=x．在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即（5x）2+（x）2=（10）2，整理得，x2=16，解得x=4．∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周長=2（16+20）=72cm．故選A．考點：翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理，銳角三角函數定義．11．y=x2+2x（答案不唯一）【詳解】試題分析：可設這個函數的解析式為y=x2+2x+c，根據（0，0）適合這個解析式求解即可.可設這個函數的解析式為y=x2+2x+c，那么（0，0）適合這個解析式，解得c=0故平移后拋物線的一個解析式y=x2+2x（答案不唯一）.考點：二次函數的圖象與幾何變換點評：解題的關鍵是熟練掌握拋物線在平移過程中不改變a的值.12．【分析】把拋物線解析式整理成關于t的形式，然后令t的系數為0即可求解．【詳解】，

當，即時，y的值與t無關，此時y=1+2=3，∴拋物線總經過一個固定的點(1，3)，故答案為：(1，3)．【點睛】本題考察二次函數圖像上點的坐標特征，此類題目，關鍵是整理成關于t的形式．13．24．【解析】連接AC交BD于點O，則可設BO=3x，AO=4x，從而在Rt△ABO中利用勾股定理求出AB，結合菱形的周長為20cm可得出x的值，再由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得出答案：連接AC交BD于點O，則AC⊥BD，AO=OC，BO=DO．∵tan∠ABD=43又∵菱形ABCD的周長為20，∴4×5x=20，解得：x=1．∴AO=4，BO=3．∴AC=2AO=8，BD=2BO=6．∴菱形ABCD的面積為12AC×BD=24（cm214．【詳解】過點D作，則，由相似三角形性質得，，而，則，由于，所以故答案為：12．15．【詳解】∵在Rt△ABC中，BC=6，sinA=∴AB=10∴．∵D是AB的中點，∴AD=AB=5．∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A∴△ADE∽△ACB，∴即解得：DE=．16．【分析】根據余弦的定義進行解答【詳解】在Rt△ABC中，AC＝，，故填．【點睛】本題考查三角函數的定義，余弦值＝角的鄰邊與斜邊之比．17．與x軸交點坐標為(2，0)，(3，0)，與y軸交點坐標為(0，6)，最小值為【分析】根據二次函數與x軸相交時y=0，與y軸相交時x=0，即可求出與坐標軸的交點坐標；把二次函數的一般式化成頂點式，然后根據二次函數圖像的性質即可求出最小值．【詳解】解：對于二次函數，當x=0時，y=6，當y=0時，方程的解，即為二次函數與x軸的交點，

解得：，所以與x軸的交點坐標為：(2，0)，(3，0)，與y軸的交點坐標為(0，6)；∵，拋物線開口向上，有最小值，∴最小值為：．

【點睛】本題考察二次函數最值及二次函數與坐標軸的交點，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．18．菱形的周長是35cm【詳解】∵AMNP是菱形，∴PN//AB，∴△CPN∽△CAB，∴CP：CA=PN：AB，∵PN=PA，∴CP：CA=PA：AB，即CP：15=PA：21，∴CP：PA=15：21=5：7，∴（CP+PA）：PA=（5+7）：7，∴AC：PA=12：7，即15：PA=12：7，解得PA=，∴菱形AMNP的周長是：×4=35cm19．（1）（2）【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，又∵DE＝3，BC＝9，∴＝＝.（2）根據（1）＝得：＝，∵BD＝10，DE＝3，BC＝9，∴＝，∴AD＝5，∴AB＝15，∴sin∠A＝＝＝.20．(1)1或2；(2)MN的長度最大值為，點M的坐標為【分析】（1）根據判別式的意義得到△＝b2－4ac＝4－4×＞0，然后解不等式得到k的范圍，再在k的取值范圍內找出正整數即可；（2）先把x＝0代入x2＋2x＋＝0中求出k＝?1，從而得到二次函數解析式為y＝x2＋2x，根據二次函數圖象上點的坐標特征，設M(m，m＋2)，（?2＜m＜1），則N(m，m2＋2m)，所以MN可表示為－m2－m＋2，然后根據二次函數的性質求解．【詳解】解：(1)∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴△＝b2－4ac＝4－4×＞0，∴k－1＜2．則k＜3，∵k為正整數，∴k＝1或2．(2)把x＝0代入方程x2＋2x＋＝0得k＝1，則二次函數為y＝x2＋2x，則直線y＝x＋2與二次函數y＝x2＋2x的交點為A(－2，0)，B(1，3)．由題意可設M(m，m＋2)，其中－2＜m＜1，則N(m，m2＋2m)，MN＝m＋2－(m2＋2m)＝－m2－m＋2＝－(m＋)2＋．∴當m＝－時，MN的長度最大值為．此時點M的坐標為．【點睛】本題考查了二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質，理解根的判別式的意義和一元二次方程根的定義等相關知識是解題的關鍵．21．（1）證明見解析；（2）15【分析】（1）由等腰三角形的性質可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又因為∠AEB=∠C=90°，所以可證△ABE∽△DBC；

（2）由等腰三角形的性質可知，BD=2BE，根據△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可．【詳解】（1）證明：∵AB=AD=25，

∴∠ABD=∠ADB，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB=∠C=90°，

∴△ABE∽△DBC；

（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，

∴BE=DE，

∴BD=2BE，

由△ABE∽△DBC，

得，

∵AB=AD=25，BC=32，

∴，

∴BE=20，

∴AE==15．【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質．關鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質及勾股定理解題．22．古塔的高約為28.2米．【分析】延長BD交AE于點F，作FG⊥ED于點G，Rt△FGD中利用銳角三角函數求得FD的長，從而求得FB的長，然后在直角三角形ABF中利用銳角三角函數求得AB的長即可．【詳解】延長BD交AE于點F，作FG⊥ED于點G，∵斜坡的頂部CD是水平的，斜坡與地面的夾角為30°，∴∠FDE=∠AED=30°．∴FD=FE．∵DE=18米，∴EG=GD=ED=9米．在Rt△FGD中，（米），∴FB=（6+6）米．在Rt△AFB中，AB=FB?tan60°=（6+6）×=（18+6）≈28.2（米）．∴古塔的高約為28.2米．23．（1）①反比例函數解析式為（x＞0）；直線l的解析式為y=﹣x+5；②當m=1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點；（2）．【分析】（1）①運用待定系數法可分別得到直線l與雙曲線的解析式．②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=﹣x+5﹣m，根據題意得方程組只有一組解時，化為關于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，則△=0，求解即可求得答案；（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據相似比可得到，則D點坐標為（，），然后把D點坐標代入反比例函數解析式中即可得到b的值．【詳解】（1）①把D（4，1）代入得a=1×4=4，∴反比例函數解析式為（x＞0）．設直線l的解析式為y=kx+t，把D（4，1），E（1，4）代入得，解得．∴直線l的解析式為y=﹣x+5．②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=﹣x+5﹣m，當方程組只有一組解時，直線l與雙曲線有且只有一個交點，化為關于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9．而m=9時，解得x=﹣2，故舍去．∴當m=1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點．（2）如圖，作DF⊥x軸于