第1頁/共1頁2024~2025學(xué)年第二學(xué)期福建省部分優(yōu)質(zhì)高中高中畢業(yè)班2月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）溫馨提示：請將所有答案填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式確定集合，然后由交集定義計算．【詳解】或x>1，，所以，故選：D．2.已知向量若，則m等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示求解即可.【詳解】因為，所以，又，，所以，解得.故選：A.3.已知圓柱和圓錐的底面半徑及高均相等，且圓錐側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓柱和圓錐的側(cè)面積的比值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是半圓，結(jié)合圓周長和扇形的弧長公式，結(jié)合圓錐和圓柱的側(cè)面積公式進行求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，由圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，得，即，圓錐的高，所以圓柱的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積為，故圓柱和圓錐的側(cè)面積之比為．故選：D4.已知正項等差數(shù)列滿足，且是與的等比中項，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與，求出的關(guān)系，根據(jù)是與的等比中項，求出的值，再求即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以，又因為，即，可得，又由，即，即，即，且正項等差數(shù)列，即解得，則.故選：C．5.已知，且，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，結(jié)合余弦的差角公式，可得答案.【詳解】由，，可得，則，，則或，由于，所以，，，故選：B6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需要的平均時間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型為常數(shù)）來描述該物種累計繁殖數(shù)量n與入侵時間K（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出，據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的8倍所需要的時間為（）天，（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.19【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出的值，設(shè)初始時間為，累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的8倍的時間為，利用，結(jié)合對數(shù)運算法則可求得結(jié)果.【詳解】因為，，解得，設(shè)初始時間為，累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的8倍的時間為，則（天），所以該物種累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的8倍所需要的時間為天，故選：C.7.已知直線與直線交于點，點關(guān)于直線對稱的點為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程組求出點坐標，可得，分、、討論，代入利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】由，解得，可得，所以，即，當時，，則無意義；當時，，當且僅當即等號成立；當時，，當且僅當即等號成立；綜上，，或.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是求出點坐標，代入利用基本不等式求最值.8.已知的部分圖象如下圖，點x0≠0是圖象上一點，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關(guān)于軸對稱C.若，則D.若點處切線經(jīng)過坐標原點，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，求得，對于A項，只需判斷對應(yīng)的函數(shù)在的單調(diào)性即可；對于B項，求出平移后的函數(shù)解析式，判斷奇偶性即得；對于C項，由代入化簡得，再對進行齊次化變換，代入即得；對于D項，設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，代入原點坐標，化簡即得.【詳解】由圖象可知，的最大值為2，又，所以．設(shè)最小正周期為，由圖象可知，則，則,又，故，所以，將點代入,可得，即．因為，則，所以，則，所以．對于A項，不妨設(shè)，當時，，因在上先減后增，故A項錯誤；對于B項，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)解析式，易知是奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標原點對稱，故B項錯誤；對于C項，由，得，化簡得，則故C項錯誤；對于D項，點處的切線方程為，將坐標原點代入，得，所以，故D項正確.故選:D．【點睛】思路點睛：先解讀圖象信息，求出函數(shù)解析式，再根據(jù)選項，將看成整體角，通過正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，利用平移變換得解析式判斷奇偶性，利用三角恒等變換求三角函數(shù)值，運用導(dǎo)數(shù)工具求切線方程，檢驗結(jié)論.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9已知虛數(shù)滿足，則（）A.的實部為 B.的虛部為C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念寫出，進而判斷各項的正誤.【詳解】由，得，所以的實部為的虛部為，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，故選：ACD10.離散型隨機變量的分布列如下表所示，是非零實數(shù)，則下列說法正確的是（）20242025A. B.服從兩點分布C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得判定A正確；根據(jù)二點分布的定義，可判定B錯誤；根據(jù)分布列的期望和方差的計算公式，可判定C、D正確.【詳解】對于A中，由分布列的性質(zhì)，則滿足，所以A正確；對于B中，根據(jù)二點分布知，隨機變量的取值為和，所以B不正確；對于C中，由期望的公式，可得，因為，所以，即，所以C正確；對于D中，由方差的公式，可得，即，所以D正確.故選：ACD.11.如圖，中，，，是中點，是邊上靠近的四等分點，將沿著翻折，使點到點處，得到四棱錐，則（）A.到平面的距離的最小值為B.存在點使得平面平面C.中點的運動軌跡長度為D.四棱錐外接球表面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)當點與點無限接近時，到平面的距離趨近去，即可判斷A；連接點與中點，連接，證明平面，可得，再證明存在點使得即可判斷B；找出底面的外接圓圓心，易得該點為四棱錐外接球球心時有最小半徑，即可判斷D；以點為原點，建立平面直角坐標系，利用相關(guān)點法求出中點的軌跡方程即可判斷C.【詳解】對于A，當點與點無限接近時，到平面的距離趨近去，所以到平面的距離沒有最小值，故A錯誤；對于B，連接點與中點，連接，因為，所以，由題意可得為中點，是中點，故，所以，故，，又，、平面，故平面，又平面，所以，則當時，又、平面，，故有平面，又平面，故平面平面，即需，由題意可得，，，即當時，有，由，故存在點，使，故B正確；對D：由，故，由，故，即四邊形四點共圓，連接，為該圓直徑，故四棱錐外接球球心必在過中點，且垂直平面的直線上，則當球心在中點時，四棱錐外接球半徑最小，此時中點到點的距離等于一半，故，由，有平面，又平面，故，故球心可在中點，由是中點，故，則，則半徑為，此時表面積為，即四棱錐外接球表面積的最小值為，故D正確；對于C，如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，，設(shè)線段的中點坐標為，，由，得，所以，即，由，得，整理得，所以中點的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，所以中點的運動軌跡長度為，故C正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，試寫出一個半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標準方程：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】所求圓的圓心為，則，結(jié)合兩圓位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】因為圓的圓心為，半徑，設(shè)所求圓的圓心為，則，且或，若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；若，，無解，不合題意；若，，解得或，可得圓心為或，所求圓的方程為或；若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；故答案：（答案不唯一）.13.若直線與雙曲線恰好有一個交點，則直線的斜率為_________________.【答案】或【解析】【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，然后根據(jù)方程解得個數(shù)討論求解.【詳解】將代入雙曲線方程中得到：，展開整理得.當時，即時，方程變?yōu)橐淮畏匠蹋藭r直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線恰好有一個交點.當時方程是二次方程，若直線與雙曲線恰好有一個交點，則判別式，展開得到：.進一步化簡為，則.解得.

故答案為：或.14.甲乙兩人進行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于12或者所有卡片被抽完時，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束的概率是______.【答案】【解析】【分析】依題意可知游戲結(jié)束時共抽取了5張卡片，甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12，分別計算出所對應(yīng)的排列總數(shù)即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束相當于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；總的情況相當于從7張卡片中抽取了5張并進行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當甲抽取的數(shù)字為；；；時，乙在剩余的4個數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進行排列，共有種；當甲抽取的數(shù)字為時，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時不合題意，此時共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于首先明確游戲結(jié)束時甲乙兩人抽取的卡片張數(shù)以及數(shù)字之和的所有情況，再利用全排列公式計算出各種情況對應(yīng)的種類數(shù)可得結(jié)論.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，若數(shù)列前項和為，并滿足，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項的和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量可求出；利用和的關(guān)系，構(gòu)造出即可求出；（2）由（1）可知，利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列知：，整理得：，即或者，因為公差大于1，故.且，故.數(shù)列前項和為，并滿足①，且，解得，故當時，②，①式減②式得：，即，故是公比為2的等比數(shù)列，則，故；【小問2詳解】由（1）可知，故則故故則16.已知銳角的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A的值．（2）若，求周長的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得.（2）使用正弦定理將邊化角，再利用三角形內(nèi)角和為和輔助角公式，將周長轉(zhuǎn)化為一個內(nèi)角為變量的最值問題，由角的范圍進行求解.【小問1詳解】因為，所以，即，由余弦定理，所以，又，所以；【小問2詳解】由正弦定理得，∴，.∴在銳角中，，，又∵，∴，∴，綜上可得，∴，∴∴周長的取值范圍為.17.如圖，三棱柱中，，，，點M，N分別為AC，AB的中點，且，．（1）證明：平面ABC；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長度關(guān)系可證，，即可證線面垂直，（2）可證平面.建立空間直角坐標系，分別求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】連接，因為，，則，可知，且點M，N分別為AC，AB的中點，則，∥，則，可知，又因為，則，可得，可知，且，平面，所以平面ABC.【小問2詳解】因為平面ABC，平面ABC，則，又因為，∥，則，且，平面，所以平面.以為坐標原點，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由平面可知：平面的法向量可以為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比.已知橢圓與橢圓：相似.（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左?右頂點，的一點.①當時，過分別作橢圓的兩條切線，，切點分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值；②當時，若直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，求的值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）首先得到、的長軸長、短軸長、焦距、依題意可得，從而得到，再由離心率公式計算可得；（2）①設(shè)Px0,y0，則直線的方程為，進而與橢圓聯(lián)立方程，并結(jié)合判別式得，同理得到，進而得，再根據(jù)即可求得答案；②由題知橢圓的標準方程為，進而結(jié)合點在橢圓上得，故設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，進而得其對應(yīng)的方程，再與橢圓聯(lián)立方程并結(jié)合韋達定理，弦長公式得、，進而得．【小問1詳解】對于橢圓：，長軸長為，短軸長為，焦距為，橢圓：的長軸長為，短軸長為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.【小問2詳解】①由相似比可知，，解得，所以橢圓：，設(shè)Px0,y0，則直線的方程為記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因為直線與橢圓有且只有一個公共點，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以，又點Px0,所以，所以，為定值．②由相似比可知，，解得，所以橢圓：，其左、右頂點分別為，，恰好為橢圓的左、右焦點，設(shè)，易知直線、的斜率均存在且不為，所以，因為在橢圓上，所以，即，所以．設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，由，得，設(shè)，，則，，所以，同理可得，所以．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為