第八章方差分析一、方差分析的基本原理二、方差分析模型三、方差分析的步驟四、方差分析的實例五、均數的多重比較六、方差分析的條件及數據轉換第一節方差分析的基本原理一、方差分析的功用以前學習了一、二個樣本的u測驗、t測驗，唯獨沒有提到對可量資料多個總體平均數的測驗。本章中就討論對可量資料多個總體平均數的測驗方法，那就是方差分析(AnalysisofVariance，或簡稱ANOVA)方差分析的功用是對多個總體平均數的差異顯著性進行測驗的方法。它是一個強有力的統計分析工具。例：25420C51022第一節方差分析的基本原理二、方差分析的種類：1、單因子試驗的方差分析；（1）單方面分類的方差分析----完全隨機排列等；類內次數相等的單方面分類的方差分析；類內次數不等的單方面分類的方差分析；（2）雙方面分類的方差分析----隨機區組設計、配對法等；（3）三方面分類的方差分析----拉丁方設計；2、復因子試驗的方差分析；（1）復因子試驗的方差分析----隨機區組設計等（2）復因子試驗的方差分析----隨機區組設計等第一節方差分析的基本原理三、方差分析的思路（1）方差分析的基本思路是將試驗數據的總變異分解為已知的若干可控因素引起的變異；（2）總變異減去這些可控因素引起的變異后，把剩余的變異當作為由誤差引起的；（3）再將要考察的因素引起的變異與誤差引起的變異比較；（4）如果考察的因素引起的變異顯著地大于誤差引起的變異，便判定該因素對試驗指標有顯著的效應。第一節方差分析的基本原理四、方差的分解設有一影響因子A有a（a≥3）個水平，在每一水平上有m個重復觀測值，則該資料共有am個觀測值，試分析因子A的各個水平之間有無顯著差異。1、方差分析的基本符號mm2A因素觀測值

xij

xij組均值j1j1mm

x12jx11x12x1mx2mxx11

1j

x2jj1j1m

x2jm2

x2j2x21x22x2j1j1.....,mm

xaj

xaj2axa1xa2xamj1j1xaaamam2

xij

xiji1i11ji11j1、方差分析的基本符號m

xaj=++…+xa1xa2xamj1m2222

xaj=++…+xa1xa1xamj1amm

x1jm

x2jm2=++…+222

xij

xaji11jj1j1j1amT2Tx矯正數:CT

ijami11j2、總平方和的分解總平均值:ama11x

xijxiami111jai總變異平方和:am2SST

xijxi11j2、總平方和的分解am2am2SST

xijx

xijxi

xixi11ji11jam2amam2

xijxi2

xijxi

xix

xixi11ji11ji11jam中間項:

xijxixix0i11j2、總平方和的分解am2am2SST

xijxi

xixi11ji11j總平方和分解為組間平方和和誤差平方和。am2組間平方和:SSA

xijxii11jam2誤差平方和:SSe

xixi11j2、總平方和的分解計算總平方和、組間平方和、誤差平方和am2SST

xijCTi11jam2

Tia2SSA

xijxi

i1CTi11jmSSeSSTSSA3、總自由度的分解各種自由度的計算：（1）總自由度dfT=am-1（2）組間自由度dfA=a-1（3）組內自由度dfe=a(m-1)第二節單方面分類的方差分析例：整地深度對比試驗，試分析不同的整地深度對苗木的高生長有否顯著的影響？整地深度苗高生長觀測值Xij15202530687673647170747680828179859089909510410199分析造成差異的原因？1、整地深度不同2、每株的環境不一第二節單方面分類的方差分析單方面分類的方差分析：SS總=SS組間+SS誤差即SST=SSA+SSe所謂類間即品種間或處理間等等。第二節雙方面分類的方差分析隨機區組設計品種比較試驗，8個品種（含對照），三次重復ECFA對DBG瘦區組Ⅰ照FGB對照EDCEA區組ⅡDAGBF對照C區組Ⅲ肥第二節雙方面分類的方差分析分析造成差異的原因？1、品種間2、區組間3、機誤第二節雙方面分類的方差分析雙方面分類的方差分析：SS總=SS區組間+SS類間+SS誤差即SST=SSB+SSA+SSe所謂類間即品種間或處理間等等。第二節雙方面分類的方差分析矯正數及各種平方和計算：（1）矯正數=總和平方/觀測值的個數（2）總平方和=平方總和-矯正數（3）區組間平方和=（各區組之和平方后相加/重復數）-矯正數（4）類間平方和=（各類之和平方后相加/重復數）-矯正數（5）誤差平方和=總平方和-組間平方和－類間平方和第二節三方面分類的方差分析5*5拉丁方設計DEABCACEDBEDCAEABBDCABCED第二節三方面分類的方差分析分析造成差異的原因？1、橫行間2、直行間3、類間4、機誤第二節三方面分類的方差分析三方面分類的方差分析：SS總=SS橫行間+SS直行間+SS類間+SS誤差即SST=SSA+SSB+SSt+SSe所謂類間即品種間或處理間等等。第二節三方面分類的方差分析矯正數及各種平方和計算：（1）矯正數=總和平方/觀測值的個數（2）總平方和=平方總和-矯正數（3）橫行間平方和=（各橫行之和平方后相加/重復數）-矯正數（4）直行間平方和=（各直行之和平方后相加/重復數）-矯正數（5）某因子間平方和=（該因子個水平之和平方后相加/重復數）-矯正數（6）誤差平方和=總平方和-橫行間平方和-直行間平方和-某因子間平方和第三節方差分析的步驟：分為四個步驟：第一步：對所研究的總體參數提出假設第二步：計算矯正數及各種平方和第三步：列方差分析表并進行F測驗第四步：若F測驗達顯著，則進行多重比較第三節方差分析的步驟：第一步：作測驗的假設原假設HO：1＝2＝…＝a備擇假設HA：并非所有i都相等第三節方差分析的步驟：第二步：計算矯正數及各種平方和（1）矯正數=總和平方/觀測值的個數（2）總平方和=平方總和-矯正數（3）組間平方和=（各組之和平方后相加/重復數）-矯正數（4）誤差平方和=總平方和-組間平方和第三節方差分析的步驟：第三步：作方差分析表并作F測驗：變異來源自由度平方方差FF0.05F0.01顯和著性*組間a-1s2SSAAdfsedfsA2SSASSeSSTFs2Ae誤差a(m-1)2SSesedfe總和am-1第四步：F測驗結論：第四節方差分析實例第一步：作測驗的假設HO:A=B=C=D即各種整地深度對苗木的生長影響是一樣的。HA:并非所有i都相等第二步：計算矯正數及各種平方和（1）矯正數=總和平方/觀測值的個數=16472/4*5=135630.45第四節方差分析實例（2）總平方和=平方總和-矯正數=138133-135630.45=2502.55（3）組間平方和=(各組之和平方后相加/重復數)-矯正數=(688725/5)-135630.45=2114.55（4）誤差平方和=總平方和-組間平方和=2502.55-2114.55=388.00第四節方差分析實例第三步：作方差分析表并作F測驗：變異來源自由度平方和方差FF0.05F0.01顯著性A因素剩余e32114.55388.00704.8524.2529.063.245.29**16總和192502.55F測驗結論：整地的不同深度對苗木生長有極顯著影響第五節平均數間的多重比較多重比較的三種方法：1、最小顯著差數法（LSD法或t測驗法）2、新復極差法（SSR法或稱鄧肯q測驗）3、Tukey法（HSD法或稱圖基q測驗）第五節多重比較1、最小顯著差數法（LSD法）在上面的兩兩比較中，各自的t用各自的sxixj計算。2se2sd

mLSD0.05t0.05sdLSD0.01t0.01sdm為重復數df=誤差自由度=16表7.5例7.1的多重比較梯形表（LSD法）處理名稱平均數與15比與20比與25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.4*6.0224.25t2.120,sd3.1145LSD0.05t0.05sd2.1203.11456.54050.05t0.012.921,5LSD0.01t0.01sd2.9213.11459.0975表7.5例7.1的多重比較梯形表（LSD法）處理名稱平均數與15比與20比與25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.4*6.0標記字母法標記字母法處理平均數差異顯著性=0.05=0.01LSD0.056.5405LSD0.019.09753025201597.884.876.470.4abccABCBC表7.5例7.1的多重比較梯形表（LSD法）處理名稱平均數與15比與20比與25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.4*6.0劃線法＝0.05時97.8(30)84.8(25)76.4(20)70.4(15)--------------------------------------------------------第五節多重比較2、新復極差法（SSR法或稱鄧肯q測驗）(1)計算抽樣誤差：se224sx2.19095m(2)計算比較標準：LSR0.05SSR0.05sxLSR0.01SSR0.01sx2、新復極差法（SSR法或稱鄧肯q測驗）(2)計算比較標準：sx2.1909P處理數234SSR0.05SSR3.004.133.154.343.234.450.01LSR0.05SSR0.05sx3.002.19096.5727LSR0.01SSR0.01sx4.132.19099.04842、新復極差法（SSR法或稱鄧肯q測驗）(2)計算比較標準：sx2.1909P處理數234SSR0.05SSR3.004.133.154.343.234.450.01LSR0.05SSR0.05sx3.152.19096.9013LSR0.01SSR0.01sx4.342.19099.50852、新復極差法（SSR法或稱鄧肯q測驗）(2)計算比較標準：sx2.1909P處理數234SSR0.05SSR3.004.133.154.343.234.450.01LSR0.05SSR0.05sx3.232.19097.0766LSR0.01SSR0.01sx4.452.19099.7495例1的多重比較梯形表（SSR法）處理名稱平均數與15比與20比與25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.4*6.0結論：1、整地深度為30CM的苗木高生長極顯著的優于其他深度；2、整地深度為25CM的苗木高生長極顯著的優于15CM的，顯著的高于20CM；3、其余整地深度間的苗木高生長無顯著差異。應推廣整地深度為30CM。第五節多重比較3、Tukey法（HSD法或稱圖基q測驗）(1)計算抽樣誤差：2sesx

m(2)計算比較標準：HSD0.05q0.05(a,fe)sxHSD0.01q0.01(a,fe)sx第五節多重比較3、Tukey法（HSD法或稱圖基q測驗）(1)計算抽樣誤差：se224.25sx2.2023m5(2)計算比較標準：HSD0.05q0.05(4,16)sx4.052.20238.9193HSD0.01q0.01(4,16)sx5.192.202311.4299表7.5例7.1的多重比較梯形表（HSD法）處理名稱平均數與15比與20比與25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.46.0HSD0.05q0.05(4,16)sx4.052.20238.9193HSD0.01q0.01(4,16)sx5.192.202311.4299例1的多重比較梯形表（HSD法）處理名稱平均數與15比與20比與25比3025201597.884.876.470.427.4**14.4**21.2**13.0**8.46.0結論：1、整地深度為30CM的苗木高生長極顯著的優于其他深度；2、整地深度為25CM的苗木高生長極顯著的優于15CM的；3、其余整地深度間的苗木高生長無顯著差異。應推廣整地深度為30CM。第五節三種方法比較

事實上，對于一個具體的試驗資料，選用那種方法進行多重比較，是完全根據試驗的目的而定的。

一般地說:

設計比較簡單，不夠周密的初級試驗，作多重比較時，可采用LSD法；

設計比較周密的高級試驗，作多重比較時，可采用TUKEY的HSD測驗法；

一般的試驗，作多重比較時，常采用Duncan的SSR測驗法第六節方差分析的條件及數據變換方法1、數據中的各種效應應該具有“可加性”；線性可加模型是方差分析的基礎，只有當數據具有可加性時，總平方和才能分解為各項平方和之和；以單向分類資料為例，因為數學模型為：xij

i

ij因此才有：SSTSStSSe第六節方差分析的條件及數據變換方法2、誤差應該具有獨立性、正態性。首先，在方差分析模型中的誤差效應必須是隨機的，因為數據中的k個處理僅僅是從所研究的k個總體中隨機抽取出來的k個樣本，而F測驗正是通過樣本統計量對總體參數進行判斷的手段。其次，在觀察這個個體時的誤差與觀察另一個個體時的誤差應該是無關的，即誤差彼此之間是相互獨立的。進行F測驗的兩個方差之比的概率分布應該是正態的。第六節方差分析的條件及數據變換方法3、所有處理應該具有相同的誤差方差，即具有方差整齊性。因為在方差分布中將k個樣本的“組內平方和”和“組內自由度”合并為整個試驗的“組內平方和”和“組內自由度”，并利用它們算出的“組內均方”來估計試驗誤差，其前提必須是各處理的方差是相等的，不相等怎么能合并呢？資料中各組的方差是否相等可以通過Bartlett卡方測驗來檢驗。第六節方差分析的條件及數據變換方法當試驗資料不符合上述假定時，要先對數據進行一些適當的處理，然后用經過處理的數據進行方差分析。1、剔除一些表現“特殊”的觀察值、處理或重復。2、將總的試驗誤差的方差分裂成幾個較為同質的試驗誤差的方差進行分析。3、對需要分析的資料進行研究，了解它們不符合哪個基本假定，然后針對性地采用下述數據轉換方法中的一種，先對數據進行某種尺度變換，用經變換的數據進行方差分析及多重比較，而在對分析結果進行解釋時，再反代換為原來的尺度。第六節方差分析的條件及數據變換方法二、常用的數據變換方法1、平方根代換2、對數代換3、反正弦代換4、倒數代換第六節方差分析的條件及數據變換方法二、常用的數據變換方法1、平方根代換（計數資料）當各個處理的觀察值的方差近似與其平均數成比例關系：即平均數越大，方差越大。這時宜采用平方根轉換：xx當有部分觀察值小于10時，特別是小于零時，應將所有觀測值均加1后再開方。xx1第