2024年重慶市中考數學真題（B卷）

（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）

注意事項：

1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；

2.作答前認真閱讀答題卡上的注意事項；

3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；

4.考試結束，由監考人員將試題卷和答題卡一并收回.

'_b_4ac-b2\h

參考公式：拋物線戶加+云+?叱（））的頂點坐標為I2/4〃對稱軸為工二一五.

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號

為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對

應的方框涂黑.

1.下列各數中最小的數是（）

A.-1B.0C.1D.2

2.卜列標點符號中，是軸對稱圖形的是（）

*

A.￥B..?

C，D

■

3.反比例函數y=-四的圖象一定經過的點是（

）

x

A.（1,10）B.（-2,5）C.（2,5）D.（2,8）

D.125°

5.若兩個相似三角形的相似比為1:4,則這兩個三角形面積的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

6.估計+的值應在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和II之間D.II和12之間

7.用菱形按如圖所示的規律拼圖案，其中笫①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖

案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規律，則第⑧個圖案中，菱形的個數是（）

8.如圖，A8是。O的弦，OC_LA2交OO于點。，點。是OO上一點，連接8。，CD.若

NO=28。，則NOA3的度數為（）

A.28°B.34°C.56°D.62°

9.如圖，在邊長為4正方形A8CO中，點E是BC上一點，點尸是C力延長線上一點，連接AE,

AF?AA/平分ZEA廠.交.CD丁點、M.若BE=DF=1,則DW的K度為（）

12

B.75C.瓜D.——

5

10.已知整式Mqx”十明-++qx+q),其中〃M“_i，自然數，%為正整數，且

〃+〃“+4_[++q+《）=5.下列說法：

①滿足條件的整式用中有5個單項式；

②不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式“有且只有3個；

③滿足條件的整式M共有16個.

其中正確個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應的橫線上.

11.計算：卜2|+3°=.

12.甲、乙兩人分別從A、8、。三個景區中隨機選取一個景區前往游覽，則他們恰好選擇同一景區的概率

為________

13.若正多邊形的一個外角是45。，則該正多邊形的邊數是.

14.重慶在低空經濟領域實現了新的突破.今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季

度低空飛行航線安全運行將達到4）1架次.設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為x，根據

題意，可列方程為.

15.加圖,在中，AB=AC.ZA=36°,平分/ABC交4c于點。.若RC=2.則人￡）

的長度為.

16.若關于X的一元一次不等式組，3一,的解集為JVW4,且關于）'的分式方程

4x-2<3x+〃

6/-8y

---一三=1的解均為負整數，則所有滿足條件的整數。的值之和是_______.

y-2y+2

17.如圖，A3是。。的直徑，6c是C。的切線，點。為切點.連接AC交0。于點。，點￡是。。上

一點，連接應:，DE,過點A作Ab〃虛交3。的延長線于點若BC=5,CD=3,

々F=NADE，則A臺的長度是:的長度是.

18.一個各數位均不為。的四位自然數加=〃儀％,若滿足a+d=〃+c=9,則稱這個四位數為“友誼

數”.例如:四位數1278,??T+8=2+7=9,???1278是“友誼數”.若帥”是一個“友誼數”，且

_____歷

〃一〃=。一。=1,則這個數為；若加=礪是一個“友誼數”，設尸（加）=豆，且

F|M)+〃b+cd是整數,則涉足條件的M的最大值是________

13

三、解答題：(本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分)解答時每小題

必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括輔助線)，請將解答過程書寫

在答題卡中對應的位置上.

19.計算：

(1)a(3-a)+(a-l)(a+2)；

、x—2Jx~-4x+4

2().數學文化有利于激發學生數學興趣.某校為了解學生數學文化知識掌握的情況，從該校七、八年級學

生中各隨機抽取10名學生參加了數學文化知識競賽，并對數據(百分制)進行整理、描述和分析(成績

均不低于70分，用工表示，共分三組：A.90<x<100,B.80<x<90,C.70<x<80),下面給出了

部分信息：

七年級10名學生的競賽成績是：76,78,80,82,87,87,87,93,93,97.

八年級10名學生的競賽成績在8組中的數據是：80,83,88,88.

七、八年級抽取的學生競賽成績統計表

平均中位眾

年級

數數數

七年

8687b

級

八年

86a90

級

八年級抽取的學生競賽成績扇形統計圖

根據以上信息，解答卜.列問題：

(1)填空：ci=,b=，m=

(2)根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生數學文化知識較好？請說明理由(寫出一條

理由即可）；

（3）該校七年級學生有500人，八年級學生有400人.估計該校七、八年級學生中數學文化知識為“優

秀”（XN90）的總共有多少人？

21.在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發現，過矩形的一條對角線的

中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用

證明三角形全等得到此結論.根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：

（1）如圖，在矩形A8CO中，點。是對角線AC中點.用尺規過點。作AC的垂線，分別交八3,

CD于點E，F,連接4尸，CE.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）已知：矩形A6CD，點￡,尸分別在A3,CD1.,石尸經過對角線AC的中點。，且

EFJ.AC.求證：四邊形AECF是菱形.

證明：???四邊形A3CO是矩形，

AABHCD.

???①，/OCF=/OAE.

???點。是AC的中點，

，②.

：.dCFO^AAEO（AAS）.

A@.

又,：OA=OC,

???四邊形AECF是平行四邊形.

???EF1AC,

???四邊形A￡b是菱形.

進一步思考，如果四邊形ABC。是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④.

22.某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙兩人分別用A、4兩種

外墻漆各完成總粉刷任務的一半.據測算需要A、8兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000

元，已知A種外墻漆每千克的價格比3種外墻漆每千克的價格多2元.

（1）求A、4兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

4

（2）已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的三，乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷

任務所需時間多5小時.問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

23.如圖，在,A3C中，48=6,BC=8,點、P為AB上一點、,過點P作P。〃AC交4c于點Q.設

"的長度為巴點尸，Q的距離為M，/BC的周長與尸。的周長之比為為.

（i）請直接寫出y,為分別關于x的函數表達式，并注明自變量x的取值范圍；

。）在給定的平面直角坐標系中畫出函數x，%的圖象：請分別寫出函數從，％的一條性質：

（3）結合函數圖象，直接寫出y＞必時”的取值范圍.（近似值保留一位小數，誤差不超過0.2）

24.如圖，A,B,C,。分別是某公園四個景點，8在A的正東方向，。在A的正北方向，且在。的

北偏西60。方向，。在A的北偏東30。方向，且在4的北偏西15。方向，AB=2千米.（參考數據：

石,1.73,V6?2.45）

（1）求3c的長度（結果精確到0.1千米）；

（2）甲、乙兩人從景點。出發去景點3,甲選擇的路線為：D-C-B,乙選擇的路線為：

D-A-B.請計算說明誰選擇的路線較近？

25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線），=公2+法-3與1軸交于A（-1,O）,3兩點，交》軸于點C,

拋物線的對稱軸是直線x二g

2

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P是直線8C下方對稱軸右側拋物線上一動點，過點P作夕軸交拋物線于點。，作

PE上BC于點、E，求PD+叵PE的最大值及此時點P的坐標；

（3）將拋物線沿射線8C方向平移逐個單位，在尸。+正PE取得最大值的條件下，點尸為點。平移

后的對應點，連接A/7交）'軸于點M,點N為平移后的拋物線上一點，若ZNMF-ZABC=45。,請直

接寫出所有符合條件的點N的坐標.

26.在RtZXABC中，Z4CA=9伊，AC=8C,過點8作33〃AC.

GC

圖2

（1）如圖1，若點。在點3的左側，連接C。，過點A作4E_LCD交BC于點E.若點E是8。的中

點，求證：AC=2BD；

（2）如圖2,若點。在點4的右惻，連接AO,點尸是AD的中點，連接斯并延長交AC于點G,連

接過點尸作FM_L8G交A4于點M,CN平分NACB交BG于點、N,求證：

AM=CN+—BD：

2

（3）若點。在點3的右側，連接A。，點廠是AO的中點，且Ab=AC.點?是直線AC上一動點,

連接尸P,將尸P繞點廠逆時針旋轉60。得到42,連接3Q,點農是直線從。上一動點，連接研，

QR.在點P的運動過程中，當BQ取得最小值時，在平面內將.4QR沿直線QR翻折得到△TQR,連

接FT.在點R的運動過程中，直接寫出名的最大值.

CP

2024年重慶市中考數學真題（B卷）

（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）

注意事項：

1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；

2.作答前認真閱讀答題卡上的注意事項；

3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；

4.考試結束，由監考人員將試題卷和答題卡一并收回.

'_b_4-—叫b

參考公式：拋物線k*十歷的頂點坐標為I2。’4a）f對稱軸為"―五.

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號

為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對

應的方框涂黑.

1.下列各數中最小的數是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據正數大于0,0大于負數，即可作出判斷.

【詳解】T是負數，其他三個數均是非負數，故7是最小的數；

故選：A.

【點睛】本題考查了有理數大小的比較：負數小于一切非負數，明確此性質是關鍵.

2.下列標點符號中，是軸對稱圖形的是（）

??Q

A.?IB.WeC..7D.?f

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查軸對稱圖形的識別.解題的關鍵是理解軸對稱的概念（如果一個平面圖形沿著一條直線折

疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸），尋找對稱

軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合.據此對各選項逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A.該標點符號是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

B.該標點符號不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.該標點符號不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意：

D.該標點符號不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：A.

3.反比例函數y=—3的圖象一定經過的點是（）

x

A.（1,10）B.（-2,5）C.（2,5）D.（2,8）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了求反比例函數值.熟練掌握求反比例函數值是解題的關鍵.分別將各選項的點坐標的

橫坐標代入，求縱坐標，然后判斷作答即可.

【詳解】解：解：當X=1時，），=-午=-10,圖象不經過（1』。），故A不符合要求;

當上=一2時，），=一號=5,圖象一定經過（—2,5）,故B符合要求；

當工=2時，y=-y=-5,圖象不經過（2,5）,故C不符合要求；

當工=2時，y=-y=-5,圖象不經過（2,8）,故D不符合要求；

故選:B.

4.如圖，AB//CD,若Nl=125。，則N2的度數為（）

C.55°D.125°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質，鄰補角的定義，根據鄰補角的定義求出/3,然后根據平行線的性質求

解即可.

【詳解】解：如圖，

D

???Zl=125°,

???Z3=18O°-Z1=55°,

'：AB//CD,

???Z2=Z3=55°,

故選：C.

5.若兩個相似三角形的相似比為1:4,則這兩個三角形面積的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方進行求解即可.

【詳解】解：?.?兩個相似三角形的相似比為1:4,

???這兩個三角形面積的比是產：甲=1：16，

故選：D.

6.估計g（夜+6）的值應在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數的估算，先計算二次根式的乘法運算，再估算即可.

【詳解】解：???疝（&+6）=2"+6,

而4＜后=2指＜5，

"+6vll，

故答案為：C

7.用菱形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個

圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規律，則第⑧個圖案中，菱形的個數是

瀛

②

A.20B.21C.23D.26

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查/圖形類的規徐探索，解題的關鍵是找出規律.利用規律求解.通過觀察圖形找到相應

的規律，進行求解即可.

【詳解】解:第①個圖案中有l+3x(l-1)+1=2個菱形，

第②個圖案中有1+3x(2-1)+1=5個菱形，

第③個圖案中有l+3x(3—1)+1=8個菱形，

第④個圖案中有1+3x(47)+1=11個菱形，

???第〃個圖案中有1+3(〃-1)+1=3〃一1個菱形，

，第⑧個圖案中菱形的個數為3x8—1=23,

故選:C.

8.如圖，A3是。。的弦，OC_LA8交OO于點C，點。是OO上一點，連接BD,CD.若

ND=28。，則/。48的度數為()

A.28°B.34°C.56°D.62°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考杳了圓周角定理，等腰三角形的性質等知識，利用圓周角定理求出NCO5,根據等腰三角

形的三線合一性質求出ZAOB,等邊對等角然后結合三角形內角和定理求解即可.

【詳解】解：???/。=28。，

???/BOC=2NO=56。，

V0C1AB,OA=OB,

AZAOB=2ZBOC=112°,40AB=/OBA,

???/LOAB=1(180°-ZAOB)=34°,

故選:B.

9.如圖，在邊長為4的正方形A8CO中，點￡是BC上一點，點?是。。延長線上一點，連接AE，

力AF，AM平分1E4廠.交CO于點M.若BE=DF=T，則DW的長度為()

A.2B.75C.76D.y

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，先由正方形的性質得到

ZABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4,再證明AA3E19AAOF(SAS)

得到AE=AF,進一步證明八鉆加會△/IBW(SAS)得到=設則

EM=FM=DF+DM=x+l,CM=CD—DM=4—x,

在RtZXCEM中，由勾股定理得(R+1)2=32+(4-工丫，解方程即可得到答案.

【詳解】解：?.?四邊形4BCO是正方形，

???ZABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,AB=AT>=C7)=BC=4,

又.BE=DF=\,

??.AABE^zMDF(SAS),

:.AE=AF,

???AM平分NEA/,

...ZEAM=ZFAM,

又?.=

???AAEM也八4根(SAS),

???EM=FM,

設DM=x,則=/+QM=x+LCM=CD-DM=4-x,

在RtZXCEM中，由勾股定理得區必2=。E2+。“2,

r.(^+l)2=32+(4-x)2,

解得x=￡,

???DM=—,

5

故選：D.

10.已知整式+qx+/，其中〃，4i，…,小為自然數，勺為正整數，且

〃+a〃+4i++%+/=5.下列說法：

①滿足條件的整式M中有5個單項式；

②不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式M有且只有3個；

③滿足條件的整式M共有16個.

其中正確的個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考杳的是整式的規律探究，分類討論思想的應用，由條件可得0<〃<4,再分類討論得到答

案即可.

【詳解】解：4為自然數，%為正整數，且〃+…+4+旬=5,

A0</i<4,

當〃=4時，則4+/+%+%+/+%=5,

?=1,a3=a2=a}=%=0,

滿足條件的整式有

當〃=3時，則3+/+4+4+%=5,

.?.(為曲,4,%)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),

滿足條件的整式有：2工3,X3+JC2x34-X>x3+1，

當〃=2時，則2+42+。］+4=5,

???3,4，4))=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),

滿足條件的整式有：3x2?2x2+x?2x2+1?x2+2x?x2+2?x2+x+1；

當〃=1時，則l+q+%=5,

???（4，%）=（4,0）,（3,1）,（1,3）,（2,2）,

滿足條件的整式有：4x,3x+Lx+3,2x+2；

當〃=（）時，0+%=5,

滿足條件的整式有：5；

滿足條件的單項式有：1，2￡,,4x,5,故①符合題意；

不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式M有且只有3個；故②符合題意；

滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1=16個.故③符合題意；

故選D

二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應的橫線上.

11.計算：卜2|+3°=.

【答案】3

【解析】

【分析】原式第一項利用絕對值的代數意義化簡，第二項利用零指數基法則計算即可得到結果.

【詳解】解:原式=2+1=3,

故答案為：3.

【點睛】此題考查了有理數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

12.甲、乙兩人分別從A、仄。三個景區中隨機選取一個景區前往游覽，則他們恰好選擇同一景區的概率

為.

【答案”

【解析】

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數，找出甲、乙恰好游玩同一

景點的結果數，然后根據概率公式求解..

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

甲ABC

/T\/4\/K

乙ABCABCABC

由圖可知，共有9種等可能的情況，他們選擇同一個景點有3種，

31

故他們選擇同一個景點的概率是：-=

93

故答案為：］.

3

13.若正多邊形一個外角是45。，則該正多邊形的邊數是.

【答案】8

【解析】

【分析】根據多邊形外角和是360度，正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等，直接用360。+45。可

求得邊數.

【詳解】解：「多邊形外角和是360度，正多邊形的一個外角是45。，

.?.360°+45。=8

即該正多邊形的邊數是8,

故答案為:8.

【點睛】本題主要考查了多邊形外角和以及多邊形的邊數，解題的關鍵是掌握正多邊形的各個內角相等，

各個外角也相等.

14.重慶在低空經濟領域實現了新的突破.今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季

度低空飛行航線安全運行將達到401架次.設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為x,根據

題意,可列方程為.

【答案】200(1+x)2=401

【解析】

【分析】本題主要考查了一兀二次方程的實際應用，設笫二、笫三兩個季度安全運行架次的平均增長率為

孫則第二季度低空飛行航線安全運行了200(l+x)架次，第三季度低空飛行航線安全運行了200(l+x『

架次，據此列出方程即可.

【詳解】解：設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為工,

由題意得，200(1+力2=401,

故答案為：200（1+式y=401.

15.如圖，在,.ABC中，AB=AC,ZA=36°,8。平分4/WC交AC于點。.若BC=2,則AO

的長度為.

（冬】2

【解析】

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，先根據等邊對

等角和三角形內角和定理求出NC=NA3C=72。，再由角平分線的定義得到NA3O=NC3D=36。，進

而可證明NA=NA8。，/BDC=/C,即可推出AO=8C=2.

【詳解】解：???在，.ABC中，AB=AC,ZA=36°,

??.ZC=ZABC==72。，

2

???8O平分/ABC,

???ZABD=4CBD=-ZABC=36°,

2

AZA=ZABD,ZBDC=ZA+ZABD=72°=ZC,

AD=BD,BD=BC，

AD=BC=2,

故答案為：2.

^1<3

16.若關于x的一元一次不等式組J3的解集為了44,且關于）'的分式方程

4x-2<3x+a

----K=1的解均為負整數，則所有滿足條件的整數。的值之和是_______.

y-2y+2

【答案】12

【解析】

【分析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，根據不等式組的解集求參數，先解不等式組中的

兩個不等式，再根據不等式組的解集求出。>2；解分式方程得到），=巳=，再由關于），的分式方程

〃一8y

=1的解均為負整數，推出。<1()且4W6且。是偶數，則2<。<10且6且”是偶數,

y-2y+2

據此確定符合題意的。的值，最后求和即可.

2工3①

【詳解】解：3

4x-2<3x+a?

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：x<a+2,

???不等式組的解集為x44,

；?〃+2>4,

67>2;

4—8y.a—10

解分式方程=i得zy=—7—

7^2),+2

???美于)’的分式方程於。-8-左y口,的解均為負整數'

〃—10八r。-10口總以ciCa—10.八

<0且是整數且y+2=+2工0,

2-------------2---------------------------------2

???〃<10且。。6旦。是偶數,

???2vavl0且。工6且。是偶數，

???滿足題意的a的值可以為4或8,

???所有滿足條件的整數。的值之和是4+8=12.

故答案為：12.

17.如圖，A3是。O的直徑，6C是CO的切線，點“為切點.連接AC交0。于點。，點￡是。0上

一點，連接DE,過點A作A/〃8E交4。的延長線于點尸.若BC=5,8=3,

/F=ZADE，則A3的長度是；的長度是.

E

2()oX2

【答案】①.--##6—②.—##2—

3333

【解析】

【分析】由直徑所對的圓周先是直角得到NAOB=NBDC=90。，根據勾股定理求出8力=4,則

CD3

cosC=—=1,由切線的性質得到NA8C=90。，則可證明NC=NA3O,解直角三角形即可求出

BD20

AB=-----------=—：連接AE,由平行線的性質得到N8AF=NA8E,再由"=NAD￡：，

cosZABD3

AADE=NABE，推出Z.F—/BAF，得到BF—AB=――，則DF=BF—BD=——4=—.

333

【詳解】解：???AB是。。的直徑，

???ZADB=/BDC=9()。,

在RlaBOC中，由勾股定理得4D=JAC2_CD2=4,

.「CD3

??cosC=---=-,

BC5

???BC是：。的切線，

???ZABC=90°,

???ZC+ZCBD=ZCBD+ZABD=90°,

:.4C=ZABD,

—BD420

在Rt/VIBO中，cosAABD33：

5

如圖所示，連接AE,

vAF〃BE，

/.zLBAF=ZABE,

,:乙F=NADE，ZADE=ZABE,

???MF=/BAF,

:.BF=AB=—,

3

2（）y

??.DF=BF-BD=——4=一；

33

208

故答案為：—；—.

33

【點睛】本題主要考查了切線的性質，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，解

直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明Nb=44尸是解題的關鍵.

18.一個各數位均不為0的四位自然數礪，若滿足o+d=〃+c=9,則稱這個四位數為“友誼

數".例如：四位數1278,?.?1+8=2+7=9,，1278是“友誼數”.若〃機0是一個“友誼數”，且

_____歷

b-a=c-b=\,則這個數為；若加=礪是一個“友誼數”，設尸（加）=豆，且

+衣是整數,則滿足條件的加的最大值是.

13

【答案】?.3456②.6273

【解析】

【分析】本題主要考查了新定義，根據新定義得到4+d=〃+c=9,再由〃一。=。一〃=1可求出〃、b、

c、d的值，進而可得答案；先求出河=999。+9（乃+99,進而得到

FW）+7+M=9〃+8+3""6,根據尸（町+7+.是整數,得到9〃+8+23是整

13131313

數，即網主”9是整數，則3a+Zn6是13的倍數，求出再按照。從大到小的范圍討論求解即

13

可.

【詳解】解：???麗是一個“友誼數”，

=b+c=9,

又“:b—a=c—b=',

/?=4,c=5?

：?a=3、d=6,

???這個數為3456；

二而/是一個“友誼數”，

/.jW=1000a+100Z>+10c+J

=KXX)〃+10077+10(9-〃)+9-a

=999?+90/7+99,

,、M

???F（M）=—=llk/+10/?+IL

.F（M）+ab+cd

13

]\\a+\0b+\]+]0a+b+\0c+d

~13

111。+10〃+11+10。+〃+10（9-8）+9-。

二13

120。+〃+110

:13

117。+3。+〃+104+6

:13

=%，+8+四心心，

13

..."海）+”十M是整數.

13

??.9。+8+網士"勺是整數，即3"+"-6是整數,

1313

???%+b+6是13的倍數,

???〃、。、c、d都是不為。的正整數，且。+d=Z?+c=9,

Art<8,

???當E=8時，31K3a+0+6K38,此時不滿足3。+〃+6是13的倍數，不符合題意：

當〃=7時，28<3。+〃+6工35,此時不滿足3。+〃+6是13的倍數，不符合題意；

當〃=6時，2543a+人+6432,此時可以滿足3。+〃+6是13的倍數，即此時力=2,則此時

d=3,c=7,

???要使〃最大，則一定要滿足。最大，

.??滿足題意的M的最大值即為6273：

故答案為：3456；6273.

三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題

必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫

在答題卡中對應的位置上.

19.計算：

（1）々（3—〃）+（〃-1）（々+2）；

X2-4

(2)

x2-4x+4

【答案】(1)4a-2

x

x+2

【解析】

【分析】本題主要考查了整式的混合計算，分式的混合計算：

(1)先根據單項式乘以多項式的計算法則和多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項即可得

到答案:

(2)先把小括號內的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡即可得到答案.

【小問1詳解】

解：々(3-a)+(a-l)(a+2)

=3a-a2+a2-a+2a-2

=4a—2；

【小問2詳解】

?1x-2J'X2-4X+4

_x—2+2(x+2)(x-2)

x-2(x-2)*,

=x(x-2『

x-2(x+2)(x-2)

x

=x+2*

20.數學文化有利于激發學生數學興趣.某校為了解學生數學文化知識掌握的情況，從該校七、八年級學

生中各隨機抽取10名學生參加了數學文化知識競賽，并對數據(百分制)進行整理、描述和分析(成績

均不低于70分，用工表示，共分三組：A.90<x<l(X),B.80<x<9(),C.70<x<80),下面給出了

部分信息：

七年級10名學生的競賽成績是:76,78,80,82,87,87,87,93,93,97.

八年級10名學生的競賽成績在B組中的數據是：80,83,88,88.

七、八年級抽取的學生競賽成績統計表

年級平均中位眾

八年級抽取的學生競賽成績扇形統計圖

根據以上信息，解答下列問題:

（1）填空：a=,b=,〃?=；

（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生數學文化知識較好？請說明理由（寫出一條

理由即可）；

（3）該校七年級學生有500人，八年級學生有400人.估計該校七、八年級學生中數學文化知識為“優

秀”（XN90）的總共有多少人？

【答案】（1）88；87；40

C）八年級學生數學文化知識較好，理由見解析

（3）310人

【解析】

【分析】本題主要考查了中位數，眾數，用樣本估計總體，扇形統計圖等等：

（1）根據中位數和眾數的定義可求出。、人的值，先求出把年級A組的人數，進而可求出，〃的值；

（2）根據八年級學生成績的中位數和眾數都比七年級學生成績的高即可得到結論；

（3）用七年級的人數乘以七年級樣本中優秀的人數占比求出七年級優秀人數，用八年級的人數乘以八年級

樣本中優秀的人數占比求出八年級優秀人數，再二者求和即可得到答案.

【小問1詳解】

解：八年級。組的人數為10x20%=2人，而八年級B組有4人，則把八年級10名學生的成績按照從低

到高排列，處在第5名和第6名的成績分別為88分，88分，

OO1OQ

???八年級學生成績的中位數a=------=88；

2

???七年級10名學生成績中，得分為87分的人數最多,

???七年級眾數人=87；

由題意得，〃?％二

10

m=40；

故答案為：88；87；40；

【小問2詳解】

解：八年級學生數學文化知識較好，理由如下:

???兩個年級10名學生的平均成績相同，但是八年級學生成績的中位數和眾數都比七年級學生成績的高,

???八年級學生數學文化知識較好;

【小問3詳解】

解：500x—+400x40%=310A,

10

???估計該校七、八年級學生中數學文化知識為“優秀”的總共有310人.

21.在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發現，過矩形的一條對角線的

中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用

證明三角形全等得到此結論.根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空:

（I）如圖，在矩形A8CO中，點O是對角線AC的中點.用尺規過點。作AC的垂線，分別交A3,

CD于點E，F,連接A”，CE.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）已知：矩形A8CO,點E,“分別在八5,C力上，EF經過對角線AC的中點。，且

EF1AC.求證：四邊形AEC尸是菱形.

證明：???四邊形A3CO是矩形,

AABCD.

?9，4OCF=/OAE.

???點。是AC中點,

???②.

AACFO=AAEO(AAS).

???③.

又,.?O4=OC,

???四邊形AECR是平行四邊形.

???EF1AC,

???四邊形AECb是菱形.

進一步思考，如果四邊形A3C。是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④.

【答案】（1）見解析（2）?ZOFC=ZOE4；②Q4=OC；③OF=OE；④四邊形是菱形

【解析】

【分析】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的性質與判定，菱形的判定，垂線的尺規作圖：

（1）根據垂線的尺規作圖方法作圖即可；

（2）根據矩形或平行四邊形的對邊平行得到NO尸C=NOE4,Z.OCF=ZOAE,進而證明

AC打運AAEO（AAS）,得到OF=OE,即可證明四邊形AEb是平行四邊形.再由所上AC,即可

證明四邊形AECR是菱形.

【小問I詳解】

解：如圖所示，即為所求：

【小問2詳解】

證明：???四邊形A3CO是矩形，

AABCD.

AZOFC=ZOE4,ZOCF=^OAE.

???點。是AC的中點，

：,OA=OC.

??.CFO^,A￡O（AAS）.

；.（）F=OE.

又,：OA=OC、

???四邊形AECF是平行四邊形.

???EF1AC,

???四邊形AECF是菱形.

猜想：過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角

線的兩個端點構成的四邊形是菱形；

證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

AABnCD.

AAOFC=ZOEA,ZOCF=ZOAE.

???點。是4c的中點，

?**OA=OC.

A^CFO^MEO（AAS）.

:.OF—OE.

又?,?04=0。，

:.四邊形AECF是平行四邊形.

???EF±AC,

???四邊形AECR是菱形.

故答案為：①NO尸C=NOE4；②QA=OC；③OF=OE；④四邊形是菱形.

22.某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙兩人分別用A、8兩種

外埼漆各完成總粉刷任務的?半.據測算需要A、8兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000

元，已知A種外墻漆每千克的價格比4種外墻漆每千克的價格多2元.

（1）求A、A兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

4

（2）已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的二，乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷

任務所需時間多5小時.問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】（1）A種外墻漆每千克的價格為26元，則“種外墻漆每千克的價格為24元.

（2）甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

【解析】

【分析】木題考查的是分式方程的應用，?元?次方程的應用，理解題意建立方程是解木題的關鍵；

（1）設A種外墻漆每千克的價格為％元，則8種外墻漆每千克的價格為（犬-2）元，再根據總費用為

15C00元列方程求解即可；

4

（2）設甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是二），平方米；利用乙完成粉刷任務

所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時.從而建立分式方程求解即可.

【小問1詳解】

解：設A種外墻漆每千克的價格為x元，則"種外墻漆每千克的價格為(x-2)元,

???300x+300(x-2)=15000,

解得：x=26,

x-2=24,

答：A種外墻漆每千克的價格為26元，8種外墻漆每千克的價格為24元.

【小問2詳解】

4

設甲每小時粉刷外墻面積為》平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是一y平方米；

5

500<500

A4__$丁，

y

解得：丁=25,

經檢驗：丁二25是原方程的根且符合題意，

答：甲每小時粉刷外增的面積是25平方米.

23.如圖，在,ABC中，AB=6,BC=8,點尸為A3上一點，過點?作〃Q〃8c交4c于點Q.設

AP的長度為肛點尸，。的距離為凹，98。的周長與△AP。的周長之比為乃.

(1)請直接寫出,，刈分別關于x的函數表達式，并注明自變量工的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出函數X