大氣密度分布亦屬最大熵狀態摘要：本文依據最大熵原理結合靜力平衡條件運用變分法居然也導出了勻強力場中的等溫理想氣體系統的密度分函數。從而獲得了“大氣密度分布屬于最大熵狀態”的認識。還通過對此課題的討論，演示了運用變分法進行具體物理問題的泛函分析以尋找未知函數的技巧和注意點。同時也凸顯出最大熵原理在隨機事件概率分布中的支配地位。關鍵詞：最大熵原理變分法靜力平衡條件密度分布函數引言熱統界早就用多種思路導出了大氣密度分布函數[5]，；為大氣柱中的粒子數，為波爾茲曼常數，為分子量，為參考高度，為重力加速度，為體系的溫度（常數），則表示大氣分子數密度沿高度的分布函數，為“自然對數”的“底數”。這里尚未指出支配大氣分子這類隨機分布的“自然規律”——“最大熵原理”的潛在作用。甚至在考慮隨機事件的密度分布規律時無視“最大熵原理”這一普遍法則。為了凸顯“最大熵原理”的普遍意義；特作如下嘗試。密度分布函數的推導現在就依最大熵原理運用變分法結合力學平衡條件及相關的約束條件來重新推導等溫理想氣體系統在勻強力場中的密度分布函數。2.1.最大熵原理也可參見張學文研究員著的《組成論》2003年12月第一版第109頁。詹尼斯（E.T.Jaynes）于1957年提出：一切隨機事件的概率分布都歸宿于最大熵狀態，或曰最可幾狀態；且稱之為“最大熵原理”。其實，這也就是“熵增原理”的一種結果。2.2.變分問題對于在勻強力場中的等溫理想氣體系統，除了要滿足靜力平衡條件；還要服從所謂的“最大熵原理”；即在保證靜力平衡的前提下努力使體系取得盡可能大的熵值；這才實現最可幾的狀態。體系的熵（可由一種定積分求得）乃因分布函數的變化而變化；即體系的熵乃密度分布的函數。或曰體系的熵屬于密度分布的“泛函”。其關系為；式中表示理想氣體每個分子的平均熵值，表示大氣柱的橫截面積。且有；將這第式代入第式，得。這第式就是理想氣體系統的熵。對于等溫系統就是其密度分布的泛函。能使該泛函（體系的熵）取得極大值的那個密度分布函數，就是其穩定態密度分布函數；這就將求未知函數歸結為求泛函的極值問題；這常被稱為所謂的“變分問題”[7]。2.3.約束條件 這里不僅要保證體系處于等溫狀態，還要保證其滿足力學的平衡，；或寫成積分形式；其中為其參考點的壓力。因為這是理想氣體系統；依其狀態方程可將第式寫成；為了計算的方便可將其再作一次定積分，；其中為該定積分之值。因為這個定積分的被積函數等于常數（），故知第式定積分之值等于零，即有。還有一個約束條件，。2.4.歐勒方程[7]這里宜使用間接變分法，即將“變分問題”轉化為求解“歐勒方程”的過程。歐勒方程是一種微分方程，對于這種簡單情形，它的定義式是；其中函數由拉格朗日待常系數法給出；其中與分別為待定常系數?，F第三式同時代入第式，；注意，這里因中不含密度對坐標的導數故有。還因為對定積分的微商等于對該定積分的被積函數的微商，故可簡寫為，。這就是勻強力場中理想氣體系統（熵）泛函變分問題的“歐勒方程”。2.5速率分布函數的找出對第式進行微分并約掉公共因子得，；從中求出。這就是含有待定常數的速率分布函數；式中為待定函數。這里使用了微分與不定積分的次序交換法[8]；因為積、微分與微、積分僅僅相別一待定函數；即有；其中為待定函數。現在來尋找其待定函數的具體形式。考慮到定解條件如邊界值，亦即其零點值必須支持靜力平衡條件；即當時，第式變成；從該式得待定函數的試探形式；在此這待定函數是一個常數。即為了滿足定解條件的要求，待定函數似乎只能如此。若這個選擇不妥，必將在以后的相關運算中導致不和諧的局面；那就要依其“邊界條件”；作再試探再調整，直至合適為止。這也屬于“變分法”中的一種“直接法[7]”。現將這“試探式”（即此第式）代入第式得現將這第式代入第式并約掉一些公共因子得該式左邊括號中的第一項對應著在無窮高的位置時的氣體分布密度，究其值顯然為零（即有）；（當然還有）；故得知將這第式代入第式得這就是通常使用的大氣密度分布函數[5]。其中為勻強力場中橫截面積等于的無窮高大氣柱內所擁有的大氣分子個數。總結本文的邏輯特點就是運用變分法不時地結合物理意義（邊界條件）進行尋找未知的待定函數。故這并不是純粹的數學過程。這種“數學物理方法”乃尋找實際過程未知函數的常用方法。它的真確性有待（至少是定性的）佐證。因為從純數學的角度看待定函數的具體形式很多。它有可能是個常數（如在本課題中即如此）；但在有的場合（如在討論定熵過程的密度分布時）卻又是個變數。究竟怎樣選擇？這就必須結合物理問題的具體情況來試探與抉擇；否則就失去了具體物理問題的特定意義。故本文的寫作意義并不僅僅在于尋找大氣密度分布函數；而重在以此為例，演示如何運用“變分法”進行具體問題的泛函分析——即展示聯合使用“變分法”中的“間接法”與“直接法”來尋找試探函數的方法及其過程。還企圖通過此課題的討論來凸顯“最大熵原理”在隨機事件的概率分布中的支配地位。參考文獻[1]汪志誠，《熱力學·統計物理》（第三版），北京：高等教育出版社，2003.3。[2]吉林大學等校編，《物理化學》，北京：人民教育出版社，1979.2。[3]李如生，《非平衡態熱力學和耗散結構》，北京：清華大學出版社，1986.4。[4]李洪芳，《熱學》，上海：復旦大學出版社，1994.12。[5]Л．Д．朗道，Е．М．栗弗席茲，合著；楊訓愷等譯；《統計物理學》，北京：人民教育出版社，1964.7。[6]趙凱華，羅蔚茵，《力學》，北京：高等