【能力提升】二次根式與材料閱讀問題分層練習1．請閱讀下列材料：問題：已知x=5+2，求代數式小敏的做法是：根據x=5+2得∴x2?4x+4=5把x2?4x作為整體代入：得即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：(1)已知x=5?2，求代數式(2)已知x=5?122．求代數式a+a2?2a+1小芳：解：原式=a+（小亮：解：原式＝a+（(1)______的解法是錯誤的；(2)求代數式a+2a2?6a+93．小明在解決問題：已知a=12+3∵a=1∴a?2=?3∴a?22=3，即∴a2∴2a請你根據小明的分析過程，解決如下問題：(1)填空：111+10(2)計算：12(3)若a=110?34．閱讀并解答問題：121312+……上面的計算過程叫做“分母有理化”，仿照上述計算過程，解答下列問題：(1)將15(2)已知a=17+6，(3)計算125．觀察下列一組等式，解答后面的問題：(2＋1)(2－1)＝1，(3＋2)(3－2)＝1，(4＋3)(4－3)＝1，(5＋4)(5－4)＝1，(1)根據上面的規律：①16②3?(2)計算：（12+1＋13+2＋1(3)若a＝12+1，則求6．愛動腦筋的小明在做二次根式的化簡時，發現一些二次根式的被開方數是二次三項式，而且這些二次三項式正好是完全平方式的結構，于是就可以利用二次根式的性質：a2比如：x2∴當x+1≥0即x≥?1時，原式=x+1；當x+1<0即x<?1時，原式=?x?1．（1）仿照上面的例子，請你嘗試化簡m2（2）判斷甲、乙兩人在解決問題：“a=9，求a+1?2a+甲的答案：原式=a+1?a乙的答案：原式=a+1?a（3）化簡并求值：x?1+4?4x+x7．閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數學上有一種根號內又帶根號的數，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質化去里面的一層根號．例如：3+22＝3+2×1×2＝12+2×1×2解決問題：(1)在括號內填上適當的數：14+65＝①+2×3×5+②＝③2+2×3×5+④2＝(3+(2)根據上述思路，試將28?1038．“分母有理化”是我們常見的一種化簡的方法．如：2+1除此之外，我們也可以平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數．如：化簡2+3解：設x=2+3?2?3由于x2解得x=2，即2+3根據以上方法，化簡：3?229．小馬在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個含根號的式子的平方，如3+22設a+b2=m+n22，（其中a、b、∴a=m2+2這樣，小馬找到了把部分a+b2請你仿照小明的方法探索并解決問題：(1)當a，b，m，n均為正整數時，若a+b3=m+n32，用含m，n的式子分別表示a，b(2)利用所探索的結論，找一組正整數a，b，m，n填空：+3(3)設x=3+2，試用含有x10．閱讀材料：我們在學習二次根式時，熟悉了分母有理化及其應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7﹣6＝(7?6分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7﹣6和6?5的大小可以先將它們分子有理化如下：7﹣6＝17+6因為7+6＞6+5，所以，7﹣6＜再例如，求y＝x+2﹣x?2的最大值、做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝x+2﹣x?2＝4x+2當x＝2時，分母x+2﹣x?2有最小值2．所以y的最大值是2．利用上面的方法，完成下述兩題：（1）比較15﹣14和14﹣13的大小；（2）求y＝x+1﹣x?1+3的最大值．11．像2?2=2；(（1）12（2）2勤奮好學的小明發現；可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數．（3）化簡：3+5解：設x=3+5?3?5由：x2=3+5即3+5?3?請你解決下列問題：（1）23?35（2）化簡：33（3）化簡：6?3312．一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22＝（1+2）2．設a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均為正整數），則有a+b2＝m2+2n2+2mn2，∴a＝m2（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b3＝（m+n3）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝．（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空：+5＝（+5）2；（3）化簡113．小明在解決問題：已知a=12+3∵a=1∴a?2=?3∴a?22=3，a2∴2a請你根據小明的分析過程，解決如下問題：(1)求13(2)若a=1①求4a②直接寫出代數式的值：a3?2a14．閱讀材料：像5+25?2=3、a?a=aa≥0、b+1b?1在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．例如：123解答下列問題：（1）3?7與互為有理化因式，將23（2）計算：1（3）觀察下面的變形規律并解決問題：

①12+1=2?1，13+2=

②計算：1（24-25八年級上·北京通州·期末）15．我們已經學習了二次根式和完全平方公式，請閱讀下面材料：當a>0,b>0時：∵又∵∴a?2∴a+b≥2當且僅當a=b時，a+b=2ab請利用上述結論解決以下問題：(1)當x>0時，4x+1x的最小值為______，此時(2)若y=x2+4x+9（23-24八年級下·福建福州·期中）16．如果一個三角形三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么三角形的面積為S=p(p?a)(p?b)(p?c)…，①古希臘的幾何學家海倫（Heron，約公元50年），在數學史上以解決幾何測量問題而聞名，在他的著作《度量》一書中，給出了公式①和它的證明，這一公式稱為海倫公式，我國南宋時期數學家秦九韶（約1202-約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式S=14(1)設a，b，c為△ABC的三邊，當a=4，b=5，c=6時，求S△ABC(2)請你對公式②進行變形，推導出公式①．（23-24八年級下·福建泉州·階段練習）17．閱讀下列兩份材料，理解其含義并解決下列問題：【閱讀材料1】如果兩個正數a，b，即a>0，b>0，則有下面的不等式：a+b2≥ab【實例剖析1】已知x>0，求式子y=x+4解：令a=x，b=4x，則由a+b2≥ab，得y=x+【閱讀材料2】我們知道，分子比分母小的分數叫做“真分數”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數，叫做“假分數”．類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．【實例剖析2】如：x?1x+1，x2x?1這樣的分式就是假分式；如：3x+1，2xx2+1這樣的分式就是真分式，假分數7【學以致用】根據上面兩份材料回答下列問題：(1)已知x＞0，則當x=時，式子x+9x取到最小值，最小值為(2)分式3x是（填“真分式”或“假分式”）；假分式x+6x+1可化為帶分式形式；如果分式x+6x+4的值為整數，則滿足條件的整數x(3)用籬笆圍一個面積為100m(4)已知x>1，當x取何值時，分式x?1x（23-24八年級下·四川達州·期末）18．閱讀以下材料：如果兩個正數a?b，即∵(a?b)∴a?2∴a+b≥2ab（當且僅當a=b結論：對任意兩個正數a,b，都有a+b≥2ab；上述不等式當且僅當a=b時等號成立．當這兩個正數a,b的積為定值（常數）時，可以利用這個結論求兩數a,b例如：當x為正數時，兩數x和4x均為正數，且x?4x=4（常數），則有x+4∴當x=2時，x+4利用以上結論完成下列問題：(1)已知m為正數，即m>0，則當m=時，m+1m取到最小值，最小值為(2)當y?x均為正數，即y>0,x>0時，求函數(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC?BD相交于點O,△AOB?（23-24八年級下·寧夏石嘴山·期中）19．【閱讀下列材料】若a>0,b>0，則a=(a)∵(a?b)2≥0,a+b?2ab≥0,∴a+b≥2【例】：若a>0,b>0,ab=16，求a+b的最小值．解：∵a>0,b>0,ab=16?∴a+b≥2ab∴a=b=4時，a+b的最小值為8．【解決問題】(1)若m>0,n>0,m+n=24，求mn的最大值；(2)用籬笆圍成一個面積為144m(3)用一段長為80m（2024·江蘇鎮江·二模）20．中國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，即已知三角形的三邊長，求它的面積，用現代式子表示為S=1古希臘數學家海倫利用三角形三條邊的邊長直接求出了三角形的面積．如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么這個三角形的面積請完成下列問題：(1)一個三角形的三邊長依次為5，5，6，則該三角形的面積為；(2)請由秦九韶公式推導出海倫公式；(3)若三角形的周長為24cm，一邊長為6（23-24八年級下·山東濟寧·期中）21．[材料一]兩個含有二次根式且非零的代數式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數式互為有理化因式．例如：2×2=2，(3+1)×(3?1)=2，我們稱2（1）5的有理化因式是______（寫出一個即可），2?3[材料二]如果一個代數式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化簡：12[材料三]與分母有理化類似，將代數式分子、分母同乘分子的有理化因式，從而消去分子中的根式，這種變形叫做分子有理化．比如：3（3）試利用分子有理化比較8?7和（23-24八年級下·北京西城·期中）22．在數學課上，老師說統計學中常用的平均數不是只有算術平均數一種，好學的小聰通過網絡搜索，又得到了兩種平均數的定義，他把三種平均數的定義整理如下：對于兩個數a，b，M=a+b2稱為a，N=ab稱為a，bP=a2+b2小聰根據上述定義，探究了一些問題，下面是他的探究過程，請你補充完整：(1)若a=?1，b=?3，則M=______，N=______，P=______；(2)小聰發現當a，b兩數異號時，在實數范圍內N沒有意義，所以決定只研究當a，b都是正數時這三種平均數的大小關系．結合乘法公式和勾股定理的學習經驗，他選擇構造幾何圖形，用面積法解決問題：如圖，畫出邊長為a+b的正方形和它的兩條對角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示p2①請分別在圖2，圖3中用陰影標出一個面積為M2，N②借助圖形可知當a，b都是正數時，M，N，P的大小關系是：______（把M，N，P從小到大排列，并用“<”或“≤”號連接）．③當a+b=4時，N的最大值是______．（23-24八年級下·北京·期中）23．閱讀材料：材料一：數學上有一種根號內又帶根號的數，它們能通過完全平方式及二次根式的性質化去一層（或多層）根號，如：12材料二：配方法是初中數學思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式，利用完全平方式來解決問題，它的應用非常廣泛，在解方程、化簡根式、因式分解等方面都經常用到．如：x2∵x+∴x+22∴x閱讀上述材料解決下面問題：(1)4?23=_______，(2)求x2(3)比較6?2和7（19-20八年級上·四川·階段練習）24．閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如23+1一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：23+1=2(3?1)②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求a2+b2．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則a2(1)計算：13+1+15+(2)m是正整數，am+1?mm+1+m，bm+1(3)已知15+x2參考答案1．(1)?9；(2)0．【分析】（1）先將原式配方變形后，將x的值代入計算即可求出值；（2）先求出x2【詳解】（1）解：∵x=5∴x+2=5則原式=(===5?14=?9；（2）解：∵x=5∴x則原式=x(====?1+1=0．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值、求代數式的值，解題的關鍵是熟練掌握運算法則．2．(1)小亮(2)2+【分析】（1）根據完全平方式a2?2ab+b（2）根據完全平方式a2?2ab+b【詳解】（1）解：∵a=?2022，∴代數式a+a∴小亮的解法錯誤，故答案為小亮．（2）解：∵a=4?5∴a+2a【點睛】本題考查了完全平方式a23．(1)11?10(2)2020(3)?3【分析】本題考查分母有理化，二次根式的混合運算，代數式求值，完全平方公式的應用：（1）根據分母有理化法則計算；（2）根據分母有理化法則把各個二次根式化簡，合并同類二次根式即可；（3）根據分母有理化把a的值化簡，根據完全平方公式把原式化簡，把化簡后的a的值代入計算即可．【詳解】（1）解：1111n故答案為：11?10；（2）解：原式===2021?1=2020．（3）解：2a∵a=1∴原式=2104．(1)5(2)2(3)9【分析】（1）仿照資料中分母有理化的方法即可求解；（2）仿照資料中分母有理化的方法分別計算出a,b的值，再a+b的值即可；（3）仿照資料中分母有理化的方法將代數式化簡，再根據二次根式的加減運算法則即可求解．【詳解】（1）解：原式=5?2(（2）解：a=7?6∴a+b=7（3）解：原式=2?1==10?1=9．【點睛】本題主要考查二次根式的性質，分母有理化的計算方法，掌握二次根式性質，分母有理化的計算方法是解題的關鍵．5．(1)①6②5+2(2)2021(3)11【分析】（1）利用平方差公式，分母有理化即可求解；（2）利用分母有理化將原式化成2?1+（3）由a=12+1=2?1，推出【詳解】（1）解：①原式==6②原式==5+26（2）解：原式===2022?1=2021；（3）解：∵a=1∴a+1=2∴a2+2a+1=2，即∴a=a=a?2=a?2(1?2a)?4+8a?2a+1=a?2+4a?4+8a?2a+1=a?2+4a?4+8a?2a+1=11a?5=11(=112【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．6．（1）當m≥12時，原式=m?12；當m<12【分析】（1）利用因式分解法分解因式，然后再開平方即可；（2）利用完全平方公式化簡，然后求值即可；（3）利用完全平方公式化簡，再根據絕對值的性質化簡，然后求值即可．【詳解】解：（1）m∴當m?12≥0即m≥當m?12<0即m<（2）兩個人的答案都不正確，正確的解法是：a+當a=9時，原式=9+9?1（3）x?1==x?1∵x=5∴2<x<3，∴x?1==x?1?2+x=2x?3，當x=5時，原式=2【點睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，完全平方公式的應用，熟練掌握二次根式的性質和完全平方公式是解題的關鍵．7．(1)①9；②5；③3；④5；⑤3+5(2)5﹣3【分析】（1）根據閱讀材料將根式內的數配成完全平方的形式去一層根號即可；（2）根據閱讀材料將根式內的數配成完全平方的形式去一層根號即可．【詳解】（1）解：14+6＝9+2×3×＝3＝3+＝3+5．故答案為：①9；②5；③3；④5；⑤3+5；（2）解：原式＝25?2×5×＝5＝5?＝5﹣3．【點睛】本題主要考查完全平方公式和二次根式的性質，熟練應用完全平方公式是解題的關鍵．8．17?13【分析】由常見的分母有理化利用平方差公式化解3?223+22【詳解】解：3?22設x=3+∵3+5∴x>0，∵x==3+=3+=2，∴x=2∴原式=17?122【點睛】本題考查了分母有理化以及提取題干信息的能力；關鍵在于要會用平方差公式進行分母有理化，讀懂題干，能用平方差公式進行有理化．9．(1)m(2)12，6，3，1（答案不唯一）(3)x【分析】本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式等知識．（1）根據上面的例子，將m+n3（2）由（1）可寫出一組答案，不唯一；（3）先把已知條件變形得到x?2=3，再兩邊平方得到x2?2【詳解】（1）解：∵a+b3∴a+b3∴a=m2+3故答案為：m2+3n（2）解：設a+b3∵m+n3∴2mn=b，a=m取m=3，n=1，則b=6，a=9+3=12，故答案為：12，6，3，1；（3）解：∵x=3∴x?2∴x?2∴x∴2=10．（1）15?14＜14?【分析】（1）先根據材料分別給15﹣14和14﹣13，分子有理化，然后再進行比較即可；（2）先根據二次根式有意義的條件確定x的取值范圍，然后再對無理數部分分子有理化，然后再求最大值即可．【詳解】解：（1）15?14?而15>∴15+14＞∴15?14＜（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y＝x+1?x?1+3當x＝1時，分母x+1+x?1有最小值∴y＝2x+1+x?1【點睛】本題考查了分母有理化的應用以及閱讀理解能力，根據分母有理化理解分子有理化的方法是解答本題的關鍵．11．（1）23+35；（2）【分析】（1）根據有理化因式的定義即可求解；（2）根據分母有理化的方法化簡即可求解；（3）根據平方之后再開方的方式即可求解．【詳解】（1）23?35故答案為：23（2）3=3=3+（3）設x=6?33?6+33，易知由：x2=6?33∵x<0∴6?33?6+3【點睛】此題主要考查二次根式運算的應用，解題的關鍵是熟知分母有理化與二次根式的運算法則．12．（1）m2+3n2，2mn；（2）21，4，1，2；（3）13【分析】（1）將（m+n3）2用完全平方公式展開，與原等式左邊比較，即可得答案；（2）設a+b5＝(m+n5)2，則(m+n5)2＝m2+2mn（3）利用題中描述的方法，將要化簡的雙重根號，先化為一重根號，再利用分母有理化化簡，再合并同類二次根式和同類項即可．【詳解】解：（1）∵a+b3=(m+n3)2，(m+n∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案為：m2+3n2，2mn．（2）設a+b5＝(m+n則(m+n5)2＝m2+2mn∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，則a＝21，b＝4故答案為：21，4，1，2．（3）1＝1(3?7＝13?7＝3+7＝3+72＝32+23+7＝13【點睛】本題考查了利用分母有理化和利用完全平方公式對二次根式化簡，以及對這種方法的拓展應用，本題具有一定的計算難度．13．(1)5；(2)①5；②22【分析】本題考查了分母有理化，利用分母有理化是解本題的關鍵．（1）根據題目中的例子，將題目中的式子分母有理化，然后計算即可求得所求式子的值；（2）①根據題目中的例子，將a的分母有理化，然后即可得到a?1的值和a2②將所求式子變形，再根據a2【詳解】（1）解：原式＝3===＝1=5；（2）解：a=1①∵a=2∴a?1=2兩邊平方，得a2即a2∴4=4=4×1+1=4+1=5；②∵由①知，a2?2a=1，∴a3∵a2∴a2除以a得a?1∴2＝2＝2=2×1?a+=?a+=?=?2+4=2，故答案為：2214．（1）3+7，23；（2）2?3【分析】（1）根據互為有理化因式的定義和化簡有理化因式的方法可解；（2）先把其中的二次根式中的分母有理化，再合并同類二次根式即可；（3）①利用分母有理化化簡即可；②由①的結論化簡第一個括號內的式子，然后利用平方差公式計算即可．【詳解】解：（1）根據互為有理化因式的定義可知，3?7與3+23故答案為3+7，2（2）1=2+=2+3=2?3故答案為2?3（3）①1n+1②1=(=(2019=2019-1=2018.故答案為①n+1?【點睛】本題考查了互為有理化因式的定義及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化進行計算及探究相關式子的規律，本題屬于中檔題．15．(1)4，1(2)y的最小值為2【分析】本題考查了二次根式和完全平方公式的應用，讀懂題意，能熟練仿照示例是解題的關鍵．（1）根據示例，得到4x+1x≥4（2）仿照示例，x+2+【詳解】（1）解：∵x>0，∴2x∵2x∴4x?4x∴4x+1即4x+1當且僅當4x=1x時，解得x=1∴當x>0時，4x+1x的最小值為4，此時故答案為：4，12（2）解：y=x∵x>?2，∴x+2+∴x+2+當且僅當x+2=5x+2，即x=5?2時，∴y的最小值為2516．(1)154(2)見解析．【分析】本題主要考查二次根式的混合運算和利用平方差公式對整式變型，（1）根據給定的算法求得p，在分別求得p?a，p?b和p?c，代入計算即可；（2）結合已知求得p?a=b+c?a2，p?b=a+c?b【詳解】（1）解：當a=4，b=5，c=6時，p=a+b+c∴p?a=152?4=72∴S=p(p?a)(p?b)(p?c)＝15（2）解：∵p=a+b+c∴p?a=b+c?a2，p?b=∴S=14＝1＝1＝1＝1＝c?a+b＝p(p?a)(p?b)(p?c)．17．(1)3，6(2)真分式，1+5(3)當這個矩形的長、寬各為10米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米(4)當x=3時，分式x?1x2【分析】（1）根據題中的公式確定出原式的最小值即可；（2）根據新定義判斷分式3x是真分式，將假分式化為真分式再判斷滿足條件的整數x（3）設這個矩形的長為x米，則寬=面積÷長，即寬=100x米，則所用的籬笆總長為2倍的長a+b2（4）根據實例剖析1和實例剖析2，將原式改寫，然后使用不等式的性質進行計算即可得到答案；．【詳解】（1）解：令a=x,b=9x，則有得x+9當且僅當x=9x時，即正數故答案為：3，6；（2）解：根據新定義分式3xx+6x+1∵x為整數，x+6x+4∴2x+4∴x+4=2或x+4=?2或x+4=1或x+4=?1，解得：x=?2或x=?6或x=?3或x=?5，則滿足條件的整數x的值有4個，故答案為：真分式，1+5（3）解：設這個矩形的長為x米，則寬為100x米，所用的籬笆總長為y根據題意得：y=2x+200由上述性質知：∵x>0，∴2x+200此時，2x=200∴x=10，答：當這個矩形的長、寬各為10米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米；（4）解：x?1===1∵x>1，∴x?1+4當且當x?1=4x?1時，即x=3時，式子當x=3時，分式x?1x2?2x+5【點睛】本題是材料題，考查學生對所給材料的理解分析能力，涉及分式的加減、二次根式的乘法、不等式的性質、完全平方公式、利用平方根解方程等知識，熟練運用已知材料和所學知識，認真審題，仔細計算，并注意解題過程中需注意的事項是本題的解題關鍵．18．(1)1，2(2)3.(3)25【分析】此題考查了二次根式性質和運算的應用，掌握題目提供的結論是解題的關鍵．（1）對任意兩個正數a,b，都有a+b≥2ab；上述不等式當且僅當a=b（2）把函數變形為y=x+4（3）設S△BOC=x，則S△BOC:S△COD=【詳解】（1）解；當m>0時，m+1當且僅當m=1m即∴當m=1時，m+1故答案為：1，2（2）當y>0,x>0時，函數y=x+4∵x+當且僅當x+1=4x+1即x+1=2，即∴當x=1時，y=x+4（3）設S△BOC由題意可知，S△BOC則x:9=4:則S△AOD∴四邊形ABCD面積=4+9+x+36當且僅當x=6時，等號成立，∴四邊形ABCD面積的最小值為25．19．(1)144(2)這個長方形的長、寬分別為12m米，12m米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是(3)菜園的長為20m，寬為20m時，面積最大為【分析】本題主要考查完全平方公式的應用，二次根式的應用．（1）根據基本不等式即可求解；（2）設這個長方形的長為x米，則另一邊為y米，則xy=144，y=144x，所以所用籬笆的長為2144（3）設一邊為xm，則另一邊長為ym，則【詳解】（1）解：∵m>0,n>0,m+n=24∴m+n?2∴2∴mn∴mn≤144∴當m=n=12時，mn的最大值為144；（2）解：設這個長方形的長為x米，另一邊為y米，則xy=144，∴y=144∴所用籬笆的長為21442144∵當且僅當144x=x時，2144∴x=12或x=?12（舍去）．∴這個長方形的長、寬分別為12米，12米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是48米；（3）解：設一邊為xm，則另一邊長為ym∴x+y?2∴xy∴xy∴xy≤400∴當x=y=20時xy的最大值為400∴當x=y=20時，菜園的面積有最大值為400平方米，答：菜園的長為20m，寬為20m時，面積最大為20．(1)12(2)證明見解析(3)S的最大值為182【分析】（1）直接利用海倫公式計算即可；（2）先把開方數利用平方差公式分解因式，再繼續分解因式，結合2p=a+b+c，從而可得結論；（3）設另一邊為xcm，則第三邊為18?xcm，可得p=6+x+18?x【詳解】（1）解：∵一個三角形的三邊長依次為5，5，6，∴p=1∴S=8==12；（2）解：S====∵p=a+b+c∴2p=a+b+c，∴S==p（3）∵三角形的周長為24cm，一邊長為6設另一邊為xcm，則第三邊為18?x∴p=6+x+18?x∴S=