《三角函數的積化和差與和差化積》教學設計一、教材分析1、教材版本：人教B版2、所屬冊數：必修43、章節：第三章三角恒等變換，3.3三角函數的積化和差與和差化積4、教材內容的地位與作用這部分內容是在學生已經學習了三角函數的基本概念、同角三角函數的基本關系、兩角和與差的三角函數公式等知識的基礎上進行的。積化和差與和差化積公式是三角函數恒等變換中的重要公式，它們在三角函數的化簡、求值、證明以及解決實際問題（如物理學中的振動合成與分解等）中有著廣泛的應用。這些公式的推導過程有助于培養學生的邏輯推理能力和數學思維能力，讓學生進一步體會三角函數之間的內在聯系。二、學情分析1、知識基礎學生已經掌握了兩角和與差的三角函數公式，這為學習積化和差與和差化積公式奠定了基礎。但對于公式的靈活運用以及在復雜問題中的轉化，學生可能還存在一定的困難。2、能力基礎高中學生已經具備了一定的邏輯推理能力和運算能力，但在三角函數這種抽象概念較多的知識學習中，部分學生可能會出現理解不透徹、運算錯誤等問題。3、心理特點這個階段的學生對新知識充滿好奇心，但在遇到困難時可能會產生畏難情緒。教師在教學過程中要注重引導，激發學生的學習興趣，幫助學生克服困難。三、教學目標1、知識與技能目標讓學生理解積化和差與和差化積公式的推導過程，能夠熟練背誦這兩組公式。學生能夠運用積化和差與和差化積公式進行三角函數的化簡、求值和證明。2、過程與方法目標通過公式的推導過程，培養學生的邏輯推理能力和數學思維能力。讓學生在解決問題的過程中，學會觀察、分析、類比、轉化等數學方法。3、情感態度與價值觀目標感受數學公式的簡潔美和對稱美，激發學生對數學的熱愛之情。在小組合作學習中，培養學生的團隊合作精神和交流能力。四、教學重難點1、教學重點積化和差與和差化積公式的推導和記憶。運用公式進行三角函數的化簡、求值和證明。2、教學難點公式的推導過程中所涉及的代換思想和數學方法。在具體問題中如何正確選擇和運用公式。五、教學方法1、講授法對于公式的推導、概念的講解等內容，采用講授法，能夠使學生快速準確地獲取知識。2、討論法在公式的應用和一些典型例題的解決過程中，組織學生進行小組討論，讓學生各抒己見，共同探討解題思路和方法，培養學生的合作意識和思維能力。3、練習法通過課堂練習，讓學生及時鞏固所學知識，發現自己在學習過程中存在的問題，提高解題能力。六、教學過程（一）導入新課（5分鐘）1、復習兩角和與差的三角函數公式老師：“同學們，咱們之前學習了兩角和與差的三角函數公式，誰能給老師背一背呀？”找學生回答，如\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)，\(\sin(AB)=\sinA\cosB\cosA\sinB\)等公式。2、引出新課老師：“同學們，這些公式都很有用。今天呢，我們要在這些公式的基礎上學習新的內容，那就是三角函數的積化和差與和差化積。大家想啊，如果能把三角函數的乘積形式轉化為和差形式，或者把和差形式轉化為乘積形式，那在解決很多數學問題的時候就會方便很多呢。就像我們生活中，有時候把東西換個樣子，就更容易處理了，數學也是這樣。”（二）公式推導（15分鐘）1、積化和差公式的推導首先，我們來看積化和差公式。我們知道\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)和\(\sin(AB)=\sinA\cosB\cosA\sinB\)。把這兩個式子相加，得到\(\sin(A+B)+\sin(AB)=2\sinA\cosB\)，那么\(\sinA\cosB=\frac{1}{2}\sin(A+B)+\sin(AB)\)。同理，通過\(\cos(A+B)=\cosA\cosB\sinA\sinB\)和\(\cos(AB)=\cosA\cosB+\sinA\sinB\)，經過類似的相加或相減運算，可以推導出其他的積化和差公式。在推導過程中，老師要詳細地寫出每一步的推導過程，并且解釋清楚為什么要這樣做，讓學生理解這種代換和轉化的思想。2、和差化積公式的推導對于和差化積公式，我們可以設\(A+B=\alpha\)，\(AB=\beta\)，那么\(A=\frac{\alpha+\beta}{2}\)，\(B=\frac{\alpha\beta}{2}\)。把\(A\)和\(B\)代入到兩角和與差的三角函數公式中，經過化簡就可以得到和差化積公式。例如，把\(A\)和\(B\)代入\(\sinA+\sinB\)，利用兩角和與差的正弦公式進行化簡，得到\(\sinA+\sinB=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{AB}{2}\)。在推導過程中，引導學生注意這種換元的思想，以及如何通過已知公式推導出新的公式。（三）公式記憶（5分鐘）1、口訣記憶老師：“同學們，這兩組公式看起來有點復雜，但是我們可以用口訣來幫助記憶。積化和差公式可以記為‘正余余正，正加正減；余余正正，余加負余減’。和差化積公式可以記為‘帥+帥=帥哥，帥帥=哥帥，哥+哥=哥哥，哥哥=負嫂嫂’。這里的‘帥’代表正弦，‘哥’代表余弦。大家多讀幾遍口訣，然后試著自己推導一下公式，看看能不能記住。”2、練習記憶給學生兩分鐘時間，讓學生自己在心里默記公式，然后老師在黑板上出幾道簡單的公式填空，如\(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha\beta)\)，挖掉一部分讓學生填寫，檢查學生的記憶情況。（四）公式應用（20分鐘）1、化簡求值例1：化簡\(\sin50^{\circ}\cos10^{\circ}\cos50^{\circ}\sin10^{\circ}\)。老師：“同學們，看到這個式子，我們首先想到什么呀？對，兩角差的正弦公式。那這里我們能不能用積化和差公式來做呢？大家可以試著做一下。”學生動手做，老師巡視指導。然后找學生上臺板演，過程如下：根據積化和差公式\(\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha\beta)\)，這里\(\alpha=50^{\circ}\)，\(\beta=10^{\circ}\)，所以原式\(=\sin(50^{\circ}10^{\circ})=\sin40^{\circ}\)。例2：已知\(\sin\alpha+\sin\beta=\frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha+\cos\beta=\frac{1}{3}\)，求\(\cos(\alpha\beta)\)的值。老師：“這道題看起來有點難，我們要想辦法把已知條件和要求的式子聯系起來。大家可以先把\(\sin\alpha+\sin\beta\)和\(\cos\alpha+\cos\beta\)利用和差化積公式進行變形，然后再想辦法求出\(\cos(\alpha\beta)\)。”組織學生小組討論，然后每個小組派代表發言，分享解題思路。思路：由和差化積公式\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}\)，\(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}\)。已知\(\sin\alpha+\sin\beta=\frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha+\cos\beta=\frac{1}{3}\)，則\(\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}}=\tan\frac{\alpha+\beta}{2}\)。先求出\(\tan\frac{\alpha+\beta}{2}\)的值，再根據\(\cos(\alpha\beta)=\frac{1\tan^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}}\)求出\(\cos(\alpha\beta)\)的值。2、證明題例3：證明\(\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{\tan\frac{\alpha\beta}{2}}\)。老師：“證明題呢，我們要從左邊推到右邊或者從右邊推到左邊。大家可以先觀察一下式子的特點，看看怎么利用和差化積公式來進行證明。”學生思考，然后老師引導學生利用和差化積公式\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}\)，\(\sin\alpha\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha\beta}{2}\)進行證明。證明過程：左邊\(=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha\beta}{2}}=\frac{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{\tan\frac{\alpha\beta}{2}}\)等于右邊。（五）課堂練習（15分鐘）1、布置練習題目化簡：\(\cos37^{\circ}\sin23^{\circ}+\sin37^{\circ}\cos23^{\circ}\)。已知\(\sinA\sinB=\frac{1}{3}\)，\(\cosA+\cosB=\frac{1}{2}\)，求\(\sin(A+B)\)的值。證明：\(\cos\alpha\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha\beta}{2}\)。2、學生練習學生獨立完成練習，老師巡視，及時發現學生存在的問題并進行指導。對于共性問題，老師可以在全班進行講解。（六）課堂小結（5分鐘）1、知識總結老師：“同學們，今天我們學習了三角函數的積化和差與和差化積公式。誰能來說一說這兩組公式是怎么推導的呀？”找學生回答公式的推導過程，然后老師進行補充和完善。老師：“那我們在運用這些公式的時候要注意什么呢？”引導學生總結在化簡、求值、證明過程中如何正確選擇和運用公式。2、方法總結老師：“在今天的學習過程中，我們用到了很多數學方法，像代換、轉化、類比等方法，這些方法在我們以后的數學學習中也非常重要，大家要學會靈活運用。”（七）布置作業（5分鐘）1