重難點10數列的通項、求和及綜合應用【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差、等比數列的基本量的求解】 3【題型2等差、等比數列的判定與證明】 4【題型3數列通項公式的求解】 5【題型4等差、等比數列的綜合問題】 6【題型5數列性質的綜合問題】 7【題型6數列求和】 8【題型7數列問題的實際應用】 9【題型8數列不等式問題】 10【題型9以數列為載體的新定義或情境題】 12數列是高考的熱點內容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，小題重點考查等差數列、等比數列的基礎知識、性質以及數列的遞推關系，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；解答題的難度中等或稍難，往往在解決數列基本問題后考查數列求和，在求和后往往與不等式、函數、最值等問題綜合，與不等式結合時“放縮”思想及方法尤為重要，需要靈活求解.【知識點1判斷數列類型的技巧方法】1.證明數列是等差數列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數，驗證an-an-1為同一常數.即作差法，將關于an-1的an代入an-an-1，在化簡得到定值.(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2.判定一個數列是等差數列還常用到的結論：(1)通項公式：an=pn+q（p,q為常數）是等差數列.(2)前n項和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數）是等差數列.問題的最終判定還是利用定義. 3.證明數列是等比數列的主要方法：(1)定義法：（常數）為等比數列；(2)中項法：為等比數列；(3)通項公式法：（k，q為常數）為等比數列；證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可；在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n=1的情形進行驗證.【知識點2數列通項公式的求解策略】1.含，的式子求通項的方法：在處理含，的式子時，一般情況下利用公式，消去，進而求出的通項公式；但是有些題目雖然要求的通項公式，但是并不便于運用，這時可以考慮先消去，得到關于的遞推公式，求出后再求解．2.形如的遞推關系式求通項的方法：遇到形如的遞推關系式，可利用累加法求的通項公式，遇到形如的遞推關系式，可利用累乘法求的通項公式，注意在使用上述方法求通項公式時，要對第一項是否滿足進行檢驗．3.構造數列求通項的方法：遇到下列遞推關系式，我們通過構造新數列，將它們轉化為熟悉的等差數列、等比數列，從而求解該數列的通項公式：(1)形如（，），可變形為，則是以為首項，以為公比的等比數列，由此可以求出；(2)形如（，），此類問題可兩邊同時除以，得，設，從而變成，從而將問題轉化為第(1)個問題；(3)形如，可以考慮兩邊同時除以，轉化為的形式，設，則有，從而將問題轉化為第(1)個問題．【知識點3數列的單調性與最值問題的解題策略】1.判斷數列單調性的方法(1)比較法（作差或作商）；(2)函數化（要注意擴展定義域）．2.求數列最值的方法(1)利用數列的單調性；(2)設最大值項為，解方程組，再與首項比較大小（以最大值項為例，最小值項同理）．【知識點4數列求和的幾種方法】1.公式法：公式法是數列求和的最基本的方法，也是數列求和的基礎；其他一些數列的求和可以轉化為等差或等比數列的求和，然后利用等差或等比數列的求和公式進行求解.注意利用等比數列求和公式時，當公比是用字母表示時，應對其是否為1進行討論．2.裂項相消法求和：用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如：，，裂項后產生可以連續相互抵消的項．抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，但是前后所剩項數一定相同．3.錯位相減法求和：用錯位相減法求和時的注意點：(1)在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準確寫出“”的表達式；(2)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況討論．4.分組（并項）法求和：分組（并項）法求和的常見類型：(1)若，且，為等差或等比數列，可采用分組（并項）法求的前項和；(2)若通項公式為，其中數列，是等比數列或等差數列，可采用分組（并項）法求和.【題型1等差、等比數列的基本量的求解】【例1】（2023·江西新余·統考二模）記Sn是公差不為0的等差數列an的前n項和，若a2=S3，a1a3=S4，則數列an的公差為（A．-2 B．-1 C．2 D【變式1-1】（2023·全國·模擬預測）記Sn為等差數列an的前n項和，已知a2=1，S4=8．若A．5 B．6 C．7 D．8【變式1-2】（2023·四川攀枝花·統考模擬預測）已知等比數列an的前n項和為Sn,a1A．1 B．2 C．3 D．1或3【變式1-3】（2023·全國·模擬預測）已知正項等比數列an滿足2a2a5=aA．12 B．32 C．2 D【題型2等差、等比數列的判定與證明】【例2】（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）已知數列an的前n項和為Sn，a1=1，a2=2，且對于任意n≥2A．an是等差數列 B．aC．S9=81 D【變式2-1】（2023·江蘇淮安·統考模擬預測）設數列an的前n項和為Sn.記命題p：“數列an為等比數列”，命題q：“Sn，S2n-Sn，SA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）已知數列an滿足a1=(1)求證：數列1a(2)若1a1+【變式2-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）設數列an的前n項和為Sn，已知Sn+2+3(1)證明：數列an(2)記(an+1)bn=n+2n【題型3數列通項公式的求解】【例3】（2023·四川綿陽·統考模擬預測）已知等差數列an的公差為2，且a(1)求數列an的前n項和S(2)若數列bn的首項b1=1,【變式3-1】（2023·山東·沂水縣第一中學校聯考模擬預測）已知數列an的前n項和為Sn，S2(1)求數列an(2)證明：Sn【變式3-2】（2023·山東·山東校聯考模擬預測）已知數列an前n項和為Sn，且對任意的正整數n,n與(1)求數列an(2)證明：n2【變式3-3】（2023·廣西南寧·校考模擬預測）數列an滿足2a2k+1=a2k-1(1)求數列an(2)求數列an的前n項和S【題型4等差、等比數列的綜合問題】【例4】（2023·四川德陽·統考一模）已知首項為12的等比數列an的前n項和為Sn，且(1)求數列an(2)求數列Sn+【變式4-1】（2023·四川南充·統考一模）已知數列an是首項為2的等比數列,且a4是6a(1)求an(2)若數列an的公比q>0,設數列bn滿足bn=1log2【變式4-2】（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯考一模）已知數列an為等差數列，數列bn為等比數列，b2(1)求數列bn(2)設數列an的前n項和為Sn，若S6=b【變式4-3】（2023·全國·模擬預測）已知公差不為0的等差數列an和等比數列bn中，a1=1，b1(1)求數列an，b(2)若Tn為數列1anan+1的前n【題型5數列性質的綜合問題】【例5】（2023·四川雅安·統考一模）已知數列an是等差數列，數列bn是等比數列，若a1+aA．2 B．3 C．32 D．【變式5-1】（2023·上海·統考模擬預測）已知數列an的各項均為實數，Sn為其前n項和，若對任意k>2022，都有SA．a1,aB．a1,aC．a1,aD．a1,a【變式5-2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學校考一模）設等差數列an的公差為d，共前n項和為Sn，已知S16>0，SA．a1>0，d<0 B．S8與C．a8+a【變式5-3】（2023·山東濰坊·山東校考模擬預測）設等比數列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1，a2019A．S2019<S2020

C．T2020是數列Tn中的最大值

D．數列【題型6數列求和】【例6】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）已知等差數列an的首項a1≠0，公差為d，Sn為an(1)求a1與d(2)若a1=1，Tn為數列1anan【變式6-1】（2023·河北·模擬預測）已知函數fx滿足fx+f1-(1)求數列an(2)若數列bn滿足b1=23，bn=1an?an+1（n【變式6-2】（2023·全國·模擬預測）已知數列an是各項均為正數的等比數列，且a1=4,a2+18是a1與a(1)求數列an，b(2)記cn=log2bn+1（其中，符號x表示不超過x【變式6-3】（2023·江蘇南通·統考模擬預測）已知等差數列an的首項為1，公差為2．正項數列bn的前n項和為Sn(1)求數列an和數列b(2)若cn=an,【題型7數列問題的實際應用】【例7】（2023·廣東潮州·統考模擬預測）我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有人持金出五關，前關二稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關，第1關收稅金為持金的12，第2關收稅金為剩余金的13，第3關收稅金為剩余金的14，第4關收稅金為剩余金的15，第5關收稅金為剩余金的16，5關所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個人原來持金為a斤，設fA．-5 B．7 C．13 D．【變式7-1】（2023·陜西榆林·統考三模）現有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個起點出發，測試它們一日可行的路程．已知第i（i=1，2，…，16）匹馬的日行路程是第i+1匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【變式7-2】（2023·上海金山·統考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業的新增長點.某直播平臺第1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達40%，每年年底把除運營成本a萬元，再將剩余資金繼續投入直播平合(1)若a=100，在第3(2)每年的運營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底?除運營成本后資金達到3000萬元？（結果精確到0.1萬元）【變式7-3】（2023·湖南郴州·統考三模）“現值”與“終值”是利息計算中的兩個基本概念，掌握好這兩個概念，對于順利解決有關金融中的數學問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現值”是指在n期末的金額，把它扣除利息后，折合成現時的值，而“終值”是指n期后的本利和.它們計算的基點分別是存期的起點和終點.例如，在復利計息的情況下，設本金為A，每期利率為r，期數為n，到期末的本利和為S，則S=A(1+r)n其中，S稱為n期末的終值，A稱為n期后終值S的現值，即現有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個方案方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為2.5%(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問中的存款年利率2.5%，預計第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.參考數據：(1+2.5【題型8數列不等式問題】【例8】（2023·全國·校聯考模擬預測）已知數列{an}中，a1=5，且2(1)求數列{a(2)求滿足不等式|Sn-(3)設bm=(m-3)2+λ2，Cn【變式8-1】（2023·海南·海南華僑中學校考模擬預測）數列an中，a1=49(1)求an(2)設an的前n項和為S①an②Sn【變式8-2】（2023·天津和平·耀華中學校考二模）已知等差數列an的前n項和為Sn，a1=1，S4=10，數列(1)證明：bn(2)證明：S2(3)設數列cn滿足：cn=【變式8-3】（2023·廣西南寧·校考模擬預測）函數fx=ax2+bx+(1)求實數a，b，c的值；(2)已知各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，且點an,4Sn在函數fx的圖象上，若不等式【題型9以數列為載體的新定義或情境題】【例9】（2023·北京西城·北師大實驗中學校考三模）若項數為NN≥3的數列AN:a1,a2,?,a(1)①若N=3，寫出所有具有性質P的數列A②若N=4,a4=3，寫出一個具有性質(2)若N=2024，數列A2024具有性質P，求(3)已知數列AN:a1,a2,?,aN,BN:b1【變式9-1】（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知有限數列an，從數列an中選取第i1項、第i2項、?、第im項（i1<i2<?<im），順次排列構成數列bk，其中bk=aik，1≤k≤m，則稱新數列b(1)判斷下面數列an數列①：3，5，7，9，11；數列②：2，4，8，16．(2)數列an的子列bk長度為m，且bk為完全數列，證明：m(3)數列an的子列bk長度m=5，且b【變式9-2】（2023·北京朝陽·統考一模）已知有窮數列A:a1,a2,?,aNN∈N*,N≥3滿足(1)判斷數列A:-1,1,0,1,0,1,-1是否為3-連續等項數列？是否為4-(2)若項數為N的任意數列A都是2-連續等項數列，求N的最小值；(3)若數列A:a1,a2,?,aN不是4-連續等項數列，而數列A1:【變式9-3】（2023·全國·鄭州中學校考模擬預測）若一個數列的奇數項為公差為正的等差數列，偶數項為公比為正的等比數列，且公差公比相同，則稱數列為“搖擺數列”，其表示為an=a1+n-12d,n=2k-1(1)求{a(2)若bn=nan，求數列bn的前1．（2023·北京·統考高考真題）已知數列an滿足an+1A．當a1=3時，an為遞減數列，且存在常數MB．當a1=5時，an為遞增數列，且存在常數MC．當a1=7時，an為遞減數列，且存在常數MD．當a1=9時，an為遞增數列，且存在常數M2．（2023·全國·統考高考真題）記Sn為數列an的前n項和，設甲：an為等差數列；乙：{A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2023·全國·統考高考真題）設等比數列an的各項均為正數，前n項和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．15 D4．（2023·北京·統考高考真題）我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就已經出現了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環權”．已知9枚環權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列an，