八年級數學?上新課標[冀教]12.4分式方程1.理解分式方程的概念及意義.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程時可能無解的原因,并掌握解分式方程的驗根方法.1.能將實際問題中的相等關系用分式方程表示,體會分式方程的模型.2.在學生掌握了分式方程的一般解法和分式方程驗根方法的基礎上,使學生進一步掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法,使學生熟練掌握解分式方程的技巧.通過學習分式方程的解法,使學生理解解分式方程的基本思想是把分式方程轉化成整式方程,把未知問題轉化成已知問題,從而滲透數學的轉化思想.【重點】可化為一元一次方程的分式方程的解法.【難點】理解解分式方程時可能無解的原因.【教師準備】課件1~9.【學生準備】復習一元一次方程的有關知識.導入一:【課件1】小紅家到學校的路程為38km.小紅從家去學校總是先乘公共汽車,下車后再步行2km,才能到學校,路途所用時間是1h.已知公共汽車的速度是小紅步行速度的9倍,求小紅步行的速度.教師提出問題:(1)上述問題中有哪些等量關系?(2)根據你所發現的等量關系,設未知數并列出方程.(3)如果設小紅步行的時間為xh,又應該怎么列方程?在活動中教師要關注:(1)學生是否能將實際問題轉化為數學問題;(2)大部分學生能否將這個問題很好地分析出來?能否列方程?(3)基礎較差的學生對于該題的理解是否有困難?如何適當加以個別引導?[設計意圖]先通過一個行程問題,引導學生從分析入手,列出含有未知數的式子表示有關的量,并進一步根據等量關系列出方程,為探索分式方程及分式方程的解法做準備.另外以生活中的實際問題為背景,讓學生感到數學貼近生活,激起了探究新知識的欲望.導入二:【課件2】西天取經路上,唐僧給徒弟們出了一道天竺國的數學題目:某項工程要在規定的期限內完成,甲隊單獨做正好能夠按期完成,乙隊單獨做則需要延期3天完成.現在這兩個隊合作2天后,再由乙隊單獨做,也正好按期完成.如果設規定的期限是x天,工程總量為1,如何列方程呢?三個徒弟都給出了自己的答案:孫悟空:2x+xx+3=1;豬八戒:2x+2x+3=1;沙和尚:21x+1x同學們分析這個問題列出的方程還是整式方程嗎?該如何解呢?[設計意圖]創設故事情境導入,將所出現的方程與整式方程比較,為探索分式方程及分式方程的解法做準備.探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【課件3】一艘輪船在靜水中的最大航速為30千米/時,它沿江以最大航速順流航行90千米所用的時間與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等,江水的流速為多少?教師提出問題.學生獨立思考,根據“兩次航行所用的時間相等”這一相等關系建立方程.〔解析〕設江水的流速為v千米/時,則輪船順流航行的速度為(30+v)千米/時,逆流航行的速度為(30-v)千米/時,順流航行90千米所用的時間為9030+v小時,逆流航行60千米所用的時間為6030-v教師提問:剛才我們所接觸的方程38-21-x=9×2x學生思考,議論后在全班交流.歸納:該類方程分母含有未知數.教師講解并板書:分母中含有未知數的方程叫做分式方程.[知識拓展](1)理解分式方程要明確兩點:①是方程;②分母中含有未知數(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程統稱為有理方程.2.分式方程的解法【課件4】如何解分式方程38-21-x=9×2在同學討論的基礎上分析:由于我們比較熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程轉化為整式方程,其關鍵是去掉含有未知數的分母.引導學生進一步分析:把方程的兩邊乘最簡公分母可將分式方程化為整式方程,解這個整式方程可得方程的解.說明:教師提出問題后,鼓勵學生尋求解決問題的方法,引導學生將分式方程轉化為整式方程,學生自然會想到“去分母”來實現這種轉變,求出方程的解,并要求驗根.在活動中教師要關注:(1)學生能否從所列方程中觀察到它與整式方程的區別在于“分母中含有未知數”;(2)學生能否有利用“轉化思想”解決問題的意識;(3)學生是否能夠認真傾聽別人的見解,從中獲取知識.[過渡語]通過解上面的分式方程,你明白該如何解分式方程了嗎?歸納:解分式方程的基本思路是將分式方程轉化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊乘最簡公分母,這是解分式方程的一般方法.[設計意圖]怎樣解分式方程?這是本節的核心問題.這里又一次讓學生運用“轉化”思想,把待解決或未解決的問題,通過轉化,劃歸到已經解決或比較容易解決的問題中去,最終使問題得到解決.思路二1.分式方程38-21-x=9×學生觀察,回答:(1)分母含有未知數,(2)是方程.教師引導學生概括:分母中含有未知數的方程叫做分式方程.使得分式方程等號兩端相等的未知數的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提問:你還能舉出一個分式方程嗎?【課件5】判斷下列各式哪個是分式方程.(1)x+y=5;(2)x+25=2y-z3;(3)1x;(4)yx根據相關定義可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法[過渡語]如何解分式方程呢?我們一起回顧幾個問題:(1)解一元一次方程時是怎樣去分母的?從中能否得到一點啟發?(2)有沒有辦法可以去掉分式方程中的分母?把它轉化為整式方程呢?學生自主探索,并嘗試選分式方程求解.【課件6】解方程1+x5+解:兩邊同乘最簡公分母2(x+5)得:2(x+1)=5+x, 2x+2=5+x, x=3.檢驗:把x=3代入原方程左邊=1+35+3=12,右邊=12,左邊=右邊.學生嘗試去分母,將分式方程轉化為整式方程,再求整式方程的解.結合解一元一次方程時檢驗的方法,教師提醒學生解完分式方程后進行檢驗.【課件7】如何解課件3中所列出的分式方程?解:方程的兩邊同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.檢驗:將v=6代入分式方程中,左邊=52,右邊=52,左邊=右邊,因此v=6師生共同分析、求解,進一步歸納:解分式方程的基本思想是將分式方程轉化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母,這也是解分式方程的一般方法.【拓展延伸】分式方程與整式方程的定義區分:特點說明舉例整式方程方程里所有的未知數都出現在分子上,分母只是常數而沒有未知數有“元”和“次”的說法3x+12=-x是一元一次方程2x+y=3是二元一次方程分式方程方程里分母中含有未知數x-1x=2,1y探究二:分式方程的增根[過渡語]剛才我們學習了分式方程和分式方程的解法,知道解分式方程時要驗根.那么為什么一定要驗根呢?學習了下面的知識,同學們一定會迎刃而解.【課件8】解分式方程x+1x教師提出問題,讓學生解方程.解:方程兩邊同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1),解這個整式方程,得x=1.師:x=1是方程的解嗎?為什么?說明:學生先獨立解決,然后提出自己的看法,進行小組討論.在學生討論期間,教師應到學生中,參與學生的數學活動,鼓勵學生勇于探索、實踐,解釋產生這一現象的原因,并懂得在解分式方程時一定要進行驗根.歸納:在解分式方程時,通過去分母將分式方程轉化為整式方程,并解這個整式方程,再將整式方程的根代入分式方程(或公分母)中檢驗.當分母的值不等于0時,這個整式方程的根就是分式方程的根;當公分母的值為0時,分式方程無解,我們把這樣的根叫做分式方程的增根.【課件9】解方程:2x+2-2-解:方程兩邊同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2),解這個整式方程,得x=-3,經檢驗,x=-3是原分式方程的根.[知識拓展](1)檢驗的方法有兩種:①把未知數的值代入所乘最簡公分母中,最簡公分母為0是增根,舍去.最簡公分母不為0的未知數的值就是原分式方程的解.②把未知數的值代入原方程,若左右兩邊的值相等,則這個未知數的值就是原方程的根;若某個分式的分母為0,則這個未知數的值就是增根,舍去.(2)解分式方程時,必須注意以下幾點:①若分式方程中的分母是多項式,應先對各分母因式分解,再尋求最簡公分母;②將一個分式方程的兩邊同時乘最簡公分母時,每一個式子都應乘到,不要漏乘,特別是不要漏乘沒有分母的項;③解含字母系數的分式方程時,字母系數應視為具體數處理;④解分式方程時,檢驗這一步必不可少,它是解分式方程的一個重要步驟.解分式方程的一般步驟:1.在方程的兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化為整式方程.2.解這個整式方程.3.把整式方程的根代入最簡公分母,看結果是不是零;使最簡公分母為零的根不是原方程的根,必須舍去.[設計意圖]學生通過回顧,自己總結,實現了自我評價,讓對本節知識學得不是很好的學生有所收獲.1.下列方程:①2x+x-15=10;②x-1x=2;③12x+1-3=0;A.①② B.②③ C.③④ D.②④解析:①2x+x-15=10是整式方程;②x-1x=2是分式方程;③12x+1-3=0是分式方程;④2.分式方程xx-1-1=3(xA.x=1 B.x=-1C.x=2 D.無解解析:在方程的兩邊同乘最簡公分母(x-1)(x+2),變為整式方程為x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,檢驗:當x=1時,(x-1)(x+2)=0,所以原分式方程無解.故選D.3.方程4x-12x-2解析:去分母得4x-12=3x-6,解得x=6,經檢驗x=6是分式方程的解.故填6.4.若代數式1x-2和32x+1的值相等解析:根據題意,得1x-2=32x+1,方程兩邊都乘最簡公分母(x-2)(2x+1),得2x+1=3x-6.解得x=7.經檢驗5.解方程.(1)3x-2x(2)5x解析:把方程的左右兩邊同時乘最簡公分母,化成整式方程進行計算,注意檢驗.解:(1)去分母,得3x+6-2x=0,解得x=-6.經檢驗,x=-6是原方程的解.(2)方程兩邊都乘最簡公分母x(x-2),得5x=3(x-2).解這個一元一次方程,得x=-3.檢驗:把x=-3分別代入原方程的左邊和右邊,得左邊=5-3-2=-1,右邊=3-3=-1,左邊=右邊,因此,6.當m為何值時,去分母解方程4x+13x-解析:增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的公分母為0的根.有增根,那么最簡公分母3(x-2)=0,所以增根是x=2,把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值.解:方程兩邊都乘3(x-2),得4x+1=3x-6+3(5x-m),即3m=14x-7.分式方程若有增根,則公分母必為零,即x=2,把x=2代入整式方程3m=14x-7有:3m=14×2-7,解得m=7,所以當m=7時,去分母解方程4x+13x-12.4分式方程探究一:分式方程及其解法例1例2探究二:分式方程的增根例3一、教材作業【必做題】1.教材第20頁練習第1,2題.2.教材第20~21頁習題A組第1,2題.【選做題】教材第21頁習題B組.二、課后作業【基礎鞏固】1.在下列各式中,是關于x的分式方程的是 ()A.2x-3y=0 B.x+12-C.3x-2=2.在下列方程中,是分式方程的有 ()①x5=4;②6x=4;③xA.2個 B.3個 C.4個 D.1個3.關于x的方程2x-1=1的解是 A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=14.分式方程5x+2=3xA.x=1 B.x=2C.x=3 D.x=4【能力提升】5.將分式方程1x=2x-2去分母后得到的整式方程A.x-2=2x B.x2-2x=2xC.x-2=x D.x=2x-46.關于x的分式方程mx+1=-1的解是負數,則m的取值范圍是 (A.m>-1 B.m>-1且m≠0C.m≥-1 D.m≥-1且m≠07.分式方程32x-18.解方程2x【拓展探究】9.已知方程x+1x=2+12的解是x1=2,x2=12;x+1x=3+13的解是x1=3,x2=13;x+1x=4+14的解是x1=4(1)在橫線上寫出下面兩個方程的解:①x+1x=10+110,②x+1x=a+1a,(2)試寫出方程x+1x+1=a+1【答案與解析】1.C(解析:根據分式方程的定義對各選項進行逐一分析即可.2x-3y=0是整式方程,故A選項錯誤;x+12-3=2x7是整式方程,故B選項錯誤;3x-2=5x是關于x的分式方程,故C選項正確2.B(解析:根據分式方程的定義:分母里含有未知數的方程叫做分式方程進行判斷.①方程分母中不含未知數,故①不是分式方程;②方程分母中含未知數,故②是分式方程;③方程分母中含表示未知數的字母,故③是分式方程;④方程分母中含未知數,故④是分式方程.)3.B(解析:將分式方程去分母轉化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經檢驗即可得到分式方程的解.去分母得2=x-1,解得x=3,經檢驗x=3是原分式方程的解.)4.C(解析:去分母得5x=3x+6,移項、合并同類項得2x=6,解得x=3,經檢驗,x=3是原分式方程的解.)5.A(解析:分式方程兩邊乘最簡公分母x(x-2),得x-2=2x.)6.B(解析:方程兩邊同乘(x+1),得m=-x-1,解得x=-1-m,因為x<0,所以-1-m<0,解得m>-1,又x+1≠0,所以-1-m+1≠0,所以m≠0,即m>-1且m≠0.)7.x=2(解析:去分母得3=2x-1,解得x=2,經檢驗,x=2是分式方程的解.)8.解:去分母得2x=3x-6,解得x=6,經檢驗,x=6是原分式方程的解.9.解:(1)①x1=10,x2=110②x1=a,x2=1a(2)因為x+1x+1=a+1a+1,所以x+1+1x+1=a+1+1a+1,所以x+1=a+1或x+1=1a+1,正確地引導、點撥保證了學生掌握正確的知識.本節課的重點內容:解分式方程的思路、步驟、如何檢驗等都用多媒體形式給學生展示出來.在解分式方程的過程中容易出現的問題都給學生做出強調.給學生的鼓勵不是很多.鼓勵可以讓學生有充足的自信心.“信心是成功的一半”,在今后的課堂教學中,應尊重其差異性,盡可能分層教學,評價標準多樣化.注意說明分式方程有時無解的原因,講清分式方程檢驗的必要性和解分式方程與整式方程的區別,從而再強調解分式方程必須檢驗,不能省略這一步.練習(教材第20頁)1.解:(1)x=-1.(2)x=3是增根,原方程無解.2.解:由題意得BCEF=12.設BC=x,則EF=x+3,由題意得xx+3=12,方程兩邊同乘2(x+3)得2x=x+3,解得x=3.檢驗:當x=3時,2(x+3)≠0,所以x=3是原方程的根.當x=3時,x+3=6,所以BC習題(教材第20頁)A組1.解:(1)方程兩邊同乘(x+1)(x+2),得x+2=2(x+1).解這個整式方程,得x=0.檢驗:當x=0時,(x+1)(x+2)≠0,所以x=0是原方程的根.(2)方程兩邊同乘2x,得2×15-25=x.解這個整式方程,得x=5.檢驗:當x=5時,2x≠0,所以x=5是原方程的根.(3)方程兩邊同乘(x-7),得x-8-(-1)=8(x-7).解這個整式方程,得x=7.檢驗:當x=7時,x-7=0,所以x=7是原方程的增根,原方程無解.(4)方程兩邊同乘(x+1)·(x-4),得x-4-2(x+1)=0.解這個整式方程,得x=-6.檢驗:當x=-6時,(x+1)(x-4)≠0,所以x=-6是原方程的根.2.解:設一車間平均每天生產x件,則二車間平均每天生產(550-x)件.根據題意得2400x=2400-400550-x,解得x=300.經檢驗,x=300是原方程的根且符合題意,所以550-x=250.B組解:(1)方程兩邊同乘x(x-1)(x-2)得x(x-2)+x(x-1)=2(x-1)(x-2),解這個整式方程得x=43.檢驗:當x=43時,x(x-1)(x-2)≠0,所以x=43是原方程的根.(2)方程兩邊同乘x(x-1)(x+1)得5(x-1)-(x+1)=0,解這個整式方程得x=32.檢驗:當x=32時,x(x-1)(x+1)≠0,所以本節課接觸到的是分式方程,是在學生掌握了一元一次方程的解法及分式四則混合運算的基礎上展開的,同時解決了解分式方程的問題,為以后的教學——“應用”打下了良好的基礎,因而在教材中具有不可忽略的地位與作用.解分式方程的基本思想是將分式方程轉化為整式方程(轉化思想)