第2節第一課時導數與函數的單調性2023屆1《高考特訓營》·數學課程標準解讀命題方向數學素養1.結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系.2.能利用導數研究函數的單調性.3.對于多項式函數，會求不超過三次的多項式函數的單調區間1.求不含參數函數的單調性數學運算邏輯推理數學抽象2.求含參數函數的單調性3.函數單調性的應用0102知識特訓能力特訓01知識特訓知識必記拓展鏈接對點訓練

單調遞增單調遞減常數函數[思考]

如果函數在某個區間內恒有f′(x)＝0，則函數f(x)在此區間內是否具有單調性？點撥：如果函數在某個區間內恒有f′(x)＝0，則f(x)為常數函數．如f(x)＝3，則f′(x)＝0，函數f(x)不存在單調性．2．求函數的單調區間的步驟(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相應的x的取值范圍．當f′(x)＞0時，f(x)在相應的區間上是________；當f′(x)＜0時，f(x)在相應的區間上是________．[提醒]

討論函數的單調性或求函數的單調區間的實質是解不等式，求解時，要堅持“定義域優先”原則．單調遞增單調遞減[探究]

能否從導數的角度解釋函數y＝f(x)增減的快慢呢？點撥：如圖所示，函數y＝f(x)在(0，b)或(a，0)內導數的絕對值較大，圖象“________”，在(b，＋∞)或(－∞，a)內導數的絕對值較小，圖象“平緩”．

一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得快，這時，函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數的圖象就“平緩”一些．陡峭1．[知識外延]用充分必要條件詮釋導數與函數單調性的關系(1)f′(x)＞0(或＜0)是f(x)在區間(a，b)內單調遞增(減)的充分不必要條件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在區間(a，b)內單調遞增(減)的必要不充分條件；(3)若f′(x)在區間(a，b)的任意子區間都不恒等于零，則f(x)≥0(或≤0)是f(x)在區間(a，b)內單調遞增(減)的充要條件．2．[學以致用]生活中導數的單調性函數的圖象來源于生活，函數圖象與函數的導數息息相關．如圖，水以恒速(即單位時間內注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數關系圖象．提示：(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.1．[易錯診斷]判斷下列結論的正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則一定有f′(x)>0.(

)解析：

f(x)在(a，b)內單調遞增，則有f′(x)≥0.(2)如果函數f(x)在某個區間內恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區間內沒有單調性．(

)解析：易知函數在該區間為常數函數，不存在單調區間．×√2．(多選題)[教材改編](2022·義縣月考)如圖，這是函數y＝f(x)的導函數的部分圖象，則下列說法正確的是(

)A．(－1，3)為函數y＝f(x)的遞增區間B．(3，5)為函數y＝f(x)的遞減區間C．(－∞，0)為函數y＝f(x)的遞增區間D．函數y＝f(x)有3個零點

解析：由導函數圖象知在(－∞，－1)和(3，5)上，f′(x)<0，f(x)遞減，在(－1，3)和(5，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)遞增，但沒有函數f(x)的值的大小正負，不能得出其零點個數．故選AB.AB答案：(0，2]4．[真題體驗](2021·全國乙(文)卷)已知函數f(x)＝x3－x2＋ax＋1，試討論f(x)的單調性．

02能力特訓特訓點1特訓點2特訓點3

特訓點1證明(判斷)函數的單調性(師生互動類)

討論函數f(x)單調性的步驟討論函數的單調性應該著重從參數的取值角度，通過分析如何通過分類討論來考查導數的正負及確定相應的區間，由此確定函數的單調性，比如這里通過分類討論根的大小來進行判斷導數正負定區間等．已知函數f(x)＝ax＋lnx(a∈R)，求f(x)的單調區間．[題組·沖關]1．函數f(x)＝(x－3)ex的遞增區間是(

)A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故選D.特訓點2求函數的單調區間【自主沖關類】D2．已知定義在區間(－π，π)上的函數f(x)＝xsin

x＋cosx，則f(x)的遞增區間是__________．[錦囊·妙法]確定函數單調區間的步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．考向1根據函數單調性比較大小或解不等式典例2

(2022·江西模擬)定義在R上的函數f(x)的導函數為f′(x)．若對任意實數x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2021為奇函數，則不等式f(x)＋2021ex<0的解集是(

)A．(－∞，0) B．(－∞，ln2021)C．(0，＋∞) D．(2021，＋∞)特訓點3函數單調性的應用【多維考向類】C

與抽象函數有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數的積(或商)的函數，與題設形成解題鏈條，利用導數研究新函數的單調性，從而求解不等式．答案：[0，1)(1)已知函數的單調性，求參數的取值