湖南省長沙市長郡教育集團(tuán)2024年中考一模數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)．本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．?2023的倒數(shù)是（）A．12023 B．?12023 C．20232．2022年10月12日，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講，3名航天員演示了在微重力環(huán)境下毛細(xì)效應(yīng)實(shí)驗(yàn)、水球變“懶”實(shí)驗(yàn)等，相應(yīng)視頻在某短視頻平臺(tái)的點(diǎn)贊量達(dá)到150萬次，數(shù)據(jù)150萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.5×105 B．0.15×13．計(jì)算2ba?bA．2 B．?2 C．0 D．2b?2a4．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．5．以下列數(shù)值為長度的各組線段中，能組成三角形的是（）A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，66．為了調(diào)查我市某校學(xué)生的視力情況，在全校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，下列說法正確的是（）A．此次調(diào)查屬于全面調(diào)查 B．樣本容量是300C．2000名學(xué)生是總體 D．被抽取的每一名學(xué)生稱為個(gè)體7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO，交BC于點(diǎn)E．已知CE=3，AB=6，A．6 B．9 C．12 D．188．如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上，且a∥b,∠1=55°，則A．35° B．45° C．55° D．25°9．關(guān)于一次函數(shù)y=?2x+4，下列說法不正確的是（）A．圖象不經(jīng)過第三象限 B．y隨著x的增大而減小C．圖象與x軸交于(?2，0) D．圖象與y10．A，B，C，D，E五名學(xué)生猜測自己能否進(jìn)入市中國象棋前三強(qiáng)．A說：“如果我進(jìn)入，那么B也進(jìn)入．”B說：“如果我進(jìn)入，那么D也進(jìn)入．”D說：“如果我進(jìn)入，那么E也進(jìn)入，則進(jìn)入前三強(qiáng)的三個(gè)人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．分解因式：x3?4x12．不等式組x?1<x+322x+1≥013．已知m是?1，0，1，2，3中的一個(gè)數(shù)，則關(guān)于x的方程x2?x+m=0有解的概率為14．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=?3x的圖象上，AB⊥x軸，已知點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則△ABC的面積為15．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，若∠C=30°，AB=12cm，則⊙O的半徑為cm．16．若扇形的圓心角為135°，半徑為4，則它的弧長為．（結(jié)果保留π）三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共72分）17．計(jì)算：|1?218．先化簡，再求值：(a?b)2+(a+b)(a?b)?2a(a?2b)，其中19．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動(dòng)，小亮想測量某大廈樓頂上的一個(gè)廣告牌CD的高度，從與大廈BC相距30m的A處觀測廣告牌頂部D的仰角∠BAD=30°，觀測廣告牌底部C的仰角∠BAC=27°，如圖所示．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0（1）求大廈BC的高度；（結(jié)果精確到0.1m）（2）求廣告牌CD的高度．（結(jié)果取整數(shù)）20．打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習(xí)慣，某校舉行了以“禮、才、恩”為主題的讀書活動(dòng)，學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：政史類，B：文學(xué)類，C：科技類，D：藝術(shù)類，E：其他類）．柳老師組織數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）此次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為▲名，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C“科技類”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是；（3）若該校有3000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)最喜歡閱讀文學(xué)類書籍的學(xué)生人數(shù)；（4）甲同學(xué)從A，B，C三類書籍中隨機(jī)選擇一種，乙同學(xué)從B，C兩類書籍中隨機(jī)選擇一種請(qǐng)用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率．21．如圖，點(diǎn)C在線段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，DE⊥BD，BC=DE．（1）求證：△ABC≌△CDE；（2）已知AB=2，DE=4，求△ACE的面積．22．為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校八年級(jí)舉行了數(shù)學(xué)計(jì)算題比賽，為表彰獲獎(jiǎng)的選手，A，B兩種文具作為獎(jiǎng)品．已知A文具的單價(jià)比B文具的單價(jià)貴8元，且用720元購買A文具的數(shù)量與用480元購買B文具的數(shù)量相同．（1）求A，B兩種文具的單價(jià)；（2）若年級(jí)組需要購買A，B兩種文具共100件，且購買這兩種文具的總費(fèi)用不超過2080元，則年級(jí)組至少購買B種文具多少件？23．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB=2，∠AFB=60°，求CF的長．24．在平面直角坐標(biāo)系中有且只有一個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)函數(shù)稱為“親密函數(shù)”，這個(gè)唯一的交點(diǎn)稱為他們的“密接點(diǎn)”．例如：y=3x?1與y=?x+3有且只有一個(gè)交點(diǎn)(1,2)，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“親密函數(shù)”，點(diǎn)（1）判斷下列幾組函數(shù)，是“親密函數(shù)”的在橫線上記“√”，不是“親密函數(shù)”的在橫線上記“×”；①y=2x?1與y=?x+2；②y=1x與③y=x2?x+1（2）一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=?kx（其中k，b為常數(shù)，k>0)，且他們的“密接點(diǎn)”P到原點(diǎn)的距離等于3，求（3）兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y=x2+c的“親密函數(shù)”，且“密接點(diǎn)”分別為M，N．記直線l1與l2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，直線MN與y25．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC，∠DMC=∠DAB．（1）求證：AB=BC．（2）當(dāng)k≥1時(shí)，記DMAB=k，記①當(dāng)k=3②求t的最大值．（3）當(dāng)AD為直徑時(shí)，連接OB交AC于點(diǎn)E，滿足以下條件：①S△BCM=3；②S△BEM=2m?n；③

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：?2023的倒數(shù)是-故答案為：B.

【分析】根據(jù)倒數(shù)的意義即可求得答案。2．【答案】C【解析】【解答】解：150萬=1.故答案為：C.

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)，據(jù)此判斷即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：2ba?b?2aa?b=4．【答案】D【解析】【解答】A、不是軸對(duì)稱圖形，故A不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故B不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故D符合題意．故答案為：D.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可。5．【答案】D【解析】【解答】解：A：2+4<7，不符合題意；

B：3+3=6，不符合題意；

C：5+2<8，不符合題意；

D：4+5>6，符合題意；

故答案為：D

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】A、此次調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，∴A不符合題意；

B、樣本容量是300，∴B符合題意；

C、2000名學(xué)生的視力情況是總體，∴C不符合題意；

D、被抽取的每一名學(xué)生的視力情況稱為個(gè)體，∴D不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)樣本容量、抽樣調(diào)查、總體和個(gè)體的定義判斷求解即可。7．【答案】B【解析】【解答】解：由作圖可知：AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，

∵∠C=90°，

∴ED=EC=3，

∴△AEB的面積為：12×AB×ED=故答案為：B.

【分析】首先根據(jù)作圖過程可得出AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出ED=EC=3，最后根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式求得△AEB的面積即可。8．【答案】A【解析】【解答】解：

∵a∥b,∠1=55°，

∴∠3=∠1=55°，

∴故答案為：A.

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3=∠1=55°，進(jìn)一步得出∠2=35°，即可得出答案。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵k=-2<0，b=4>0，

∴圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故A選項(xiàng)正確；

∵k=-2<0，

∴函數(shù)值y隨x的增大而減小，故B選項(xiàng)正確；

∵當(dāng)x=2時(shí)，y=0，

∴圖象與x軸交于點(diǎn)（2，0），故C選項(xiàng)不正確；

令y=0，解得y=4，

∴圖象與y軸交于點(diǎn)（0，4），故D選項(xiàng)正確。

故答案為：C.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可得出答案。10．【答案】C【解析】【解答】解：假設(shè)A進(jìn)入前三強(qiáng)，則B，D，E也要進(jìn)入，所以不符合題意；假設(shè)B進(jìn)入前三強(qiáng)，則D，E也要進(jìn)入，沒有此選項(xiàng)；假設(shè)D進(jìn)入前三強(qiáng)，則E也進(jìn)入，所以只有C，D，E進(jìn)入前三強(qiáng)。故答案為：C.

【分析】在假設(shè)的前提條件下，通過邏輯分析即可得出答案。11．【答案】x(x+2)(x-2)【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。

故答案為：x(x+2)(x-2)。

【分析】首先提出公因式x，括號(hào)內(nèi)的式子利用公式法，利用平方差公式進(jìn)行因式分解。12．【答案】?【解析】【解答】解：不等式組x?1<x+32①2x+1≥0②，由①得：x＜5，由∴不等式組的解集為：-12≤x＜5.

【分析】解不等式組，求得不等式組的解集即可。13．【答案】2【解析】【解答】解：根的判別式為：1-4m當(dāng)關(guān)于x的方程x2?x+m=0有解時(shí)1-4m≥0，

∴m≤14，

∴當(dāng)m=-1，0時(shí)，關(guān)于x的方程x2?x+m=0有解，

∴關(guān)于x的方程x2

【分析】首先根據(jù)根的判別式求得當(dāng)方程有解時(shí)m的取值范圍，從而得出當(dāng)m=-1，0時(shí)，關(guān)于x的方程x2?x+m=0有解，進(jìn)而求得關(guān)于x的方程14．【答案】3【解析】【解答】解：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=?3x的圖象上，

∴△AOB的面積為：32，

∵點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴OB=OC，

∴△ABC故答案為：3.【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中K的幾何意義，可得出△AOB的面積為：32，再根據(jù)點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得出△ABC的面積為：315．【答案】4【解析】【解答】解：

連接AD，

∵弦AB⊥CD，垂足為E，

∴AE=12AB=6，

在直角三角形ACE中：∠C=30°，

∴AC=2AE=12，

∵CD是直徑，

∴∠CAD=90°，

∴cos∠C=ACCD，

∴CD=ACcos30°=123故答案為：43

【分析】連接AD，首先根據(jù)垂徑定理得出AE=6cm，再根據(jù)含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)求得AC=12cm，然后在直角三角形ACD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，求得CD的長，進(jìn)而可得出⊙O的半徑。16．【答案】3π【解析】【解答】解：弧長=135×π故答案為：3π

【分析】根據(jù)弧長計(jì)算公式進(jìn)行正確計(jì)算即可。17．【答案】解：|1?==2．【解析】【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)。特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡，然后再合并同類二次根式即可。18．【答案】解：(a?b)==2ab，當(dāng)a=2024，b=1時(shí)，原式=2×2024×(?1)=?4088【解析】【分析】首先根據(jù)整式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡，然后再代入求值即可。19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=27°，AB=30m，∴BC=AB?tan∴大廈BC的高度約為15（2）解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，1∴BD=AB?tan∴CD=BD?BC=2m∴廣告牌CD的高度約為2m【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，解直角三角形即可求得大廈BC的高度約為15.3m；

（2）在20．【答案】（1）解：100，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）144°（3）解；3000×20∴估計(jì)最喜歡閱讀文學(xué)類書籍的學(xué)生人數(shù)約為600名（4）解；甲乙ABCB(A(B(CC(A(B(C由表格可知，一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的結(jié)果數(shù)有2種，∴甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率為26【解析】【解答】解：（1）此次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：10÷10%=100，D藝術(shù)類人數(shù)為：100-10-20-40-5=25；

故答案為：100；

（2）C“科技類”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是：360°×40100=144°；

故答案為：144；

【分析】（1）根據(jù)A組頻數(shù)÷A組頻率，即可求調(diào)查學(xué)生數(shù)，并進(jìn)一步求得D組人數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

（2）用360°乘C組的頻率即可得出C“科技類”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；

（3）用總?cè)藬?shù)3000乘樣本中文學(xué)類的頻率即可得出閱讀文學(xué)類書籍的學(xué)生人數(shù)；

21．【答案】（1）證明：∵AB⊥BD，AC⊥CE，DE⊥BD，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，又∵BC=DE，∴△ABC≌△CDE(AAS)（2）解：∵△ABC≌△CDE，∴AC=CE，BC=DE=4，∴AC∴S【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS即可證明△ABC≌△CDE；

（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=CE，BC=DE=4，再根據(jù)勾股定理求得AC2=20，然后根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可求得△ACE的面積．22．【答案】（1）解：設(shè)A種文具的單價(jià)為x元，則B種文具的單價(jià)為(x?8得720x解方程，得x=24，經(jīng)檢驗(yàn)，x=24是分式方程的解，∴x?8=16答：A種文具的單價(jià)是24元，B種文具的單價(jià)是16元（2）解：設(shè)學(xué)校購買B種文具y件，則購買A種文具(100?y)件，根據(jù)題意，得16y+24(100?y)≤2080，解得y≥40，答：年級(jí)組至少購買B種文具40件【解析】【分析】（1）設(shè)A種文具的單價(jià)為x元，則B種文具的單價(jià)為(x?8)元，根據(jù)用720元購買A文具的數(shù)量與用480元購買B文具的數(shù)量相同，即可得出方程720x=480x?8，解方程，并進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得出答案；

（2）設(shè)學(xué)校購買B種文具y件，則購買A種文具23．【答案】（1）證明：∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=CD，∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∠EFA=∠EDC，∵E是AD中點(diǎn)，∴AE=DE，∴△EAF≌△EDC(AAS)，∴AF=CD，∴AF=BD，又∵AF∥BD，∴四邊形ADBF是平行四邊形，又∵AD=BD，∴四邊形ADBF是菱形（2）解：如圖所示，過點(diǎn)F作FH⊥CB交CB延長線于H，∵四邊形ADBF是菱形，∴AF∥BD，AF=BF=BD=CD，∵∠AFB=60°∴∠FBH=∠AFB=60°，△ABD是等邊三角形，∴∠HFB=30°，BF=AB=2，∴BH=1∴CH=BH+BD+CD=5，∴CF=【解析】【分析】（1）首先根據(jù)AAS證明△EAF≌△EDC，可得出AF=CD，等量代換為AF=BD，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADBF是平行四邊形，再根據(jù)AD=BD，得出四邊形ADBF是菱形；

（2）：如圖所示，過點(diǎn)F作FH⊥CB交CB延長線于H，根據(jù)菱形的性質(zhì)首先得出△ABD是等邊三角形，進(jìn)一步可得出∠HFB=30°，BF=AB=2，根據(jù)含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)可求得BH=1，F(xiàn)H=3，然后在直角三角形FCH中根據(jù)勾股定理即可求得CF的長度。24．【答案】（1）√；×；√（2）解：∵一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=?kx(其中k，b為常數(shù)，∴方程kx+b=?k∴kx∴Δ=b∴b=2k或b=?2k，當(dāng)b=2k時(shí)，kx解得x=1，∴P(?1,∵“密接點(diǎn)”P到原點(diǎn)的距離等于3，∴12解得k=22或k=?2∴b=42當(dāng)b=?2k時(shí)，kx解得x=1，∴P(1,∵“密接點(diǎn)”P到原點(diǎn)的距離等于3，∴12解得k=22或k=?2∴b=?42綜上，b的值為42或（3）解：m+n=2c．證明：設(shè)直線l1：y=k∵兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y=x∴k1即x2∴Δ=k∴b1=4c?∴M(k同理可得b2=4c?設(shè)直線MN的解析式為y=k∴k22k①×kk1∴b3令x=0，則n=b∵m=k∴xm∴m?4c?∴m=k∴m+n=【解析】【解答】解：(1)①y=2x?1與y=?x+2有一個(gè)交點(diǎn)（1，1），所以①是親密函數(shù)，故打√；②兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)，所以②不是親密函數(shù)，所以②打×；③y=x2?x+1與y=x有一個(gè)交點(diǎn)（1，1），所以③打√；

故答案為：√，×，√；

【分析】(1)分別求出每對(duì)函數(shù)的交點(diǎn)。根據(jù)親密函數(shù)的定義即可判斷對(duì)錯(cuò)；

（2）首先根據(jù)親密函數(shù)的定義，得出方程kx+b=?kx當(dāng)b=2k時(shí)，kx2+2kx+k=0，解得x=1，得出P(?1,k)，再根據(jù)“密接點(diǎn)”P到原點(diǎn)的距離等于3，即可得出12+k2=3，解得k=22或k=?22(不合，舍去)，進(jìn)一步求得b=42；當(dāng)b=?2k時(shí)，k（3）設(shè)直線l1：y=k1x+b1，直線l2：y=k2x+b2，兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y=x2+c的“親密函數(shù)”，且“密接點(diǎn)”分別為M，N25．【答案】（1）證明：∵∠DMC=∠DAC+∠ADB,∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠ADB=∠BAC，∵∠ADB=∠ACB，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC（2）解：①∵∠BAC=∠ACB,∴∠ADB=∠BAC，∵∠ABM=∠DBA，∴△ABM∽△DBA，∴AB∵△ABM和△ADM的底邊分別為BM，DM，高相等，∴S∴BM=t?DM,∴BD=BM+DM=(1+t)?DM，代入ABBD=BM整理得：t(1+t)