【數學精品】2021版？6年高考4年模擬？

第六章數列

第一節等差數列、等比數列的概念及求和

第一局部六年高考題薈萃

2021年高考題

一、選擇題

1.12021高考重慶理1】在等差數列｛%｝中，a2=l,%=5那么｛〃”｝的前5項和S§=

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因為〃2=1，%=5,所以q+%=g+%=6，所以數列的前5項和

班上也=?&='6=15,選B.

222

2.[2021高考浙江理7】設S.是公差為d(d#0)的無窮等差數列｛aC的前n項和，那么

以下命題錯誤的選項是

A.假設d<0,那么數列｛S?｝有最大項

｛S?｝有最大項，那么d<0

｛Sn)是遞增數列，那么對任意〃wN",均有S〃>0

D.假設對任意〃￡N”,均有S〃>0,那么數列｛Sn)是遞增數列

【答案】C

【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：一1,0,1,2,3,….滿足數列｛S“｝是遞增數列,

但是5“>0不成立.應選C。

3.[2021高考新課標理5】｛4｝為等比數列，4+%=2,=一8，那么4+%。=()

(A)7(3)5(C)-5(D)-7

【答案】D

【解析】因為｛。“｝為等比數列，所以a5a6=a4a7=-8,又出+%=2,所以

aA=4,。7=-2或4=-2,%=4.假設4=4,%=-2,解得％=-8,?10=1,

4+。10=-7；假設〃4=-2,%=4，解得。10=-8,4=1,仍有4+。10=-7，綜

上選D.

Injr

4.[2021高考上海理18】設=-sin——，S“二"+o>+…+*,在S[,S,,…,S心中，

n25

正數的個數是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】當/24時，an>0,當26W〃W49時，％V0,但其絕對值要小于

24時相應的值，當51W〃W74時，%>0,當76《〃W99時，<0,但其絕對值要小于

51W〃W74時相應的值，，當1W〃W100時，均有S”>0。

【點評】此題主要考查正弦函數的圖象和性質和間接法解題.解決此類問題主要找到規律，

從題目出發可以看出來相鄰的14項的和為0,這就是規律，考查綜合分析問題和解決問題

的能力.

5.12021高考遼寧理6】在等差數列僅“｝中，“4+08=16,那么該數列前11項和S產

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差數列中，???4+。“=q+/==，乂(3+41)=88,答案為B

【點評】此題主要考查等差數列的通項公式、性質及其前n項和公式，同時考查運算求解能

力，屬于中檔題。解答時利用等差數列的性質快速又準確。

6.[2021高考福建理2】等差數列(aj中，ai+a5=10,a4=7,那么數列｛a。]的公差為

【答案】B.

考點：等差數列的定義。

難度：易。

分析：此題考查的知識點為等差數列的通項公式可=%+O

【解析】法1：由等差中項的性質知名=巧詈=5,又%=7,-%=2.應選

B.

2a,+4d=10

法2：?1=d=2

a1+3d=7

7.[2021高考安徽理41公比為次等比數列｛〃”｝的各項都是正數，且%4I=16,那么

嘀46二()

(A)4(B)5(C)6(07

【答案】B

[解析]/q1=16o=16。%=4=《6=%x夕。=32=Iog2al6=5.

8.[2021高考全國卷理5】等差數列⑶｝的前n項和為Sn，a5=5,S5=15,那么數列

的前100項和為

八100c9999101

(A)——(B)----(C)(D)——

101101100100

【答案】A

【命題意圖】本試題主要考查等差數列的通項公式和前〃項和的公式的運用，以及裂項求和

的綜合運用，通過中兩項，得到公差與首項，得到數列的通項公式，并進一步裂項求和。

【解析】由%=5,&=15,得4=1/=1,所以q=1+5-1)=〃，所以

11=1_1

又

n(n+1)n〃+1

111111二也，選A.

+…+???+------

aa223100101101101

\2^100^101

二、填空題

912021高考浙江理13】設公比為q(q>0)的等比數列｛a"的前n項和為Sn。假設S2=3a〉+2,

S4=3a4+2,那么q=

【答案】|

【解析】將S2=%2+2，邑=3%+2兩個式子全部轉化成用6,q表示的式子.

"+"闖3”+2，兩式作差得：aq2+aq3-3aq(q2-1),即:2/—"3=0,

即xxi

4+44+44+ayq=5axq+2

解之得：4=，或q=-l(舍去).

10.[2021高考新課標理16]數列｛%｝滿足。向+(-1)"見=2〃-1,那么｛〃〃｝的前60項

和為.

【答案】1830

【解析】由+（-1）"。〃=2〃-1得,

n,

a0+2=（-i）^+i+2?+i=（-in（-ir^+2/i-ii+2n+i

=一勺+（-1）"（2〃-l）+2〃+l,

即〃0+2+〃“=（-1）"（2〃-1）+2"+1,也有%+3+勺討=-（T）"（2〃+D+2〃+3,兩式相

a

加得%+%+|+。〃+2+n+3=-2（-1）"+4〃+4,設攵為整數,

那么。4大+1+a4k+2+。4A+3+。4大+4=-2（-1）""+4（4%+1）+4=16Z+'10,

1414

于是s稹=Z+儂3+氣+4）=Z（16%+10）=1830

K=0K=0

11.[2021高考遼寧理14]等比數列｛為｝為遞增數列，且a=q（）,2（凡+,2）=5%/

那么數列｛d｝的通項公式的=。

【答案】2"

【命題意圖】此題主要考查等比數列的通項公式及方程思想，是簡單題.

【解析】=qo，/.（〃闖4）2=qg9,..4=g,.q=q"，

,.?2（a”+。"+2）=5。〃+],「.勿"（1+[2）=544，.二2。+42）=54，解得4=2或4=；（舍去）,an=2"

【點評】此題主要考查等比數列的通項公式，轉化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。

12.12021高考江西理12】設數列⑶｝,｛悅｝都是等差數列,假設4+4=7,丐+么=21,

那么%+bs=。

【答案】35

【命題立意】此題考查等差數列的概念和運算。考查等差中項的性質及整體代換的數學思想

【解析】〔解法一）因為數列伍”｝,｛2｝都是等差數列，所以數列｛4+2｝也是等差數列.

故由等差中項的性質，得（火+々）+（4+4）=23+4），即（%+4）+7=2乂21,解得

a5+Z?5=35.

（解法二）設數列｛%｝,｛〃｝的公差分別為4,。2.

因為q+4=(4+2dJ+S]+242)=(4+々)+2(4+&)=7+2(4+4)=21，

所以4+d2=7.所以％+用=（%+4）+2（4+4）=35.

【點評】對于等差數列的計算問題，要注意掌握根本量法這一通法，同時要注意合理使用等

差數列的性質進行巧解.表達考綱中要求理解等差數列的概念.來年需要等差數列的通項公

式，前〃項和，等差中項的性質等.

13.12021高考北京理10】｛%｝等差數列S”為其前n項和。假設S2=a3,那么

a2=o

2

【答案】凡=1,Sn=-n+-n

~44

[解析】因為52=q=4+&=6=4+4+d=4+2d=d="=工，

所以%=4+〃=1，Sn=nal+n(n-\)d=—ir+—no

14.12021高考廣東理11】遞增的等差數列｛aj滿足ai=L^=0^-4,那么a產.

【答案】2〃一1

【解析】由生=生2一4得到i+2d=(l+d)2-4,即42=4,應為｛垢｝是遞增的等差數列,

所以d=2,故a“=2〃—1。

三、解答題

1512021高考江蘇20](16分)各項均為正數的兩個數列｛4｝和｛〃]滿足:

,一一neN"

W+1

+b；

ffK\

(1)設力川=1+2,求證：數列2是等差數列；

(2)設nsN*,且他“)是等比數列，求《和女的值.

an

【答案】解：⑴：=1-——，：.%+[

an

2

.??數列J也是以1為公差的等差數列。

<an)

(2)??.6>(),b.>0,???&；■)+“<(q+幻2。

<V2o（*）

設等比數列｛〃“｝的公比為4，由勺>0知g>0,下面用反證法證明q=l

假設q>1,那么。產竺■<。24、歷，?,?當門>log。時，%+1=/夕">",與(*)矛

q4

盾。

假設0v4v1,那么q=">的>1，???當〃>logq—時，。“口=。闖"<1，與(*)

q%

矛盾。

，綜上所述，［=1。a,,=al(neN*)f歷。

又???bi=&?%=巫?"(〃eN*),???電)是公比是它的等比數列。

冊%at

假設那么絲>1,于是々<么<么。

/+”"即①

又由%+i=%+2，得“

:?如匕2，么中至少有兩項相同，與偽<&<匕3矛盾。工。1=及。

.b夜士（可b（可&

...（可-】

/.ax=b2=yf2e

【考點】等差數列和等比數列的根本性質，根本不等式，反證法。

【解析】⑴根據題設和包+1=1+%,求出如=1+1%],從而

M+b：。〃〃，川VI。/

證明她

=1而得證。

kan+l>

(2)根據根本不等式得到IV4+1=用反證法證明等比數列｛4｝

J。/+b/

的公比q=\o

從而得到4=q(〃eN*)的結論，再由2+|=應?%=也“〃知｛"｝是公比是立的等比

%a\a\

數列。最后用反證法求出。[=3=近。

16.[2021高考湖北理18】(本小題總分值12分)

等差數列｛q｝前三項的和為-3,前三項的積為8.

(I)求等差數列｛/｝的通項公式；

(II)假設。2，%，4成等比數列，求數列｛|。/｝的前〃項和.

【答案】(I)設等差數列｛/｝的公差為d,那么/=4+d，/=4+2d,

由題意得檔+3[：T解得夕t或夕廣

%(q+d)(6+2d)=8.[d=-3,[d-3.

所以由等差數列通項公式可得

an=2-3(n-1)=-3n+5?或=-4+3(w—l)=3n-7.

故an=-3n+5,或q=3〃-7.

(II)當a“=-3〃+5時，a2,%,q分別為一1,-4,2,不成等比數列；

當q=3〃-7時，%,%，q分別為T，2,T,成等比數列，滿足條件.

(一3〃+7,〃=1,2,

故⑷=|3〃-7|=

[3〃-7,zi>3.

記數列｛|。“|｝的前〃項和為5”.

當〃=1時，S=l4l=4；當〃=2時，S?=4|+|出|二5；

當〃23時，

Sn=S2+\a3\+\a4\+---+\an|=5+(3x3-7)+(3x4-7)+---+(3n-7)

=5+(n~~2)[2+(3n-7)]=-A?2-—^+10.當〃=2時，滿足此式.

222

4,n=1,

綜上，S”=?32U1八

一〃"---W+10,n>\.

[22

17.[2021高考廣東理19](本小題總分值14分)

設數列⑶｝的前n項和為Sn，滿足25〃=4向-2向+1,11￡1<,且山，22+5,a3成等差數列.

(1)求ai的值；

(2)求數列電｝的通項公式.

1113

(3)證明：對一切正整數n,有一+—+…+—〈二.

。22

【答案】此題考查由數列的遞推公式求通項公式，不等式證明問題，考查了學生的運算求解

能力與推理論證能力，難度一般.

n+ln+2n+,

【解析】(1)25rt=aw+1-2+1,25w+1=aM+2-2+1相減得：?n+2=3a?+1+2

2S1=a2—3<=>a2=2%+3,a3=3a2+4=6al+13

4，生+5,生成等差數列。4+4=2(4+5)u>q=1

(2)4=1嗎=5得an+,=3an+2〃對VnGN”均成立

2叫30+2“)

得：

n2n2

an+2=3(%+2"T)=3(an_2+2~)=…=3恒(q+2)。勺=3〃-2〃

13

13)當〃=1時，一=1<—

42

當〃N2時，(』)〃2(3)2>2=3">2x2〃

11,113

-+--+???+—<1+—+—4-----F—=14-----------<—

a\a2

由上式得：對一切正整數〃，有一1+―1+…+—|<三3。

a\a2

18.[2021高考陜西理17】(本小題總分值12分)

設｛(｝的公比不為1的等比數列，其前〃項和為S”，且。5,生，4成等差數列。

(1)求數列｛4｝的公比；

(2)證明：對任意欠wN+，S",5,,成等差數列。

【解析】(1)設數列｛〃“｝的公比為q(gwO,qwl)。

由％,av4成等差數列，得2%=%+%，即2。q2=4,+6/,

由4/0,g工0得q2+4一2=0,解得彷二-2,q2=1(舍去)，所以q二一2。

(2)證法一：對任意2eN+，〔IbyIfx]

SA+2+SR+I-2sA=(s*+2-s*)+6+[-)

ak+\+%2+ak-\

=%*+%](-2)=0,

所以，對任意出wN+，S?+2，Sz成等差數列。

2%(W)

證法二：對任意ZEN+，2Sk=

4(1-f2)40_/)_4(2-亡2_六

SA+2+Sa+i=+一

i-q

2q(1-力4(2-產-六

2S?-(S?+2+S?+J=

1一4

2(1—力―(2—尸―/)]

g2十夕—2)_0,

因此，對任意女wN+，5^2，，，S“1成等差數列。

19.12021高考重慶理21】(本小題總分值12分，(I)小問5分，(II)小問7分.)

設數列|%|的前n項和Sn滿足S“+[=a2Stl+q,其中%w0.

(I)求證：卜』是首項為1的等比數列；

n

(II)假設。2>-1，求證：Sn<-(a.+a2),并給出等號成立的充要條件.

2

【答案】(1)證明：由52=生51+4，得4+〃2=4生+。1，即〃2=/4。

因4工0，故q=1,得&~=%，

又由題設條件知Sn+2=a2Sn+l+q,Sn+l=a2Sn+q

兩式相減得Sm—SmU%lST—S”)，即an+2=a2an￥\'

由a,￥0,知a.+iw0,因此殳2=a>

a…

綜上，笑■=%對所有〃wN*成立，從而｛0｝是首項為1,公比為4的等比數歹I。

(2)當〃=1或2時，顯然S“=g(q+a“)，等號成立。

設〃之3,。2>一1且生。0,由(1)知，4=1，%=4"、所以要證的不等式化

為：

1+〃,++…+W5(]+a,"")(〃N3)

即證：1+4+a；H---H%"-....(1+%”)(〃-2)

2

當生=1時，上面不等式的等號成立。

當-1<生<1時，生'-1與(r=l,2,3,…，〃-1)同為負；

當出>1時，出〈I與出--I，0=1,2,3,…，〃-1)同為正；

nr

因此當利>T且。2工1時，總有(<-1)(a2--l)>0,即

ci^+%”，v1+%”，(r=1,2,3,e,,,H—1)o

2nrw

上面不等式對/?從1到〃一1求和得，2(a2+1/2+?.?+a2~)<(n-1)(1+a2)

由此得1+。2+々2?+…十出”<~^~^+a2)

綜上，當外>T且生。0時，有S,4C(%+%),當且僅當〃=1,2或。2=1時等號成立。

2

20.[2021高考江西理16](本小題總分值12分)

數列出｝的前n項和S”=一一/+2〃，女￡乂,且511的最大值為8.

2

(1)確定常數k,求加；

(2)求數列｛之3｝的前n項和T”

【答案】解：(1)當〃=ZtN"時，5”=一4〃2+切取最大值，即8=?1&2+左2=2_%2,

222

979

故Z=4,從而an=SH-5?_1=--n(n>2),又4=&=5,所以a”=/一〃

⑴因為a=92："”-券，<=4+4+…+包=1+|+#…+言

所以7；=27；-7；=2+1+3+―+/一券=4一3一會=4_^^

【點評】此題考查數列的通項，遞推、錯位相減法求和以及二次函數的最值的綜合應用.利

用q=｛1來實現勺與S“的相互轉化是數列問題比擬常見的技巧之一，要注意

s”一S〃_]

%=s“-S,I不能用來求解首項力，首項q一般通過4=$來求解.運用錯位相減法求數列

的前n項和適用的情況：當數列通項由兩項的乘積組成，其中一項為哪一項等差數列、另

一項為哪一項等比數列.

21.[2021高考湖南理19】(本小題總分值12分)

數列｛&｝的各項均為正數，記/(〃)=a+a+....+&,Bin)=&+&+..............=&+&+....

+a^2?店1,2,....

(1)假設&=L/=5,且對任意〃￡N*,三個數[(〃)，B(/?),C(/?)組成等差數列，

求數列｛a｝的通項公式.

(2)證明：數列｛a｝是公比為。的等比數列的充分必要條件是：對任意〃￡N',三個

數/(〃)，B(/?),C(/?)組成公比為(7的等比數列.

【答案】解(1)對任意〃eNL三個數A(〃),85),C(〃)是等差數列，所以

B(ri)-A(n)=C(n)-B(n),

aa

即4+1-4=%+2，亦即n+2-n-\=%一4二今

故數列｛q｝^=l+(w-l)x4=4n-3.

(ID(1)必要性：假設數列｛〃力是公比為。的等比數列，那么對任意〃wN*,有

?由可>0知，4(〃),8(〃),。(九)均大于0,于是

B(n)_。2+。3+…+a肝1_式4+。2+…+an)_

~~~—=---------------=-----------------=q>

4(〃)4+/+???+4+ci2+...+a/t

C(7i)_as+a4+...+aHt2_虱々2+&+???+4,+D_八

-----==q、

B(n)a2+a3+...4-an+l----生+生+…+^什]

即"幼=旦。=q,所以三個數45),B(〃),C(〃)組成公比為q的等比數列.

A(〃)B(n)

(2)充分性：假設對于任意〃eN"三個數4(〃),85),。(〃)組成公比為4的等比數列，

那么

B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),

于是C(〃)一B(H)=q[B｛ri)-A(〃)],得an+2-a2=q(an^-%),即

%+2一敦〃+i=a2-ar

由4=1有伙1)=gA⑴，即a2=qa、,從而an+2-qan+l=0.

因為q>0,所以卜=佚二4,故數列｛q｝是首項為%,公比為4的等比數列，

綜上所述，數列｛%｝是公比為夕的等比數列的充分必要條件是：對注意neN*,三個數

4(”),8(〃),。(〃)組成公比為q的等比數列.

［點評］此題考查等差數列、等比數列的定義、性質及充要條件的證明.第一問由等差數列

定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數列的定義及性質易得證.

22.［2021高考山東理201本小題總分值12分)

在等差數列｛4｝中，生+4+6=84,%=73.

(I)求數列｛4｝的通項公式；

(II)對任意msN*,將數列血｝中落入區間(9",92)內的項的個數記為縱，求數列

m

也”｝的前項和Sm.

【答案】解：〔I〕因為｛4｝是T等差數列，

所以％+。4+生=34=84,即％=28.

所以，數列｛凡｝的公差〃:會令二%弱二?，

所以,an=a4+(n-4)d=28+9(〃-4)=9〃-8(〃wN*)

［n］對陽eN,假設9"'<a〃v92〃l

那么9'"+8<9,v92",+8,因此9"i+lW〃W92"i,

故得〃”=92〃1一9"'〔lbylfx〕

于是Sm=4+Z?2+力3+…+b”t

=(9+93+95+...+92,M-,)-(l+9+92+...+9n,-1)

^9x(l-81w)i-9>?

=-1^81

_92^'-10x9"+1

~80

2021年高考題

一、選擇題

1.(天津理4)｛“〃｝為等差數列，其公差為-2,且%是生與旬的等匕中項，S“為

｛"”｝的前〃項和，〃wN",那么So的值為

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.1四川理8）數列｛"J的首項為3,｛4｝為等差數列且a=%+「4（〃￡N*）假設那

么4=-2,九=12,那么％=

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

[解析]由知4=2〃_8,q+]_/=2〃_8,由疊加法

（出-4）+（%—%）+?,,+（6—〃7）=-6H—4H■-2+0+2+4+6=0=＞々8=〃1—3

3.（全國大綱理4）設3為等差數列｛4｝的前〃項和，假設4=1,公差〃=2,

5人2-58=24,那么攵=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）數列（“"｝的前n項和S”滿足：S〃+S?,=S“+*且/=].那么4。=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空題

5.（湖南理12）設,是等差數列｛q｝（〃￡八“）,的前〃項和，且4=1，4=7,

那么‘9=

【答案】25

6.（重慶理11）在等差數列伍”｝中，6+%=37,那么。2+4+4+/=

【答案】74

7.（北京理11）在等比數列｛an｝中，al=2,a4=-4,那么公比4=：

同+同+...+㈤=。_2

2”T__1

【答案】2

8.（廣東理11）等差數列,/前9項的和等于前4項的和.假設4=1，4+%=°,那么

k=.

【答案】10

9.（江蘇13）設1"%"%"…’外,其中al，a3，a5，a7成公比為q的等比數列，生必，4

成公差為1的等差數列，那么q的最小值是

【答案】百

三、解答題

10.(江蘇20)設M局部為正整數組成的集合，數列｛%｝的首項％=1,前n項和為S〃，

對任意整數k￡M,當整數〃時，S“+&+S.d=2(5〃+SQ都成立

(1)設M=U｝必=2,求心的值；

(2)設"=｛3,4｝，求數列｛。〃｝的通項公式

本小題考查數列的通項與前〃項和的關系、等差數列的根本性質等根底知識，考查考生分析

探究及邏輯推理的能力，總分值16分。

解：⑴由題設知，當〃滔寸，s“「s“T=2(S”+E),

即—〃)_(工_5一)=2’,

從而4+i.4-24=2,又生=2,故當〃>2時,=a2+2(〃-2)=2〃一2.

所以牝的值為8。

(2)由題設知，當欠￡"=｛3,4｝,且〃>耐*,$/1+&+5〃_#=25“+25人

且S”+I+A+S“+j=2S“++2Sk

+a

兩式相減得《r+i+大n+\-k=2a“+],即〃“+]+?-an+]_k=aZJ+l-cill+l_k

所以當〃28“,"/t-6，。〃-3M“,。”+3，/+6成等差數列，且。“-6，4-2，。"+2，。〃+6也成等差數

列

從而當〃之8時，=凡+3+%-3=凡+6+4-6-(*)

a

且一+n-6=可+2+%，所以當〃之8時,2an=an+2+an_2,

即。〃+2—an=an~an-2?于是當〃之卯寸M”_3?an-\，。”+1，。〃+3成等差數列,

aa

從而"”+3+=n+l+n-lf

故由(*)式知2""=""+1+〃”-1，即4+1一°”=an~an-\?

當.N9時，設-=q一"”+「

當24”工8時，加+628,從而由(*)式知2%+6=%+4小

故2《“+7=4+1+4+小

從而2ms+7-4+6）=4+1一冊+（冊+13一?詞2），于是a，n+i-am=2d-d=d.

因此，勺+|一4=d對任意力之2都成立，又由S”+?+S〃f_2R=2SJZe{3,4}）可

知（S田-'）-⑸-）=21,故9d=2s3且16d=2s4,

%=]d,=

解得

因此,數列｛"/為等差數列，由4=1知"=2.

所以數列｛“〃｝的通項公式為%=2〃—1.

11.(北京理20)

假設數列4=4，%.…，47(〃之2)滿足-⑷=1(&=,數列An為七數

列，記s(A>)=q+&+??,+[“.

(I)寫出一個滿足勾=%二°,且S(4)〉o的E數列4；

(II)假設4=12,n=2ooo,證明：E數列凡是遞增數列的充要條件是%=2021；

(III)對任意給定的整數n(n>2),是否存在首項為0的E數列4,使得$(4)=0?

如果存在，寫出一個滿足條件的E數列4；如果不存在，說明理由。

解：(I)0,1,2,1,。是一具滿足條件的E數列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數列A5)

(II)必要性：因為E數列A5是遞增數列，

所以--4=1(2=12…,1999)

所以A5是首項為12,公差為1的等差數列.

所以a2000=12+(2000—1)xl=2021.

充分性，由于a2000—al000q,

a2000—al000<l

a2—al<l

所以a2000—a<19999,即a2000<a1+1999.

又因為al=12,a2000=2021,

所以a2000=al+1999.

故a”+i=1>°（）=1，2,…1999），即A.是遞增數列

綜上，結論得證。

(III)令q=4+1-4=1>°(%=1,24一,〃一1),則。4=±1.

因為。2=q+G+4=4+G+C2

%=6+G+/?,+%，

所以S(4”)=〃4+(〃-1)G+(H-2)C2+(〃-3)J+…+c“_[

="(：D_[(1_Q)(U_1)+(1-C2)(n-2)d-----F(1-(??_])].

因為q=±1,所以l-q為偶數(?=1,-,w-l).

所以*1-G)5—1)+(1—。2)(幾一2)+-?+(1—〃)為偶數

S(4〃)=0,必須使空三?

所以要使2為偶數，

即4整除〃(〃-1)，亦即〃=4m或〃=4帆+1(mwN*)

當〃=4帆+1(帆eN*時,E數列A”的項滿足=&j=°，。必一2=T，a必=1

僅=1,2,…，㈤時，有q=O,S(A“)=O;

a址=1伏=1,2,…，加),。北+1=0H寸，有a1=0,S(A?)=0;

當〃=4m+l(mGN*時,E數列A〃的項滿足,%=%=00卜2=T

當〃=+2或〃=而+3(/n￡N)時,〃(機-1)不能被4整除，此時不存在E數列An,

使得a,=°,S(A〃)=0.

12.(廣東理20)

設b>0,數列暫步滿足al=b,〃小+2〃-2

(1)求數列｛"“｝的通項公式；

bnJrX,

ci<——+1.

(2)證明：對于一切正整數n,2”

解：

,八.?〃匕a”」八〃12n-

4=b>0,知=-------:----->0,—=—?----------

a

⑴由n-\+272-24bban_]

4=—，A=T

令凡b,

12

當bb

122n~22"T,

=/瓦+?一+產+聲4

[22〃-22〃T

=—+—+???+——-+---.

bb24bn

①當時，

1<2Y

一(1——)

b\b)bn-T

Ax,=---------------=------------,

'.2b〃(b—2)

i—

b

人=2fl寸，4=g.

②當2

nbn(b-2)

-,b豐2

bn-T

2,b=2

-喏當”，只需證也岑+1)魯

an

(2)當b.2時，(欲證)

—yx

(2〃+i+*)￡_±_=(2叫b向)("-+2bn~2+…+2〃T)

b-2

=2"+%'i+T+2bH-2+---+22n+62”+2〃2，I+...+2'1"山

=2w(2+3...+Z+￡+”+..一)

bb1bnV2〃T2

>2〃b”(2+2+…+2)=2n?2nb”=〃?bn

nbn(b-2)bn+l

+1.

bn-T

當I時'"

八"+L

綜上所述2”

13.(湖北理19)

數列｛%的前〃項和為S〃，且滿足：ai=a(a^O)fan.i=rSn(n

(I)求數列｛小｝的通項公式;

(II)假設存在k￡N*,使得&“，0,&+2成等差數列，是判斷：對于任意的m^N*,

且根之2,小…，猴，前+2是否成等差數列，并證明你的結論.

本小題主要考查等差數列、等比數列等根底知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般

的思想。(總分值13分)

解：11)由°川二4”,可得4+2=兩式相減可得

aa

n+2~n+\=r(S〃+[—S”)=ran+l,

即見+2=(廠+1)凡+1，

又的=9=U所以口。時,

數列｛/｝為：a,0,…，0,…;

當rwO,rw—1時，由〃工0,所以。”工0

a=r+15wN?)

于是由《+2=(「+1)4M，可得4+1

r+…成等比數列,

n2

.?.當nN2時an=r(r+l)-a.

4〃=1,

an

綜上，數列MJ的通項公式為r(r+ir-2a,n>2

(II)對于任意的MEN”,且〃722,4+|,4MM”計2成等差數列，證明如下:

a,n=i,

a

,n0,n>2

當r=0時，由(I)知，

對于任意的〃2￡N*,且加之2必同,《”+2成等差數列,

當一。°,廣，一1時，

,**S&+2=S&+4川+，+2，S“i+4+「

假設存在々cN”,使得1+i，S|，S"2成等差數列，

那么1+i+Sk+2=2S%

a

:2Sk+2ak+i+ak+2=2Sk,即為+2="~^k+\,

由⑴知，生，/，…4,…的公比一+1=-2,于是

對于任意的mwN",且他之2,%計1=-24,從而a”*=4金，

。〃,+1+〃m+2=2?”,即。閉+1，〃帆,。切+2成等差數列，

綜上，對于任意的mwN：且“？2,%+1,金,4n+2成等差數列。

14.(遼寧理17)

等差數列｛an｝滿足a2=0,a6+a8=-10

(I)求數列｛an｝的通項公式；

｛含｝

(II)求數列U」的前n項和.

解：

q+d=0,

V

(I)設等差數列以)的公差為d,由條件可得3+12"=TO,

4=1,

解得【d=_L

故數列｛凡｝的通項公式為凡=2-九............5分

3設數列目的前〃項和為'即i+會?母腳內

—5〃—―-4--+卜—々+十???r,--凡-.

2242〃

所以，當〃>1時,

5

?

-

2

112-

-+-+

24+?

2Z2fl

及

F.

二

產

"S=

所

以

仲二將石I｛苗)的前〃項和S〃=言.

綜上，數列22............

15.(全國大綱理20)

1______｝_=1

設數列｛4｝滿足4=。且1-〃向1-%

(I)求｛"”｝的通項公式；

〃=上疝，記3=/，證明：\<1.

(II)設7〃I

解：

—!------=1,

(I)由題設1一《用I"

即1一%是公差為1的等差數列。

1…1

------=1,故-----=n.

又1-41-/

所以〃

(II)由⑴得

8分

s.=以這（；.4）=1一4<1.

bi&=iy[k，%+1J.+1..............12分

16.（山東理20）

等比數列｛""｝中，4M2，生分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且