第六章狀態反饋和狀態觀測器

6.1狀態反饋的定義及其性質6.2極點配置6.3應用狀態反饋實現解耦控制6.4狀態觀測器6.5帶狀態觀測器的反饋系統2/28/20256.1狀態反饋的定義及其性質給定系統在系統中引入反饋控制律2/28/2025則閉環系統的結構為：B-uy+Cv+的狀態空間表達式為：2/28/2025狀態反饋性質(1)時，為單純的狀態變量反饋。若，則，狀態反饋就等價于輸出反饋。2/28/2025①利用矩陣運算直接可推出（見書191頁）(2)D=0時，可以求得閉環系統的傳遞函數陣2/28/2025②若，則的狀態空間表達式為：則閉環系統的結構為：B-uy+Cv2/28/2025①利用矩陣運算直接可推出（見書191頁）(2)D=0時，可以求得閉環系統的傳遞函數陣2/28/2025②時狀態反饋結構圖輸出反饋：a到b前向通道：閉環傳遞函數為：于是，從到的傳遞函數矩陣為：2/28/2025-yv閉環系統結構：2/28/2025證

注意到系統和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以由

的列向量的線性組合表示。

定理6.1.1

對于任何實常量矩陣，系統充要條件是系統完全能控。完全能控的2/28/2025的列向量可以由()的的線性組合表示。列向量依此類推，不難看出≤這意味著

的列向量可以由的列向量的線性組合表示。2/28/2025系統也可看成是由系統經過狀態反饋而獲得的，

因此，同理有于是定理得證。所以系統的能控性等價于系統的能控性，2/28/2025

完全能控能觀，引入反饋例6.1.1系統2/28/2025

：不難判斷，系統仍然是能控的，但已不再能觀測。則閉環系統的狀態空間表達式為2/28/20256.2極點配置6.2.1極點配置定理6.2.2單輸入系統極點配置6.2.3討論2/28/2025

定理6.2.1給定系統通過狀態反饋任意配置極點的充完全能控。要條件6.2.1極點配置定理2/28/2025證:只就單輸入系統的情況證明本定理充分性：因為給定系統能控，故通過等價變換必能將它變為能控標準形

這里，為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有，

2/28/2025引入狀態反饋則閉環系統的狀態空間表達式為2/28/2025

其中，顯然有系統的閉環特征方程為2/28/2025同時，由指定的任意個期望閉環極點

可求得期望的閉環特征方程通過比較系數，可知2/28/2025由此即有又因為所以2/28/2025且對任意，有非奇異變換陣使系統結構分解必要性：采用反證法，設不完全能控，則必2/28/20256.2.2單輸入系統極點配置yB-u-C+-Buy-C+開環系統閉環系統2/28/2025閉環系統的極點原系統的極點2/28/2025關鍵：怎樣計算反饋向量K？2/28/2025算法1：按能控標準形求

K1、求A的特征多項式2、求閉環系統的期望特征多項式3、計算2/28/20254、計算2/28/20254、計算5、計算2/28/2025算法2：直接配置1)將帶入系統狀態方程，求得閉環系統的特征多項式

其中,是反饋矩陣的函數2)計算理想特征多項式3)列方程組

并求解。

其解,即為所求2/28/2025算法2：直接法利用方程兩邊S的各次項系數對應相等2/28/2025例6.2.1給定系統的狀態空間表達式為求狀態反饋增益陣，使反饋后閉環特征值為Friday,February28,2025解：因為系統是狀態完全能控，通過狀態反饋控制律能任意配置閉環特征值。2/28/2025算法1：利用規范化方法配置極點設所需的狀態反饋增益矩陣為1）閉環系統的特征多項式為得2/28/20252)期望的特征多項式得3)2/28/20254)5)6)2/28/2025算法2：直接法因為經過狀態反饋后，閉環系統的特征多項式為解：設所需的狀態反饋增益矩陣為2/28/2025根據要求的閉環期望極點，可求得閉環期望特征多項式為比較兩多項式同次冪的系數，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態反饋增益矩陣為:

與例6.2.1結果相同2/28/2025狀態反饋不改變系統的維數，但是閉環傳遞函數的階次可能會降低，這是由分子分母的公因子被對消所致。(1)6.2.3討論對于單輸入單輸出系統，狀態反饋不會移動系統傳遞函數的零點。(2)若系統是不完全能控的，可將其狀態方程變換成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。2/28/2025(4)系統綜合往往需要將不穩定的極點，移到

s平面的左半部，這一過程稱為系統鎮定。

只有的全部特征值都具有負實部時，系統才能穩定。2/28/20256.3應用狀態反饋實現解耦控制（自學）6.3.1問題的提出6.3.2實現解耦控制的條件和主要結論2/28/20256.3.1問題的提出

考慮MIMO系統

(6.3.1)在的條件下，輸出與輸入之間的關系，可用傳遞函數描述：

(6.3.2)2/28/2025式(6.3.2)可寫為2/28/2025：

1)即系統的輸出個數等于輸入個數；每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制我們稱這種交互作用的現象為耦合。一般說來，控制多輸入多輸出系統是頗為困的。例如,要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入的控制，這必將大大的簡化控制實現這樣的。控制稱為解耦控制，或者簡稱為解耦。三個基本假定2/28/20252)狀態反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的

圖6.3.1+-2/28/2025解耦控制問題:尋找一個輸入變換矩陣和狀態反饋增益矩陣對,使得系統的傳遞函數陣顯然，經過解耦的系統可以看成是由個獨立單變量子系統所組成。2/28/2025圖

6.3.22/28/20256.3.2實現解耦控制的條件和主要結論

定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質。1)已知傳遞函數陣其中都是嚴格真的有理分式(或者為零)。令是的分母的次數與分子的次數之差2/28/2025此處的表示的第行。不難看出

由

所唯一確定的

(2)若A,B,C已知，則狀態反饋不改變2/28/2025例6.3.1給定系統其中:2/28/2025其傳遞函數矩陣為:得到:2/28/2025因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。2/28/2025定理6.3.1前面系統在狀態反饋下實現解耦控制的充要條件是為非奇異。其中，2/28/2025證：對等式兩邊分別求導，根據和的定義可知2/28/2025當且僅當矩陣為非奇異時，由方程組可唯一確定出和在狀態反饋下,有:2/28/2025輸出僅與輸入有關,且僅能控制。定理得證在狀態反饋下，系統的狀態空間表達式為:2/28/2025

其傳遞函數矩陣為:2/28/20256.3.3算法和推論

算法：

1)求出系統的2)構成矩陣，若非奇異，則可實現狀態反饋解耦；否則，不能狀態反饋解耦。3)求取矩陣和,則就是所需的狀態反饋控制律。2/28/2025例6.3.2給定系統試求使其實現解耦控制的狀態反饋控制律和解耦后的傳遞函數矩陣。2/28/2025解：1)在例6.3.1中已求得

2)因為為非奇異的,所以可狀態反饋解耦.3)因為所以有2/28/2025于是4)反饋后，對于閉環系統有2/28/2025推論：1)能否態反饋實現解耦控制取決于和。2)求得，，則解耦系統的傳遞函數矩陣即可確定。3)系統解耦后，每個SISO系統的傳遞函數均為重積分形式。須對它進一步施以極點配置。2/28/20254)要求系統能控，或者至少能鎮定否則不能。保證閉環系統的穩定性。2/28/20256.4狀態觀測器6.4.1狀態觀測器的存在條件6.4.2全維狀態觀測器2/28/2025一、觀測器的設計思路狀態觀測器實質上是一個狀態估計器（或動態補償器），它是利用被控對象的輸入變量u和輸出y對系統的狀態x進行估計，從而解決某些狀態變量不能直接測量的難題。2/28/2025問題的實質就是構造一個新的系統

(或者說裝置)，利用原系統中可直接測量的輸入量和輸出量作為它的輸入信號，并使其輸出信號滿足2/28/20256.4.1狀態觀測器的存在條件定理6.4.1給定線性系統若此系統是狀態完全能觀測的，則狀態向量x可由輸入u和輸出y的相應信息構造出來。2/28/2025證:因為2/28/2025即所以,只有當時，上式中的才能有唯一解即只有當系統是狀態完全能觀測時,狀態向量才能由以及它們的各階導數的線性組合構造出來。2/28/20256.4.2全維狀態觀測器開環狀態估計器：(1)構造一個與原系統完全相同的模擬裝置2/28/2025圖6.4.12/28/2025從所構造的這一裝置可以直接測量。這種開環狀態估計器存在如下缺點：每次使用必須重新確定原系統的初始狀態并對估計器實施設置；①②在

有正實部特征值時，最終總要趨向無窮大。2/28/2025(2)閉環全維狀態觀測器因為

其解為若,則有狀態觀測器的動態方程可寫為：由于,觀測器中的特征值配置問題等價與對偶系統中極點配置問題。2/28/2025圖6.4.22/28/2025定理6.4.2

若n維線性定常系統是狀態完能觀，則存在狀態觀測器其估計誤差滿足在負共軛特征值成對出現的條件下，可選擇矩陣來任意配置的特征值。2/28/2025例6.4.1為例6.2.1的系統設計一個全維狀態觀測器，并使觀測器的極點為，。解:系統完全能觀測的，可構造任意配置特征值全維狀態觀測器。1)由,得；2)觀測器的期望特征多項式為得2/28/20253)4)5)6)2/28/2025得全維狀態觀測器2/28/2025其模擬結構如圖為圖6.4.3返回2/28/20256.4.3降維觀測器思路：利用輸出的q個分量直接產生q個狀態變量，其余的