2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述第二章控制系統的狀態空間描述

2.1基本概念2.2狀態空間表達式的建立2.3傳遞函數(矩陣)2.4組合系統

2.5(非奇異)線性變換2.6離散時間系統狀態空間表達式2.7用MATLAB分析狀態空間模型2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述引言一個復雜系統可能有多個輸入和多個輸出，并且以某種方式相互關聯或耦合。為了分析這樣的系統，必須簡化其數學表達式，轉而借助于計算機來進行各種大量而乏味的分析與計算。從這個觀點來看，狀態空間法對于系統分析是最適宜的。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述經典控制理論是建立在系統的輸入-輸出關系或傳遞函數的基礎之上的，而現代控制理論以n個一階微分方程來描述系統，這些微分方程又組合成一個一階向量-矩陣微分方程。應用向量-矩陣表示方法，可極大地簡化系統的數學表達式。狀態變量、輸入或輸出數目的增多并不增加方程的復雜性。事實上，分析復雜的多輸入-多輸出系統，僅比分析用一階純量微分方程描述的系統在方法上稍復雜一些。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述控制系統的數學描述系統的方框圖表示輸入變量

:u1,u2,…,up輸出變量

:y1,y2,…,ye內部變量:

x1,x2,…,xn2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述兩種控制理論的區別條目經典控制理論現代控制理論研究的系統SISO線性定常系統SISO、MIMO、時變、定常、線性或非線性系統模型傳遞函數（輸入-輸出之間的關系）（外部模型）狀態空間表達式（輸入變量、狀態變量和輸出變量間關系）（內部模型）主要分析和綜合方法頻率域時域數學基礎拉普拉斯變換線性代數2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述系統的數學描述外部（輸入-輸出）描述內部描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述這種描述是把系統視為一個“黑箱”，不去表征系統的內部結構和內部變量，只是反映外部變量組間的因果關系即指輸出和輸入間的因果關系。1、外部（輸入-輸出）描述系統的輸入輸出描述框圖2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述在經典控制理論中所學的傳遞函數就是一種外部描述。黑箱1）SISO系統2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2）MIMO系統傳遞函數矩陣2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2、系統內部描述（狀態空間描述）

（

statespacedescription）動力學部件輸出部件用微分（差分）方程組來描述代數方程組來描述動態系統結構示意圖表達輸入引起狀態變化的運動表達狀態引起輸出變化的變換過程2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述輸入變量狀態方程（一階微分方程組）輸出方（代數方程）輸出變量狀態變量狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.1基本概念2.1.1幾個定義2.1.2狀態空間表達式的一般形式2.1.3狀態空間表達式的系統方框圖2.1.4狀態空間表達式的狀態變量圖2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.1.1幾個定義（重點掌握的基本概念）設有一個質量為m的質點vxF(t)mxm:

質量;a(t):t時刻質點的加速度;

F(t):

時間

[t0,t]上加在質點上的外力（輸入）;v(t):t時刻質點的速度;x(t):

t時刻質點的加速度.2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述其運動方程由據牛頓第二定律描述為:x(t0)和

v(t0)

分別為位移和速度的初始值.輸入輸入2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(1)狀態：系統過去、現在和將來的狀況x(t0)和

v(t0)

可以表示質點的過去的初始狀況；x(t)和

v(t)

可以表示質點的t時刻的當前狀況；幾個定義2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(2)狀態變量：能夠完全表征系統運動狀態的最小一組變量：表示系統時刻的狀態當時的輸入給定，且上述時的行為

狀態確定時，狀態變量能完全確定系統初始在2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述哪組最小的變量能完整地描述系統的狀態？vxF(t)mxx(t)能夠完全表征系統運動狀態嗎？

v(t)呢？

2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述取

x(t)

和

v(t)為兩狀態變量，則

和F(t)(t≥t0)確定x(t)

和

v(t)能為能完整地描述系統的動力學行為的最小一組變量（狀態變量）.

結論2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述作為分量的向量，即(3)狀態向量：以系統的個獨立狀態變量為質量系統的狀態向量。例如：令2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述則有：表達系統任意t時刻的狀態。表示系統的系統的初始狀態

。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述0xvExample:兩維狀態空間(4)狀態空間:以狀態變量維空間。標軸構成的為坐例如：考慮到狀態向量的每個分量只能取實數值，因此狀態空間是建立在實數域上的向量空間，其維數為n，記為Rn。狀態空間中的每一點都代表了狀態變量唯一的、特定的一組值，而狀態隨時間的變化過程，則構成了狀態空間中的一條軌跡，稱為狀態軌線。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(5)狀態方程：描述系統狀態與輸入之間關系的一階微分（差分）方程（組）：狀態方程有何特點？你如何建立狀態方程？思考：系統陣控制陣向量-矩陣形式：狀態向量：輸入向量：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例如質量系統的狀態方程為：一階微分方程組2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(6)輸出方程：描述系統輸出與狀態、輸入之間關系的數學表達式：向量-矩陣形式：輸出陣直接傳遞(轉移)矩陣輸出向量：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例如：對于質量系統：若測量速度：向量-矩陣形式：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(7)狀態空間表達式：對于質量系統：輸入變量u狀態方程輸出方程狀態變量x輸出變量y返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.1.2狀態空間表達式的一般形式：狀態方程輸出方程動態系統結構示意圖1、狀態空間的描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述連續時間系統(1)非線性系統表示為向量方程形式：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(2)線性系統系統(狀態矩陣)控制矩陣直接傳遞(轉移)矩陣輸出矩陣2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述（3）線性時變系統線性系統是實際非線性對象的線性化近似；線性系統的處理方法可以為非線性系統問題的解決提供思路。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述主要研究以下狀態方程描述的線性時不變（LTI）系統的分析和綜合問題：

慣性系統：（4）線性時不變（LTI）系統（重點）2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述（5）離散系統的狀態空間描述非線性系統線性系統2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2、系統狀態空間描述列寫舉例例2.1.1系統如圖所示解：根據電路原理，得2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(1)令得其狀態空間表達式狀態變量具有明確的物理意義2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述根據電路原理，得另一狀態空間表達式(1)令該狀態變量沒有直觀的物理意義2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述其向量矩陣形式2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述非奇異變換陣2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述狀態變量的特點（重點，難點）(1)獨立性：狀態變量之間線性獨立.(3)等價性：兩個狀態向量之間只差一個非奇異變換.(4)現實性：狀態變量通常取為涵義明確的物理量.(5)抽象性：狀態變量可以沒有直觀的物理意義.(2)多樣性：狀態變量的選取非唯一性，狀態方程的多樣性，但狀態變量的個數不變.2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述列寫狀態方程的步驟（p12）1、確定輸入輸出變量；2、將系統劃分為若干子系統，列寫各子系統的微分方程；3、根據各子系統微分方程的階次，選擇狀態變量寫成向量微分方程的形式（狀態方程）:4、按照輸出變量是狀態變量的線性組合，寫成向量代數方程的形式（輸出方程）返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.1.3狀態空間表達式的系統方框圖線性系統的方框圖返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.1.4狀態空間表達式的狀態變量圖（重點）1x2x21xx++加法器積分器)(tx&)(txò)(tx&)(txkkxxkkxx放大器2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.1.1設一階系統狀態方程為則其狀態圖為bax&+ux繪制步驟：（1） 繪制積分器

（2） 畫出加法器和放大器

（3） 用線連接各元件，并用箭頭 示出信號傳遞的方向。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.1.2設三階系統狀態空間表達式為狀態變量圖的繪制思路是什么？2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述則其狀態圖為質量系統的狀態變量圖如何繪制？返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.2傳遞函數與傳遞函數陣2.2.1SISO系統2.2.2MIMO系統2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.2.1SISO系統取L氏變換得：A的特征值即為系統的極點。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.2.2MIMO系統其中：返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.3狀態空間表達式的建立（重點）2.3.1.由物理機理直接建立狀態空間表達式2.3.2根據高階微分方程求狀態空間表達式

2.3.3.根據傳遞函數求狀態空間表達式：返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述建立狀態空間表達式，首要問題是選取狀態變量。在保證狀態變量的獨立性的前提下，通常選取狀態變量采取以下三種途徑：（1）物理變量：選擇系統中貯能元件的輸出物理量作為狀態變量。（2）相變量：選擇系統的輸出及其各階導數作為狀態變量。（3）標準型變量：選擇能使狀態方程成為某種標準形式的變量作為狀態變量。(4)從數學的角度：選擇初始條件對應的變量或與其相關的變量。返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.3.1.由物理機理直接建立狀態空間表達式：對于實際的物理系統，一般情況下，獨立儲能元件的個數決定系統的階次即（狀態變量的個數）。由物理機理建立狀態空間表達式時，以取物理變量為狀態變量時，一般取儲能元件的輸出變量（特征變量）為狀態變量。狀態變量的現實性2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述表2-1:常見的主要貯能元件及其能量方程貯能元件質量(m)轉動慣量(J)電容(C)電感()彈簧(k)能量方程儲能元件的輸出量速度

(v)位移(x)角速度：ω角度：θ電壓：u電流：i位移：x能量形式動能動能電能磁能勢能2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.3.1系統如圖所示解：選擇狀態變量：根據基爾霍夫電流電壓定律得：整理得：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述狀態方程：輸出方程：由得2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述

寫成矩陣形式還可以取別的狀態變量嗎？2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述uLcu2R1RLiCi不可以選擇狀態變量體現了狀態變量的多樣性和狀態變量個數的不變性狀態變量的獨立性還可以選狀態變量為：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.3.2系統如圖輸入輸出轉動慣量，粘性摩擦常數，電磁轉矩常數，電勢常數2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述取狀態變量:由電壓定理：由轉矩平衡定律：如何選擇狀態變量？有哪些儲能元件？其輸出變量分別是什么？2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述輸出方程：狀態方程：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述寫成矩陣形式的狀態空間表達式為：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.3.3：倒立擺裝置用小車的位移和速度及擺桿偏離垂線的角度和角速度來描述系統的動態特性小球中心位置:水平方向:垂直方向:g：重力加速度小車的水平位移：y2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述考慮在垂直位置附近的線性化模型2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述線性模型只在局部有效2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述以上三例是結構和參數已知的系統建立狀態空間表達式空間模型的方法，對結構和參數未知的系統，通常通過辨識的途徑確定其數學模型，可參考系統辨識及其MATLAB仿真或相關系統辨識與參數估計的書籍。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述的情形（不含輸入的導數項）：化為能控標準型取狀態變量(相變量)：a).

2.3.2根據高階微分方程求狀態空間表達式2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述則有：即2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述寫成矩陣形式：其中：稱為友矩陣。能控標準型2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述取狀態變量：化為能觀測標準型2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述整理得：能觀標準型2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述的情形：計算：算法2（算法1見2.2.3傳遞函數轉換成狀態方程）2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述定義狀態變量:2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述寫成矩陣形式的狀態空間表達式返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.3.3.根據傳遞函數求狀態空間表達式(1)直接分解法單輸入單輸出線性定常系統傳遞函數：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述分子分母同時除以2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述對于令則有2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述對于令：分別表示2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述狀態空間表達式為：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.2.3考慮系統試寫出其能控標準型狀態空間表達式。則狀態空間表達式為：選擇狀態變量：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(2)串聯分解法2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述思路：將每個串聯環節寫成積分環節的表達式，每個積分環節的輸出為一狀態變量。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(3)并聯分解法極點兩兩相異時其中：令：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述則有：則有：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述系統的矩陣式表達：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述傳遞函數有重根時2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述對上面方程的L氏變換后得到2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例解2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.4組合系統

2.4.1并聯2.4.2反饋返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.4.1并聯系統如圖，二子系統并聯連接特點：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.4.2反饋特點：(1)

動態反饋2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述傳遞矩陣：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述(2)靜態（常數）反饋閉環系統狀態空間描述為：閉環系統傳遞矩陣為：返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.5線性變換2.5.1系統狀態的線性變換2.5.2把狀態方程變換為對角標準型2.5.3若當標準型2.5.4系統經狀態變換后特征值及傳遞函數矩陣的不變性返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.5.1狀態向量的線性變換考慮系統：取線性非奇異變換：,矩陣P非奇異2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述整理得：其中：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.5.1考慮系統取變換：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述狀態空間表達式變為：返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.5.2把狀態方程變換為對角標準型（diagonalcanonicalform

）給定系統狀態方程2）特征向量：1）特征值：，

為矩陣A的特征值。則定義2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述對角標準型：1）特征值兩兩互異2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2）存在重特征值n階系統矩陣存在m互異的特征值和n-m相同的特征值對應的特征向量線性無關，則存在非奇異變換陣P使A對角化。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2）A陣為友矩陣n階系統矩陣若A陣為友矩陣即且特征值兩兩互異，則此時化狀態方程為對角標準形的變換陣可選為范德蒙德（Vandermonde）矩陣：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述充要條件：n階系統矩陣A有n個線性無關的特征向量。化對角標準型的步驟：求取系統矩陣的個特征根和對應的特征向量令

2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.5.2將下系統化為對角標準型2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述解：1)

求系統特征根2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2)求特征向量對由得2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述對由得2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述對由得2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述3)新的狀態方程為：構成狀態轉移矩陣2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述21/s251/s21/s-1UY2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述討論（對角標準形的優越性）1)狀態解耦2)容易求矩陣指數3)容易判斷系統的可控性和可觀測性4)

容易進行結構分解

5)容易求傳遞函數6）容易判斷系統的穩定性7）當特征值中包含復數特征值時都將為復數矩陣。

結論：便于系統分析和設計返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.5.3若當標準型（Jordancanonicalform

）上若當塊下若當塊2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2）矩陣A若不能化為對角標準形，則一定能化為若當標準形。1）對角標準形是若當規范形的特殊形式2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述重特征根設矩陣具有變換化為約當標準型。可通過則稱為廣義特征向量。矩陣線性滿足是所對應的特征向量。若2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述求約當標準型的步驟：求解令

返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.5.4系統經狀態變換后特征值及傳遞函數矩陣的不變性1、特征值的不變性2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述1、傳遞函數的不變性返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.6離散時間系統狀態空間表達式離散時間系統差分方程表示：其對應脈沖傳函為：返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述1、差分方程中不包含輸入函數的差分1)選擇狀態變量2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2)把高階差分方程化為一階差分方程2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述3)向量方程控制矩陣系統矩陣輸出矩陣2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2、差分方程中包含輸入函數的差分其對應脈沖傳函為：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述定義：取：對其進行Z反變換得：

2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述寫成矩陣形式：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述化簡得：2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例2.6.1考慮離散系統試寫出其狀態空間表達式。得狀態空間表達式為：解：取Z變換得2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述MIMO離散時間系統的狀態空間表達式：返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.7用MATLAB分析狀態空間模型2.7.1傳遞函數的輸入2.7.2狀態空間模型的輸入2.7.3兩種模型間的轉換返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述考慮線性定常系統：式中u為輸入，y為輸出。該式也可寫為2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.7.1傳遞函數的輸入返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.7.2狀態空間模型的輸入返回2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述2.7.3兩種模型間的轉換1、由傳遞函數變換為狀態方程將閉環傳遞函數寫為當有了這一傳遞函數表達式后，使用如下MATLAB命令：[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述任何系統的狀態空間表達式都不是唯一的。對于同一系統，可有許多個（無窮多個）狀態空間表達式。上述MATLAB命令僅給出了一種可能的狀態空間表達式。2025年2月28日第二章控制系統的狀態空間描述例如：考慮以下傳遞函數其中的一種可能的狀態空間表達式為：2025年2月28日第二章