第五章平面向量與復數綜合測試卷（新高考專用）（考試時間：120分鐘；滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）（2024·北京大興·三模）設a，b是非零向量，“aa=bb”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（5分）（2024·西藏·模擬預測）已知復數z=2?i，則zz?zA．?12+i B．12?3．（5分）（2024·陜西安康·模擬預測）已知向量a,b為單位向量，|c|=3且a+bA．π6 B．π4 C．π34．（5分）（2024·重慶·二模）若復數z=2?a+2a?1ia∈RA．第一象限內 B．第二象限內C．第三象限內 D．第四象限內5．（5分）（2024·四川·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，E為AC中點.F為線段AD上靠近點A的四等分點，設AB=a，AD=b，則A．?14aC．?12a6．（5分）（2024·陜西商洛·模擬預測）法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發現了棣莫弗定理：設兩個復數z1=r1cosθ1+isinθ1A．?32 B．32 7．（5分）（2024·北京大興·三模）已知平面向量a=1,m，b=A．a//b B．a⊥b C．8．（5分）（2024·四川成都·模擬預測）在矩形ABCD中，AB=5,AD=4，點E是線段AB上一點，且滿足AE=4EB.在平面ABCD中，動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，則DP?AC的最大值為（A．41+4 B．41?6 C．213二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（2024·山東·模擬預測）已知向量a=1,3，bA．a?b=2 B．a與C．a⊥a+2b D．a10．（6分）（2024·山東菏澤·模擬預測）已知復數z=a+bia,b∈RA．若z為純虛數，則a+b=0B．若z是1+i1?3C．若z=1+iD．若z?i=1，則z11．（6分）（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內部（包括邊界）的動點，則（

）A．DEB．ACC．若P為EF的中點，則CP在EC上的投影向量為?D．FE+FP第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（2024·陜西安康·模擬預測）已知復數z=11?i?i（i13．（5分）（2024·湖南長沙·三模）平面向量a,b,c滿足：a⊥c，a,b=π14．（5分）（2024·天津南開·二模）已知在平行四邊形ABCD中，DE=12EC，BF=12FC，記AB=a，AD=b，用a和b四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）（2024·天津河北·模擬預測）已知向量a=3,4，b=(1)若a⊥b，求(2)若c∥a?2b，求向量16．（15分）（23-24高一下·上海松江·期末）已知i為虛數單位，復數z=m(1)當實數m取何值時，z是純虛數；(2)當m=1時，復數z是關于x的方程x2+px+q=0的一個根，求實數p與17．（15分）（2023·黑龍江大慶·二模）已知a=sin2x+1,cos2(1)若a⊥b，求(2)求fx=a18．（17分）（2024·湖南邵陽·一模）在△ABC中，內角A滿足3sin(1)求角A的大小；(2)若DC=2BD，求19．（17分）（2024·陜西·模擬預測）等邊△ABC外接圓圓心為O，半徑為2,⊙O上有點M,BM(1)若M為弧AC中點，求x+y；(2)求AM?第五章平面向量與復數綜合測試卷（新高考專用）（考試時間：120分鐘；滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）（2024·北京大興·三模）設a，b是非零向量，“aa=bb”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據向量相等、單位向量判斷條件間的推出關系，結合充分、必要性定義即知答案.【解答過程】由aa=bb表示單位向量相等，則由a=b表示a,所以“aa=b故選：B.2．（5分）（2024·西藏·模擬預測）已知復數z=2?i，則zz?zA．?12+i B．12?【解題思路】根據共軛復數和除法法則進行計算，得到答案.【解答過程】因為z=2?i，所以z所以zz?故選：A．3．（5分）（2024·陜西安康·模擬預測）已知向量a,b為單位向量，|c|=3且a+bA．π6 B．π4 C．π3【解題思路】利用轉化法求得a?【解答過程】因為向量a,b均為單位向量，即|a|=|b則a+b=?即2a?b又0≤?a,b?≤π，所以a故選：C．4．（5分）（2024·重慶·二模）若復數z=2?a+2a?1ia∈RA．第一象限內 B．第二象限內C．第三象限內 D．第四象限內【解題思路】根據純虛數的定義解出a，利用復數的幾何意義求解．【解答過程】∵復數z=(2?a)+(2a?1)i(a∈R復數z+a=3i+2在復平面上的對應點為故選：A．5．（5分）（2024·四川·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，E為AC中點.F為線段AD上靠近點A的四等分點，設AB=a，AD=b，則A．?14aC．?12a【解題思路】利用向量的線性運算可得答案.【解答過程】如圖所示，由題意可得AC=而EF=故選：C.6．（5分）（2024·陜西商洛·模擬預測）法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發現了棣莫弗定理：設兩個復數z1=r1cosθ1+isinθ1A．?32 B．32 【解題思路】變形復數z，根據題中定義進行計算，即可判定.【解答過程】z=?1所以z=cos所以z2024的虛部為3故選:B.7．（5分）（2024·北京大興·三模）已知平面向量a=1,m，b=A．a//b B．a⊥b C．【解題思路】根據向量共線的坐標表示求出參數m的值，即可判斷A；根據a?b=0及數量積的坐標表示求出m，即可判斷B；表示出a【解答過程】對于A：若a//b，則1×?2m對于B：若a⊥b，則a?對于C：因為a=1+m顯然b=2對于D：a?故選：D.8．（5分）（2024·四川成都·模擬預測）在矩形ABCD中，AB=5,AD=4，點E是線段AB上一點，且滿足AE=4EB.在平面ABCD中，動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，則DP?AC的最大值為（A．41+4 B．41?6 C．213【解題思路】建立直角坐標系，利用向量的坐標運算即可結合三角函數的性質求解.【解答過程】以E為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，故設Pcos則A0,4DP?AC=cosθ?4,故DP?AC的最大值為故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（2024·山東·模擬預測）已知向量a=1,3，bA．a?b=2 B．a與C．a⊥a+2b D．a【解題思路】利用向量的坐標運算即可，其中a+b在b上的投影向量公式為【解答過程】對于A，由向量a=1,3，b對于B，由向量的夾角公式得：，所以a與b的夾角為2π3對于C，由a+2b=1,3對于D，由a+b=1,3a+故選：CD.10．（6分）（2024·山東菏澤·模擬預測）已知復數z=a+bia,b∈RA．若z為純虛數，則a+b=0B．若z是1+i1?3C．若z=1+iD．若z?i=1，則z【解題思路】根據復數的類型求解參數的值判斷A，利用復數的除法運算及共軛復數的概念求解參數判斷B，利用復數的乘法運算求解參數判斷C，根據復數模的運算結合三角換元求解最值即可判斷D.【解答過程】對于A：復數z=a+bi的實部為a，虛部為b，若z為純虛數，則a=0故a+b=b≠0，錯誤；對于B：因為1+i1?3i=1+對于C：z=1+i1?3對于D：因為z?i=1，所以a2令a=cosθb=1+因為θ∈R，所以?1≤sinθ≤1，所以當sin此時a=cosθ=0b=1+故選：CD.11．（6分）（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內部（包括邊界）的動點，則（

）A．DEB．ACC．若P為EF的中點，則CP在EC上的投影向量為?D．FE+FP【解題思路】對于A：根據正六邊形的性質結合向量的線性運算求解；對于C：根據CE⊥EF結合投影向量的定義分析判斷；對于BD：建系，根據向量的坐標運算求解.【解答過程】對于選項A：因為DE=對于選項C：由題意可知：CE⊥EF，若P為EF的中點，所以CP在EC上的投影向量為?EC對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標系，則A?可得AC=32設Px,y，可知?1≤x≤則FE=12則FE+可知當x=12,y=32，即點P與點D故選：AD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（2024·陜西安康·模擬預測）已知復數z=11?i?i（i為虛數單位），則z【解題思路】根據復數的運算法則可得z=12?【解答過程】z=1所以z=則z的虛部為12故答案為：1213．（5分）（2024·湖南長沙·三模）平面向量a,b,c滿足：a⊥c，a,b=π3，【解題思路】結合數量積的定義和性質求出a?c、a?b和【解答過程】因為a⊥c，所以因為a=c=3，b=2，所以a?b?因為a+a+所以a+故答案為：3314．（5分）（2024·天津南開·二模）已知在平行四邊形ABCD中，DE=12EC，BF=12FC，記AB=a，AD=b，用a和b表示AE=【解題思路】對于空1，由DE=12EC得DE=13DC=13【解答過程】因為DE=12所以AE=因為BF=12所以AC=AB+故43AC=又DB=AB?故23DB=因為AE=2，AF=6所以AC·故答案為：13a+四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）（2024·天津河北·模擬預測）已知向量a=3,4，b=(1)若a⊥b，求(2)若c∥a?2b，求向量【解題思路】（1）根據向量垂直的坐標表示求x，再代入模的公式，即可求解；（2）首先根據兩向量平行求x，再代入向量夾角的余弦公式，即可求解.【解答過程】（1）由a⊥b，得3+4x=0，解得∴b=1,?（2）由題意a?2又c∥a?2b，則a?2b=1,2，∴cos即向量a?2b與a的夾角的余弦值為16．（15分）（23-24高一下·上海松江·期末）已知i為虛數單位，復數z=m(1)當實數m取何值時，z是純虛數；(2)當m=1時，復數z是關于x的方程x2+px+q=0的一個根，求實數p與【解題思路】（1）由z是純虛數得到實部為0，虛部不為0，解方程組得到m的值；（2）將z=?6+2i代入方程，實部和虛部均為0，解方程組得到p和q【解答過程】（1）由z是純虛數得m2?3m?4=0m所以當m=4時，z是純虛數.（2）當m=1時，z=?6+2i因為z是關于x的方程x2+px+q=0的一個根，所以即?6+2i2+p所以32?6p+q=02p?24=0，解得p=1217．（15分）（2023·黑龍江大慶·二模）已知a=sin2x+1,cos2(1)若a⊥b，求(2)求fx=a【解題思路】（1）由平面向量的數量積為0可得2sin2x?π4=0（2）fx=?2【解答過程】（1）a=sin