-2025學年北師大版七年級數學下學期壓軸拔高卷一、解答題1．【問題初探】（1）在數學活動課上，張老師提出如下問題，如圖1，三角形和，，，求證：．①小創同學從“內錯角相等，兩直線平行”出發，延長交于點，將問題轉化為證明．②小新同學從“同旁內角互補，兩直線平行”出發，連接，將問題轉化為證．請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程；也可以利用圖1用不同于上面兩位同學的方法進行解答．【變式探究】（2）張老師發現之前兩名同學都是在兩條平行線間搭建“截線”，將問題轉化，為了幫助學生更好地感悟轉化思想，張老師接著提出如下問題，請你解答．如圖4，，點，分別在直線和上，，點在上，，平分，求證：．【拓展延伸】（3）如圖5，，平分，，．若平面內有一點，且，，請用含有的式子直接寫出的度數．2．【問題背景】同學們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發現一個我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系．(1)如圖①，，E為AB，CD之間一點，連接，DE，得到．試探究與、之間的數量關系，并說明理由．(2)【類比探究】請你利用上述“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，已知，，點E在上，，請你說明；（把下面的解答補充完整）解：因為所以（

）因為（

）又因為所以（

）即所以由（1）知∴(3)【拓展延伸】如圖3，平分，平分，．若，請直接寫出的度數為．3、問題情境：如圖1，是一副三角尺，三角尺中，，三角尺中，∠D＝90°，．數學活動課上，同學們用一副三角尺展開了探究活動，同學們發現可以用平行線的知識計算三角尺擺放過程中出現的一些角度，和探究一些角之間的數量關系．

已知：直線．（1）如圖2，若三角尺按如圖2擺放，當平分時，求的度數．智慧小組的解法如下：解：過點作．．

（依據1）平分又（依據2）反思交流：上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：依據1：；依據2：；問題拓展：（2）如圖3，若三角尺，三角尺按如圖3擺放，求的度數；問題探究：（3）如圖4，若將圖3中三角尺固定，三角尺中的點位置不動，重新擺放三角尺，當線段與三角尺的直角邊平行時，請直接寫出的度數．4．數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣，一個問題：如圖1：在△ABC中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．【問題初探】：第一小組經過合作交流，得到如下解決方法：如圖2延長至E．使得，連接．利用三角形全等將線段轉移到線段，這樣就把線段，，集中到中．利用三角形三邊的關系即可得到中線的取值范圍，第二小組經過合作交流，得到另一種解決方法：如圖3過點B作的平行線交的延長線于點F，利用三角形全等將線段轉移到，同樣就把線段，，集中到中，利用三角形三邊的關系即可得到中線的取值范圍．（1）請你選擇一個小組的解題思路．寫出證明過程【方法感悟】當條件中出現“中點”“中線”等條件時，可考慮將中線延長一倍或者作一條邊的平行線．構造出“平行八字型”全等三角形；這樣就把分散的已知條件和所證的結論集中到一個三角形中，順利解決問題【類比分析】（2）如圖4：在△ABC中，∠B＝90°，，是的中線，，且．求的長度．【思維拓展】（3）如圖5：在△ABC中，于點F在右側作，且，在的左側作，且，連接，延長交于點O，證明O為中點．5．【背景】在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種，分別是平行和相交，在相交這種位置關系中，包括垂直這種特殊位置關系．【應用】（1）如圖1，，，分別在，上，平分交于點，為點右側的直線上一點，平分交于點．①當，，求和的度數；②如圖2，過點作，垂足為，設度，度，請求出與的關系式；【拓展】（2）中歐班列是高質量共建一帶一路的互聯互通大動脈，中歐班列為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了，兩座可旋轉探照燈．如圖，假定主道路是平行的，即．連結AB，且．燈發出的射線自順時針旋轉至便立即回轉，燈發出的射線BD自BM順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．燈轉動的速度是度秒，燈轉動的速度是度秒．若它們同時開始轉動，設轉動時間為秒，當燈射線從轉至AB的過程中，與BD互相垂直時，請求出此時的值．6．【閱讀理解】我們經常過某個點作已知直線的平行線，以便利用平行線的性質來解決問題．例如：如圖1，，點、分別在直線、上，點在直線、之間，設，，求證：．證明：如圖2，過點作，∴，∵，，∴，∴，∴．即．可以運用以上結論解答下列問題：【類比應用】(1)如圖3，已知，已知，，求的度數；(2)如圖4，已知，點在直線上，點在直線上方，連接、．設、，則、、之間有何數量關系？請說明理由．【拓展應用】(3)如圖5，已知，點在直線上，點在直線上方，連接、，的角平分線與的角平分線所在直線交于點，求的度數．7．【問題初探】數學課上，老師和學生做數學書39頁的做一做的內容如圖，打臺球時，選擇適當的方向擊打白球，白球反彈后擊打紅球，紅球會直接入袋，此時，，.（1）若，則______；（2）的余角是______；（3）與的數量關系是______，依據是__________________；（4）圖中互余的角有______對，互補的角有______對；【類比探究】（5）如圖，在長方形的臺球桌面上，選擇適當的角度打擊白球，可以使白球經過兩次反彈后將黑球直接撞入袋中，此時，，并且，；如果黑球與洞口的連線和臺球桌面邊緣的夾角，那么______度才能保證黑球準確入袋；【學科融合】（6）小明提出新的問題情境，在物理學中，光的反射跟臺球的運動軌跡相似.光線反射時，反射光線、入射光線和法線在同一平面內，反射光線、入射光線分別在法線兩側，反射光線與法線的夾角（反射角）等于入射光線與法線的夾角（入射角）；如圖①，為一鏡面，為入射光線，入射點為點，為法線（過入射點且垂直于鏡面的直線），為反射光線，此時反射角等于入射角．現有一激光反光裝置，、是兩塊可以分別繞、兩點轉動的鏡面，點是激光發射裝置．由點發出的激光照射在點和點處，、是兩束反射光線．、處于同一水平高度，已知入射光線和與水平線的夾角分別是和，鏡面與立桿的夾角，則反射光線與水平面夾角______°；通過調節的角度，當______°時，反射光線和平行．8．【動手操作】在數學活動課上，范老師引導同學們探究畫平行線的方法，小明經過折紙等動手操作，探究出一種畫平行線的方法：步驟一：如圖1，在紙上畫出直線與交于點，在線段上取點，過點折疊紙片，使折痕交于點，點在線段的延長線上．步驟二：用量角器測量出和的度數，計算．步驟三：再以點為頂點畫出，點在點的右側，就得到直線．（1）如圖1，，求證：．【問題初探】小明繼續折紙操作，探究與的數量關系：步驟四：如圖2，再次將紙折疊兩次，使與重合，與重合，折痕直線，交于點．（2）如圖2，猜想與的數量關系，并證明．【類比探究】（3）①小明發現按照步驟一操作時，將“在線段上取點，點在線段的延長線上”改為“在線段的延長線上取點，且點在線段上”，其他條件不變；再按照步驟二、三進行操作，他發現若點的位置發生改變，，，的數量關系也發生改變，仍能畫出直線．請畫出圖形，直接寫出當，，滿足什么數量關系時，直線．②如圖3，在步驟四的操作中，過點分別折疊，使折痕分別落在和中，且交于點，若，，請直接寫出與的數量關系．（用含有的代數式表示）9．綜合與實踐問題情境：如圖1是一副三角尺，在三角尺中，，在三角尺中，，．數學活動課上，同學們用一副三角尺展開了探究活動，同學們發現可以用平行線的知識計算三角尺擺放過程中出現的一些角度，和探究一些角之間的數量關系．

如圖，將一副三角尺如圖擺放，使點與點重合，點在上，與相交于點，求的度數．

智慧小組的解法如下：解：如圖2，過點作．∵，∴（依據1）．∵，∴．又，∴（依據2）．∴．∴．反思交流：(1)上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：依據1：_________________________________________________________；依據2：_________________________________________________________；(2)如圖，將兩個三角尺如圖擺放，使點與點重合，點在上，點在上，與相交于點，請用平行線的知識求的度數；

(3)如圖，將三角尺的直角頂點放在直線上，使，三角尺的頂點也在直線上，與相交于點，當時，探究與的位置關系，并證明．

10．閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．數學課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點分別在上，．求的度數．同學們經過思考后，小明、小偉、小華三位同學用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過作平行線，發現，由已知可以求出的度數．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經過推理，得也能求出的度數．”小華：“∵如圖4，也能求出的度數．”(1)請你根據小明同學所畫的圖形(圖2)，描述小明同學輔助線的做法，輔助線：______；(2)請你根據以上同學所畫的圖形，直接寫出的度數為_________°；老師：“這三位同學解法的共同點，都是過一點作平行線來解決問題，這個方法可以推廣．”請大家參考這三位同學的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：(3)如圖，，點分別在上，平分若請探究與的數量關系（(用含的式子表示)，并驗證你的結論．11．問題情境：已知：，于點，，點在直線上，點，在直線的同側．（）如圖，過點作于點，則與的數量關系是______，此時，，之間的數量關系是______．探究證明：（）如圖，在直線上取點，使，猜想與的數量關系，并說明理由．拓展延伸：（）在直線任取一點，連接，以點為直角頂點作等腰直角三角形，作于點，寫出在圖，圖中，，之間的數量關系，并說明理由．12．在中，，，點O是的中點，點P是直線上的一個動點（點P不與點C、O、B重合），過點P的直線經過點A，過點C作于點E，過點B作于點F，連接．

【問題探究】如圖1，當P點在線段上運動時，延長交于點G．（1）求證：；（2）線段與相等嗎？請說明理由．【拓展延伸】（3）如圖2，當P點在線段上運動，的延長線與的延長線交于點G，通過分析發現的大小是一個定值，請直接寫出的度數：（4）的延長線交直線于點G，若，，則的面積為__________．13．數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，，，是的中點，求邊上的中線的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長到點，使，連接．根據________可以判定________，得出________．這樣就能把線段，，集中在中．利用三角形三邊的關系，即可得出中線的取值范圍是________．【方法感悟】當條件中出現“中點”，“中線”等條件時，可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中，使問題解決．【問題解決】（2）如圖，在△ABC中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于點，求證：．【拓展應用】（3）如圖3，△ABC中，∠B＝90°，，是△ABC的中線，，，且，直接寫出的長．14．【方法回顧】在學習整式的乘法時，我們曾用兩種不同的方法，表示同一個長方形的面積，進而得到單項式與多項式相乘的法則，也曾經用兩種不同的方法，表示同一個正方形的面積來驗證和解釋乘法公式，我們將這種方法稱為“等積法”．它的基本思想是：將同一個量從兩個不同角度計算兩次，我們常用“等積法”列出等量關系、求線段長度或線段之間的數量關系．【方法應用】（1）如圖1，正方形是由長為，寬為的4個全等小長方形拼擺而成的，我們可以利用該正方形面積的不同表示方法驗證一個與完全平方公式相關的等量關系，請你寫出這個等量關系；【方法遷移】（2）如圖2，長方形是由8個長為，寬為的全等的小長方形拼擺而成的，請你根據“等積法”計算兩次的基本思想，解答下列問題：①求a，b之間的數量關系；②若長方形的寬，求小長方形的面積．【拓展應用】（3）如圖3，在△ABC中，是△ABC三條角平分線的交點，求點到邊的距離．15．請閱讀下列材料，完成相應的任務．【認識“倍長”】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常采用倍長中線法添加輔助線．所謂倍長中線法，即延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，以便構造全等三角形、從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的一種方法．如圖1，在中，是邊上的中線，延長到點．使．連接，易證（依據），進一步可得到等結論．任務：（1）上述材料中的依據是_____________；（2）如圖2，在△ABC中，是邊上的中線，是上一點，延長交于點，求證：．【啟發拓展】如圖3，愛思考的小軒受到啟發，把和邊的中點和連接起來，得到線段，線段叫做三角形的中位線．下面是小軒的證明方法：延長到點，使，連接易證，得到，即，進而得到，因此可知，最終得到．通過推理，小軒總結得到這樣的結論：如果點和點分別為和邊中點，那么是△ABC的中位線，且．“幾何語言”：和分別為和的中點是△ABC的中位線．【舊知新論】已知△ABC和，，，，連接和，點是線段的中點，連接交于點．請直接應用【啟發拓展】中的結論，合理猜想與的數量關系？并證明你的結論．16．【問題背景】在四邊形中，，，，分別是、上的點，且，試探究圖中線段、、之間的數量關系．【初步探索】小亮同學認為：延長到點，使，連接，先證明，再證明，則可得到、、之間的數量關系是______．【探索延伸】在四邊形中如圖，，，分別是、上的點，，上述結論是否仍然成立？說明理由．【結論運用】如圖，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以海里小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東的方向以海里小時的速度，前進小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達，處，且兩艦艇之間的夾角為，此時兩艦艇之間的距離是______海里．若此時兩個艦艇，同時接到命令，都以海里小時的速度前進并盡快匯合，最短需要______小時．17．某校項目式學習小組開展項目活動，過程如下：項目主題：測量某水潭的寬度．問題驅動：能利用哪些數學原理來測量水潭的寬度？組內探究：由于水潭中間不易到達，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬紙板，米尺，測角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機，確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進行實地測量，并得到具體數據，從而計算水潭的寬度．成果展示：下面是同學們進行交流展示時的兩種測量方案：方案方案①方案②測量示意圖圖①圖②測量說明如圖①，測量員在地面上找一點C，在連線的中點D處做好標記，從點C出發，沿著與平行的直線向前走到點E處，使得點E與點A、D在一條直線上，測出的長度如圖②，測量員在地面上找一點C，沿著向前走到點D處，使得，沿著向前走到點E處，使得，測出D、E兩點之間的距離測量結果，，，，請你選擇上述兩種方案中的一種，計算水潭的寬度．18．問題發現：學習三角形全等的知識時，小明發現重合兩個等腰直角三角形的頂點會產生一對新的全等三角形．如圖1，中，，，點在邊上，連接，以為邊作△ADE，使，，請連接圖中標有字母的點，補全圖形，直接寫出一對全等三角形和的度數．問題探究：小明想，如果將上圖中的等腰直角三角形換成等邊三角形，那么這組全等三角形是否還存在？如圖2，△ABC和△ADE是等邊三角形，點，，在同一直線．（1）證明：．（2）探索線段，，三者間的數量關系，寫出結論并說明理由．問題拓展：經過上面的探究，小明聯想到幾天前一道不會的題，請你幫小明再想一想，是否有新的發現．如圖3，邊長為的等邊△ABC中，D是中點，，是線段上一動點，連接，在右側作等邊，連接，求周長的最小值（用含，的代數式表示），并直接寫出取最小值時的度數．

19．【操作發現，激發興趣】如圖1，把兩個大小不同的等腰直角三角形紙板△ABC和如圖放置，連接．我們發現：和的關系是______．【猜想論證，深入再探】如圖2，將繞著點旋轉．①以上發現是否依然成立？若成立，請借助圖2證明；若不成立，請說明理由；②在旋轉過程中，始終有______（填“”或“”或“”），請說明理由．【拓展探究，特殊位置】如圖3，將沿著直線水平移動得到，點在平行于的直線上，所在的直線與所在的直線相交于點，連接、，與的延長線相交于點.在水平移動過程中，若，在備用圖中用無刻度的直尺和圓規畫出點，補全圖形并證明此時．20、按照下列要求作圖．（保留作圖痕跡）(1)【“兩定一動”型（同側）】如圖，已知點，在直線同側，在直線上求作一點，使最短；(2)(3)(4)【“一定兩動”型】如圖，內有一點，分別在，邊上各取一點，使的周長最小；(5)【“兩定兩動”型（異側）】如圖，，是兩個村莊，中間有一條河，現準備在河上造一座橋，使得通過橋到兩村的距離和最短；（假定河的兩岸是平行線，橋要與河岸垂直）(6)(7)(8)【“兩定兩動”型（同側）】如圖，的長度為定值，在直線上分別取點，，使，連接，，當最小時，求點，的位置．21、探究（一）如圖①，為了支持山莊經濟開發，政府派出免費車為山莊A和山莊B向山外運農產品，免費車只能在公路l上行駛，你認為停在哪里，到兩村莊距離相等？請通過尺規作圖表達你的觀點．

探究（二）如圖②，為了支持山莊經濟開發，政府派出免費車為山莊A和山莊B向山外運農產品，免費車只能在公路l上行駛，你認為停在哪里，到兩村莊距離和最短？請借助刻度尺、直角三角板或圓規等，通過畫圖表達你的觀點；也可以文字敘述你的做法．探究（三）如圖③，為了支持山莊經濟開發，政府派出免費車為山莊A和山莊B向山外運農產品，免費車只能在公路l上行駛，你認為停在哪里，最大？請借助刻度尺、直角三角板或圓規等，通過畫圖表達你的觀點；也可以文字敘述你的做法．

拓展應用如圖④，△ABC中，，，，E是的中點，P是邊上的一動點，則的最小值為___________；22、【背景材料】對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現，常被用于建筑、器物、繪畫、標識等作品的設計上，比如圖1．同時，對稱在解決生活中的實際問題時，也往往有很大的作用．【問題提出】某小區要在街道旁修建一個奶站，向居民區A，B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？該問題給牛奶公司造成了困擾，現向居民們征求意見．【問題解決】小明同學將小區和街道抽象出的平面圖形，并用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖2，作A關于直線m的對稱點，連接與直線m交于點C，點C就是所求的位置．（1）請你在下列閱讀、應用的過程中，完成解答并填空：證明：如圖3，在直線m上另取任一點D，連結，，，∵直線m是點A，的對稱軸，點C，D在m上，∴，，∴．在中，∵，∴．∴，即最小．（2）如圖4，在等邊中，E是上的點，是的平分線，P是上的點，若，則的最小值為．【拓展應用】（3）“龍舟水”來勢洶洶，深圳“雨雨雨”模式開啟，深圳某學校的志愿者們在查閱地圖后，畫出了平面示意圖5．其中，點A表示龍潭公園，點B表示寶能廣場，點C表示萬科里，點D表示萬科廣場，點E表示龍城廣場地鐵站．如圖6，志愿者計劃在B寶能廣場和D萬科廣場之間擺放一批共享雨傘，使得共享雨傘的位置到B寶能廣場、C萬科里、D萬科廣場和E龍城廣場地鐵站的距離的和最小．若點A與點C關于對稱，請你用尺子在上畫出“共享雨傘”的具體擺放位置(用點G表示)．1．（1）見解析

（2）見解析

（3）或【難度】0.65【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線判定與性質證明【分析】本題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義，作輔助線構造平行線轉化角是解題的關鍵．（1）利用平行線的性質解題即可；（2）延長交于點Q，利用平行線的判定和性質得到，然后根據角平分線的定義證明即可；（3）過點E作，則可根據平行線的判定和性質得到，即可得到，然后分兩種情況作圖計算即可．【詳解】（1）證明：①如圖2，延長交于點，，，，，；②如圖3，連接，，，即，，即，；（2）延長交于點Q，，，，，，，，，，平分，，；（3）解：∵，∴，又∵平分，∴，過點E作，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，如圖，當點在下方時，∵，∴∠HEF=90°，∴；如圖，當點在上方時，∵，∴∠HEF=90°，∴；綜上所述，的度數為或．2．（1）依據1：兩直線平行，內錯角相等；依據2：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）；（3）【難度】0.65【知識點】兩直線平行同位角相等、兩直線平行內錯角相等、平行公理的應用、兩直線平行同旁內角互補【分析】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．（1）利用平行線的性質與性質判斷即可；（2）過點作，如圖所示，利用兩直線平行內錯角相等求出，再求出，再根據同旁內角互補求解即可；（3）分在直線上方和下方兩種情形討論求解即可．【詳解】解：（1）依據1：兩直線平行，內錯角相等；依據2：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行．故答案為：兩直線平行，內錯角相等；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行；（2）過點作，如圖，

∴∵∴∴∵∴∵∴即又∴∴；（3）①在直線上方時，當時，設與交于點，延長，交于點如圖，

由（2）知∵∴∵，∴又∴∴∴∴又；當時，延長交于點，延長交于點，如圖，

則∵∴又∴∴；②當在直線下方時，當時，延長，交于點，如圖，

∵∴∵∴∴∴∴∴∵∴；當時，延長交于點，如圖，

則又∵∴∴，綜上，的度數為：3．(1)，理由見解析(2)見解析(3)【難度】0.65【知識點】根據平行線的性質探究角的關系、角平分線的有關計算、與余角、補角有關的計算【分析】（1）過點E作，根據平行線的性質求解即可；（2）根據平行線的性質和判定求解即可；（3）根據平行線的性質得出，再由角平分線及（1）中結論求解即可．【詳解】（1），理由如下：過點E作，如圖：∵，∴，∴，∴，即；（2）因為所以（兩直線平行，同旁內角互補）因為（平角的定義）又因為所以（等角的補角相等）即所以有由（1）知：所以．（3）∵∴，∵即，∴由（1）可知，，∵平分，平分，∴，又∵，∴∴，∵∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查平行線的判定和性質，角平分線的計算，理解題意，熟練掌握運用平行線的判定和性質是解題關鍵．4．（1）見解析（2）16（3）見解析【難度】0.4【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、兩直線平行內錯角相等、確定第三邊的取值范圍【分析】（1）選擇第一個小組的解題思路：延長到點，使，證明，得到，再根據在中，，即，求解即可；選擇第二個小組的解題思路：過點B作的平行線交的延長線于點F，先證明，得到，，則，再根據在中，，即，求解即可；（2）延長到點F，使，連接，先證明，得到，，再證明E、C、F三點共線，得到，然后證明，得到解決問題；（3）過點E作交延長線于M，先證明，得到，再證明，得到，即可得出結論．【詳解】解：（1）選擇第一個小組的解題思路：如圖2，延長到點，使，是的中點，，，，，中，，，；選擇第二個小組的解題思路：如圖3，過點B作的平行線交的延長線于點F，是的中點，，，，，∴，∴，，∴，在中，，，；（2）延長到點F，使，連接，如圖4，∵是的中點，，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴E、C、F三點共線，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）證明：過點E作交延長線于M，如圖4，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴O為中點．【點睛】本題考查三角形三邊的關系，全等三角形的判定與性質，余角的性質，平行線的性質，熟練掌握倍長中線，構造出“平行八字型”全等三角形是解題的關鍵．5．（1）①，；②y=2x；（2）【難度】0.4【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線的性質求角的度數、幾何問題(一元一次方程的應用)、垂線的定義理解【分析】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，垂直的定義；（1）①根據平行線的性質可得，，進而可得，根據角平分線的定義可得，求得②設，，根據角平分線的定義，以及垂直的定義，得出y=2x；（2）分三種情況討論，①當BD，未相遇時，設射線交于點，射線BD交于點，②當返回時，③當BD第次從出發，與垂直時，根據題意列出一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】解：（1）①，平分，，．．又平分，②平分，平分．，設，；，則，（）①當BD，未相遇時，設射線交于點，射線BD交于點，與BD互相垂直時，解得：②如圖所示，當返回時，解得：③當BD第次從出發，與垂直時，如圖所示，解得：綜上所述，時，與BD互相垂直6．(1)(2)，理由見解析(3)【難度】0.65【知識點】根據平行線的性質求角的度數、角平分線的有關計算、平行公理推論的應用【分析】（1）過點作，先根據平行線的性質可得，再根據平行公理推論可得，根據平行線的性質可得，然后根據角的和差即可得；（2）過點作，先根據平行線的性質可得，再根據平行公理推論可得，根據平行線的性質可得，然后根據角的和差即可得；（3）設，，先根據角平分線的定義可得，，再根據（2）的結論可得，根據材料的結論可得，然后代入計算即可得．【詳解】（1）解：如圖，過點作，∴，∵，，∴，∴，∴，即．（2）解：，理由如下：如圖，過點作，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，即．（3）解：設，，∵平分，平分，∴，，∴，由（2）可知，，由材料的結論可知，，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質、平行公理推論、角平分線的定義等知識點，添加輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．7．（1）30；（2），；（3）相等，等角的補角相等；（4）4，4；（5）40；（6）；【難度】0.65【知識點】根據平行線判定與性質求角度、同(等)角的余(補)角相等的應用【分析】此題主要考查了平行線的性質，理解反射角等于入射角，準確識圖，熟練掌握平行線的性質及角度的計算是解決問題的關鍵．問題初探：（1）（2）（3）（4）根據余角和補角的概念，結合圖形解答即可；類比探究：（5）根據兩直線平行，內錯角相等可得，再求出，然后求出，即可得到的度數；（6）過點作，過點作，依題意得，，，，，則，再由，得，再根據可得，進而得，據此可得的度數；設，則，進而得，則，然后根據得，則，由此解出即可得的度數．【詳解】解：問題初探：由題意得，，，，（1）若，則；故答案為：30；（2）的余角是：，；故答案為：，；（3）與的數量關系是相等，依據是等角的補角相等；故答案為：相等，等角的補角相等；（4）圖中互余的角有______對，互補的角有______對.和、和、和、和互為余角，和、和、和、和互為補角．∴圖中互余的角有4對，互補的角有4對；故答案為：4，4；類比探究：（5）如圖，過點作，由題意可得：，，，，，，．答：等于40度時，才能保證黑球能直接入袋．故答案為：40；（6）過點作，過點作，如圖所示：根據反射角等于入射角得：，，依題意得：，，，，，，，，，，，，，，，；設，則，，，，，，當時，，，．即．故答案為：；．8．（1）見解析；（2）猜想：，證明見解析；（3）①或；②【難度】0.65【知識點】根據平行線的性質探究角的關系、三角形的外角的定義及性質、折疊問題【分析】（1）由三角形外角的定義及性質結合已知推出，即可得證；（2）由折疊的性質可得：，由平行線的性質可得，根據三角形外角的定義及性質即可得出答案；（3）①由三角形內角和定理結合鄰補角即可得出答案；②由平行線的性質可得，由，結合三角形外角的定義及性質分別表示出與，即可得解．【詳解】（1）證明：，，，；（2）解：，證明如下：由折疊的性質可得：，由（1）可得，，，，；（3）①關系為：或，證明如下：根據題意畫出圖如圖所示：，由題意得：，，，，，；②由（1）可得，，，，，．【點睛】本題考查了三角形外角的定義及性質、三角形內角和定理、平行線的判定與性質、折疊的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．9．(1)兩直線平行，內錯角相等；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行(2)；(3)，理由見解析【難度】0.65【知識點】根據平行線判定與性質證明【分析】（1）根據平行線的性質解答即可；（2）過點作，根據兩直線平行，內錯角相等求解即可；（3）過點作，根據兩直線平行，內錯角相等求解即可．【詳解】（1）解：依據1：兩直線平行，內錯角相等；依據2：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行；（2）解：如圖，過點作．

∴．∴；（3）解：．證明：如圖，過點作，則．

∵，∴，．∴．∵，且，∴．∵，∴．∴．∴．∴．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵．平行線的性質：①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內錯角相等，③兩直線平行同旁內角互補．在運用平行線的性質定理時，一定要找準同位角，內錯角和同旁內角．10．（1）過點作；（2）30；（3）．【難度】0.65【知識點】兩直線平行同位角相等【分析】（1）根據圖中所畫虛線的位置解答即可；（2）過點作，根據平行線的性質可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進而可得答案；（3）設，過點作，根據平行線的性質可得，，進而根據角的和差關系即可得答案．【詳解】（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學輔助線的做法為過點作，故答案為：過點作（2）如圖2，過點作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案為：30（3）如圖，設，過點作，∵，即．【點睛】本題考查平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．11．（1），；（2）；（3）；．【難度】0.4【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據三線合一證明、同(等)角的余(補)角相等的應用【分析】（）由余角性質可得，進而由即可證明，得到，進而得到，，據此可得；（）過點作于點，如圖，同理（）可得，得到，由等腰三角形三線合一得到，即得；（）如圖，作于點，作，作于點，作于點，可得四邊形和四邊形是長方形，得到，，同理（）可得，，得到，，即得，進而得到；如圖，作于點，同理（）得到，，即得，，進而可得；本題考查了余角性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：（）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，即，故答案為：，；（），理由如下：過點作于點，如圖，同理（）可得，∴，∵，，∴，∴；（）如圖，作于點，作，作于點，作于點，則四邊形和四邊形是長方形，∴，，同理（）可得，，∴，，∴，∴，即；如圖，作于點，同理（）可得，，∴，，∴，即．12．（1）見解析；（2），理由見解析；（3）；（4）9或25【難度】0.4【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質和判定【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于壓軸題．（1）根據證明三角形全等即可；（2）結論：，證明，推出，利用全等三角形的性質證明即可；（3）結論．證明是等腰直角三角形，可得結論；（4）分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，在和中，，；（2）解：，理由：，，，，是的中點，，在和中，，，，，，．（3）解：①同（1）可證，，，，，，，，，，，，，，，，即，，；②當P點在線段上運動時，延長交于點G．∵由（1）知，，∴，，∴由（2）知，∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；當P點在線段的延長線上運動時，延長交于點G．同理可得，，則的面積為9或25．13．（1）；（2）詳見解析；（3）8【難度】0.4【知識點】倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)、三角形三邊關系的應用、全等三角形綜合問題、線段垂直平分線的性質【分析】本題是三角形的綜合題和倍長中線問題，考查的是全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，并運用類比的方法解決問題．（1）延長到點，使，根據定理證明，可得結論；（2）根據點是的中點，延長到點，得到，利用全等三角形的對應角相等，對應邊相等進行等量代換，得到中的兩個角相等，然后用等角對等邊證明等于．（3）延長交于，證明，則，所以，根據線段垂直平分線的性質可得的長．【詳解】（1）解：如圖1，延長到點，使，∵是的中點，，，，，在中，，，，故答案為：；（2）證明：如圖，延長到點，使得，連接．∵是邊上的中線(已知)，∴，在和中，，，又，，，，，即：，．（3）解：如圖3，延長交于點，∵，∴，∴，∵是中線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴．14．（1）；（2）①；②；（3）2【難度】0.65【知識點】多項式乘多項式與圖形面積、角平分線的性質定理、完全平方公式在幾何圖形中的應用【分析】本題主要考查了整式混合運算的應用，三角形面積的計算，角平分線的性質，解題的關鍵是數形結合熟練掌握整式混合運算法則．（1）根據正方形的面積公式和大正方形可以看作四個長方形和中間一個小正方形面積之和，得出等量關系即可；（2）①用兩種方法表示長方形的面積，得出等式，即可得出a，b之間的數量關系；②根據長方形的寬得出，結合，求出a、b的值，然后得出小長方形的面積即可；（3）設點到邊的距離為h，根據點P是三條角平分線的交點，得出點P到邊的距離為h，到邊的距離為h，求出，根據得出，求出h即可．【詳解】解：（1）大正方形的邊長為：，面積為；小正方形的邊長為，面積為，4個長方形的面積之和為，∴；（2）①∵長方形的面積為：，小長方形面積為，∴，即，∴，即，∵，∴，∴；②∵，∴，∴，解得：，∴，∴小長方形的面積為；（3）設點到邊的距離為h，∵點P是三條角平分線的交點，∴點P到邊的距離，到邊的距離都等于點到邊的距離，即點P到邊的距離為h，到邊的距離為h，∵在中，，∴，∵，∴，解得：，即點到邊的距離為2．15．（1）（2）見解析（3），證明見解析【難度】0.4【知識點】線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質和判定、全等三角形綜合問題【分析】（1）根據題意，證明即可得解；（2）延長到點．使．連接，證明．利用等腰三角形的判定和性質證明即可．（3）延長到點．使．連接，構造運用三角形中位線定理，證明即可．【詳解】（1）∵是邊上的中線，∴．∵．∵，∴，∴，，∴．故答案為：．（2）延長到點．使．連接，∵是邊上的中線，∴．∵．∵，∴，∴，，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．（3）．理由如下：延長到點．使．連接，∵是的中點，∴，∵，，∴直線是線段的垂直平分線，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，三角形中位線定理的應用，平行線的判定和應用，熟練掌握三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，三角形中位線定理的應用是解題的關鍵．16．初步探索：；探索延伸：結論仍然成立，理由見解析；結論運用：，．【難度】0.65【知識點】全等三角形綜合問題【分析】【初步探索】延長到，使連接，先證明，再證明則可得到結論；【探索延伸】延長到，使，連接，證明，再證明則可得到結論；【結論運用】連接，延長交于點，利用已知條件得到四邊形中，且符合具備的條件,則；本題主要考查了四邊形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵．【詳解】【初步探索】延長到，使連接，如圖，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，故答案為：；【探索延伸】結論仍然成立：，證明：延長到，使，連接，如圖，∵，，∴，在△ABE和△ADG中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；【結論運用】連接，延長交于點，如圖，∵，，∴，∵，，∴四邊形中，，且∴四邊形符合探索延伸中的條件，∴結論成立，即（海里），此時兩個艦艇，同時接到命令，都以海里小時的速度前進并盡快匯合，最短需要（小時），故答案為：；．17．見解析【難度】0.85【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查的是全等三角形的應用，熟記全等三角形的判定方法與全等三角形的性質是解本題的關鍵；選擇方案①：先證明，結合，，可得，再利用全等三角形的性質可得結論；選擇方案②：直接利用證明，再利用全等三角形的性質可得結論；【詳解】解：選擇方案①；∵，∴，∵，，∴，而，∴，∴水潭的寬度為；選擇方案②：∵，，，∴，而，∴，∴水潭的寬度為；18．問題發現：，；問題探究：（1）證明見解析；（2），理由見解析；問題拓展：周長的最小值為，此時．【難度】0.4【知識點】等腰三角形的性質和判定、線段問題(軸對稱綜合題)、全等的性質和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的性質【分析】問題發現：由，，得到，可證明，推出，由中，，，可得，得到，即可求解；問題探究：（1）由和是等邊三角形，得到，，，推出，即可證明；（2）由可得，推出；問題拓展：證明，得到，由于是定值，所以為定值，在一條固定的線段上運動，延長至點，使得，推出點在線段上運動，以直線為對稱軸，作點的對稱點，得到，，根據三角形的三邊關系可得，令與交于點，則有，根據全等三角形的性質，等邊三角形的判定與性質推出，得到，可求出周長的最小值；延長交于點，由可求出此時的度數．【詳解】解：問題發現：，，，即，在和中，，，，中，，，，，；問題探究：（1）和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；（2），理由如下：，，，；問題拓展：連接CF，和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，由于是定值，所以為定值，在一條固定的線段上運動，如圖3，延長至點，使得，點在線段上運動，以直線為對稱軸，作點的對稱點，，，，令與交于點，則有，，，，，，，，，，為等邊三角形，，，，又，，；，，延長交于點，，，為等邊三角形，，，又，，，綜上所述，周長的最小值為，此時．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，軸對稱的性質，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是掌握相關的知識．19．操作發現，激發興趣：，；猜想論證，深入再探：①成立，理由見解析；拓展探究，特殊位置：見解析【難度】0.4【知識點】全等三角形綜合問題、根據旋轉的性質求解、等腰三角形的性質和判定【分析】操作發現，激發興趣：延長交于，證明，得出，，再求出，即可得證；猜想論證，深入再探：①令、交于，、交于，證明，得出，，再證明，即可得證；②作交的延長線于，交于，則，證明得出，結合，，即可得證；拓展探究，特殊位置：作的角平分線交于，證明，得出，，求出，由作圖可得：，再證明，得出，推出，即可得證．【詳解】操作發現，激發興趣：，，如圖，延長交于，，∵、都是等腰直角三角形，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；猜想論證，深入再探：①令、交于，、交于，，∵、