考研數(shù)學(xué)三行列式

1.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)四階矩陣A=[a,丫2,丫3,Y/，B=[B,y2,n，Y

其中a,B,Y29Y3，丫4均為四維列向量，且|A|=1,|B|=T,則

|A+2B|=

A.-27.

B.27.

C.81.

D.-81.

正確答案：A

參考解析：A+2B=[a+2B,3y2,3y3,3y4]

3

|A+2B|=3|a+2B,3y2,3y3,3y/

=27(|a,y2,y3,y/+|2B,y2,￥3，Yi|)

=27(|A|+|B|)=-27

2.【單項(xiàng)選擇題】

3040

2222

設(shè)行列式"""’則D的第4行各元素的余子式之和M1+M2+M13+

0-700

153-22

M&4=().

A.-28

B.28

C.14

D.-14

正確答案：A

參考解析：

設(shè)元素心的代數(shù)余子式為A,,=則

Ma+M<2++Mu

4+,W<+3

=-(-1)M41+(-1)MU+[-(-1)]MU+(-I)-4M7

=—+A?-A”+A.

3040、4cl

2222340

=0-一700=7M2i2：2=—28

-11-11I-1T1I

3.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)a]，a2,a3,3，M均是4維列向量，且4階行列式

|(ai,a2,a3,01)|=a,|(aa2,02,a3)|=b,則行列式1(a?,a2,a

19B1+B2)I=().

A.a+b

B.a-b

C.b-a

D.-(a+b)

正確答案：C

參考解析：利用行列式的性質(zhì)，有

(a.a；.aj1=I(a-a?)l+i(a3.a2a邛工)I

=-i(a?az.a,)；-I(a；.a2,a./J)!

=-a+(cna?艮，a)I=-a-\rb=b-a.

4.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)Bi,62,ai,a2,揚(yáng)是4維列向量，且|A|=|(Bi,

a1,a2,a3)|=1,|B|=|(P,,aH3a2,a3)|=3,則A+B|=().

A.15

B.16

C.31

D.32

正確答案：D

參考解析：

矩陣A+8=(4+艮,2a：?4a2,2G)，故

IA+B|=I(p+.?2q.4。"2a3〉I

=16]|(，，a]aa1+1(住，*aa)]

",.1,q

=16(p\?ai>a.a)1+—(良.a：,3a?,小)i

.23J」

=16X(1+-1-X3)=16X2=32.

5.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)3階矩陣/由最滿足A'-kA*(k>o),若

a1i=a12=a13=c>0,貝ljc=().

A.軟

回

B..；

C.&F

遍

D.k

正確答案：A

參考解析：

由|A，1=1A-=|AI?"『|=i叢，|=N|A。I，|1|=|AI,可知

AIMIA3故川—D=。,于是有|A|=?；騶A|=%又〃=★，即

a?-孫，故

=%—4)=竽HO.

AfliiAn+a12Al2+a》Ai3

于是=故A正確，

6.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A是3階可逆矩陣，A-的特征值為3,2,1,貝iJ|A|的代

數(shù)余子式之和AH+A22+A33=

().

1

A.八

B.3

1

c.2

D.1

正確答案：D

參考解析：因?yàn)榘殡S矩陣A*的主對(duì)角線元素為A”，A22,A33,所以AYA22+A33的值

等于A*的3個(gè)特征值之和，故只需求A*的3個(gè)特征值.

由A-'的特征值為3.2.1.可知4的特征值為?則

OW

A|=AlA2A3=X-yX1=

326

故A，的3個(gè)特征值分別為與=[.4—=5，4一=看,所以

AiZ入23A36

A”+A22+A33=]+4~+J=L

7.【單項(xiàng)選擇題】

OOO1

loooJ￡

IA1=1的所有代數(shù)余A子式A”之和￡=().

0100

0010

A.4

B.-4

C.1

D.-1

正確答案：B

參考解析：

44

求￡￡人,八只要求A.=(AJ…由*=!A|AL可知先求IA|和AL

由分塊矩陣求逆，得

00oirl0100

AT=1°0：0_0010

*

010；00001

0010,4000.

又1/11=(一1尸-1(按第1彳亍展開).故

A*=|A4T—4

，0—100hiA3A.

00一10/A?2A2A$2

——3

000—1113A23A|3

、一1000巾A24A.A44

所以=(-1)+(—1)+(—1)+(―1)=—4.

?1"1

8.【單項(xiàng)選擇題】

設(shè)A是3階方陣A是A的伴隨矩陣,|A|=9,則|(2A)-'-2A-|=().

1

A.

B.-2

1

C.-4

1

D.4

正確答案：C

參考解析：解法1

由A,—IAA，=5A-，則

A'-2A,

=1-4*1=(-1)3IA

1100

0220_

0033~

9

【單項(xiàng)選擇題】1004

A

48.

B

24.

c

12.

D

0.

正確答案：D

參考解析：直接按第一列展開

220100

D=1?033+4?(-1)4+,220=24-24=0

004033

10.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)a1,a2,a3,B”5都是四維列向量,且|A|=|a"

=

a2,a3,BJ=m,IB||a”a2>82,a3j=n,則|a3,a2,a1，B1+B2I為

().

A.m+n

B.m-n

C.-(m+n)

D.n-m

正確答案：D

參考解析：la?,a2,a”pi+P2|=l3,a2,aH0J+la3,a2,aup2|

|Qi,a2，a3，B11一

ai,a2,a3,32

=-|ai,a2,a3,B

-

11Iai>a2>82，a3]=nm

11.【填空題】

設(shè)A=「四，02，儡〕是三階矩陣，且IA|=4,若B=山一3儂+2圖，。2一2a3,

2a?+。3]，則B.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析:20

【解析】

由行列式性質(zhì)，找出IA|和|3|的聯(lián)系.

BI=ai-3a?+2a3，a2-2a：；,2a?+a

=ia：-2a2a-2%，5a?I

=5Iq-2a2.aza

=5Ia,a?aI=20.

或者利用分塊矩陣乘法

B=.a,-3a：+2a；<—2a3?2a:+Ch]

-10O'

=la:a]-312

.2-21.

100

12

有I8|=|AI?-312=20.

-21

2—2

12.【填空題】

,1-2

3，矩陣B滿足BA=B+2E,則「一2￡T

已知A=21

012

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正確答案：

參考解析：2

【解析】

由BA=B+2E有B(A-E)=2E.故

B.|A-E|=|2E=2」|E|=8

0-20

又IA-E|=203=4,得|B|=2.

011

.1「I

所以(7)-2B-=|3B'-2|B|B'|=|-B-'|=(-1)J|B-1|=-j,

k0一11

0k1—1

行列式，,

一11k0

13.【填空題】0k

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正確答案：

參考解析:k2(k2-4)

【解析】

將第2,3,4行加到第1行，提取k,再用行列式性質(zhì)，有

1111111

k1—101—1

10021

-1000k

1—1k2-1

6+1121=公(公一4).

11001

-1-1

一11=。,貝I］人

14.【填空題】-11入一aI

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正確答案:

參考解析：a+1或a-2

【解析】

A-a—100

原式=-12一a+11

-12\—a

=(1-a—1)「(人-a「+(久-a)—2]=0,

得入=a+l或X=a-2.

1001

,020

行列式D,=

0031

15.【填空題】1114

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正確答案：

參考解析：13

【解析】

箭形（爪形）行列式，利用主對(duì)角線元素將第4行前3個(gè)元素化為零.

1001

1001

0201

0201

D]—0031

0031

0004—1—1----

1114

=1X2X3X（4—1—----^卜

|0120

行列式2=1°2

0340

16.【填空題】300

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正確答案：

參考解析：-4

【解析】

數(shù)字型行列式，每行（列）有2個(gè)元素為0,可以直接按一行（一列）展開計(jì)算，考

慮到元素有規(guī)律，可以利用行列式的性質(zhì)，交換第1,4行，再交換第2,4

列，得

30043400

100212003H|43

D&=-—=—4

0340004312|121

01200021

a-100

0a-10

一

行列式D一=

00a-1

17.【填空題】432u4-1

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正確答案：

參考解析：a'+a,5+2a2+3a+4

【解析】

按第1列展開.

=a'+a'+2a2+3a+4.

18.【填空題】設(shè)A是n階方陣，且AA'=E,|A|<0,則|A+E1=

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正確答案：

參考解析：0

【解析】

將A+E變成矩陣乘積的形式，

|A+E|=|A+|=|A(E+AD|=|A||￡+ATI

=|AII￡T+AT|=(A11(E+A)T|=|AIIE+AI，

故(1-IAI)|A+E|=0,由|A|V0,知1一|A|〉0,所以|A+E|=0.

19.【填空題】設(shè)A是n階方陣，E是n階單位矩陣.且A?=A,AWE,貝ij

IA|=-

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正確答案：

參考解析：0

【解析】

解法I利用矩陣的秩.

由M=A，可知A(A-E)=0.故

r(A)+r(A-E)《兒

又A-ErO,知r(A-E)》l,從而r(A)O,于是|A1=0.

解法2利用齊次線性方程縱

由A(A-E)=0,知A-E的列向量組是Ax=O的解.又A-E#。,知阻=0有非

零解，故IA1=0.

20.【填空題】設(shè)A,B均為n階方陣,且|A|=|B|=|A1B|=2,則|A+B

11=?

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正確答案：

參考解析：2

【解析】

IA+bI|=1E4+5I1=13U+夕|I

=|B1||B.4+E|=|B1|34+A】A|

=1B1||B+A]||A|=jX2X2=2.

21.【填空題】設(shè)|A|=2,|B|=-2.其中A,B均為n階方陣,則lA-EWB

'1=_____

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正確答案：

參考解析：(-4嚴(yán)

【解析】

因?yàn)锳A-1：2AJ,夕-2BL所以

\ABAB'A'2AlB1|

|=(-4)"|AI-1-IB

=(-4)"?y.(--1)=(-4)1.

22.【填空題】設(shè)3階方陣A=(ai,a2,a3).B=(3a-a2,3a2-2a),2a3-

a-2a2),且|B|=14,則|A|=.

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正確答案:

參考解析：1

【解析】

，3-2-r

由3=(a].02)—13—2,知

002

3-2-1

B=|(回a<a3)I—13-214=14.

002

故|A|=L

23.【填空題】設(shè)A=(aGnxn為n階方陣|A|=1.且A的每列元素之和均為k(kW

0)，則A的代數(shù)余子式之和AH+A12+-+Aln=

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正確答案：

參考解析：了’

【解析】

依題意，由AA*=|A|E,得

k111

a*2

按第一行展開

，——--,=履A”+Ai2+…+Al”)1,

故An+A[2+,,,+A1?=-y.

24.【填空題】

A3A,；

設(shè)A.B均為"階方陣?A=6.BI=1.C=B\1，則

|(ZT)°

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正確答案：

參考解析：(T)n?62nT

而=|2B-|=2"|81=2",

13A.1=3"|A'|=3"?|A尸=3"?6^?

故IC1=(-1)/2"?3"?6i=?6?i=(一]尸.62i.

25.【填空題】設(shè)A是mXn矩陣，B是nXm矩陣，當(dāng)m>n時(shí)，1AB|=.

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正確答案：

參考解析：0

【解析】

由已知,AB是m階方陣.由r(AB)Wr(B)Wmin{m,n),故當(dāng)m>n時(shí)，有r(AB)

Wn〈m,故|AB|=0.

26.【填空題】

'ior

設(shè)A.B均為3階方陣,滿足A8-A-8=￡,若4=02。,則|B|=

-201

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正確答案:

參考解析：?

【解析】

由已知A2B-A-B=E,得(A-E)B=A+E,即(A+E)(A-E)B=A+E,而

‘2or

A+E=030,可知A+E可逆.故(A-E)8=E,兩邊取行列式,得

-202.

A-EIIB|=1.

001

而A-EI=010=2,故B=

-2001

27.【填空題】設(shè)A是3階方陣,且滿足|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0,則|2A*-

3E|=.

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正確答案：

參考解析：126

【解析】

先求出A的特征值，再求2A*-3E的特征值.

由M-E|=|(一D(E-A)|=(-1尸|E-A|=0,得|1?E-A|=O,可知;h=1

是A的一個(gè)特征值.

同理，由5+26|=|24+3初=0,得4的特征值人=-2,九=一!■,故

it

A=入山兒=3r0(A可逆).

所以A?的特征值分別為4=3,與=g與=-2,于是2A--3E

A|1A2~LLAJ

的特征值分別為

2X3-3=3,2X|-1)-3=-6,2X(-2)-3=-7,

所以12A.-3E!=3X(-6)X(-7)=126.

28.【填空題】

⑸設(shè)A是3階方陣,a.aa線性無關(guān),且.Aa二a卜a.Aa=a+a，Aa=

a；丁/，則'A|=—.

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正確答案：

參考解析：2

【解析】

利用行列式的性質(zhì)，由A(ai.a,a)=(6+a.a：+a,a+a\),則

A1(a；.a；.a)=I(a1+a2?a?+a+on)I

=21(?]+az+a(.a>+a3<a4+Q])I

=2I(a；+a2+a.-a；.—a2)I

=2i(aj?-ai.-?2)I=2I(Qi,做a)!.

由于a，ch，a線性無關(guān)，故a：,a2，ar0,所以A\=2.

解法2利用矩陣的乘法及相似矩陣的性質(zhì).

’10lj

A（a1，出，%）=（①+a〉a：*a，a+a）=（a：，。經(jīng)處）110.

011;

10r

記P=（a：aa）,由已知,P可逆,B=110，故AP=PB,即Pl4P=B,所以

011

101

IA=|B=110=2.

011

2001

0020_

0300~—

29.【填空題】4003

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正確答案：

參考解析：-12

【解析】

先將第一行的一3倍加到第四行（或第四列的一2倍加到第一列）再注意公式

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正確答案：

參考解析：-3

【解析】

把每行都加到第一行，有

正確答案：

參考解析：-120

【解析】

把第一行加到第四行，提出公因數(shù)10,再把第四行逐行互換到第一行，由范德

蒙行列式，得

12341111

12232421234

D=10=-10

123311223242

11111233343

=-10(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)

=—120.

32.【境空題】設(shè)四階方陣A=[a,力，h，Y/，B=[B,丫2,丫3，丫/，其

中a,8,丫2,丫3,n均為四維列向量，且|A|=5,|B|=-,則

|A+2B|=.

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正確答案：

參考解析：108

【解析】

因?yàn)?/p>

A+2B=a.+[2/.2匕,2y,2/]=a+2『3y「3y；.3yl

故有|A+2B|=|a+2/L3r2,37，3九|=27Ia+2月.%.七,九|

=27(1a,%，為力1+2—-，力，-I)

=27(1A1+2|B1)=108

33.【填空題】設(shè)A,B均為n階矩陣,且|A|=2,⑻=-3,財(cái)-A「B“=

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正確答案：

參考解析："T

【解析】

由|以|=?IA|.|AB|=|A|?|8,||=|A|.|/『|=-^―有

A

\-A'BAI=(-D"11=(-D"IATI?B'I

34.【填空題】設(shè)A為三階矩陣，A的第一行元素為1,2,3,|A|的第二行元

素的代數(shù)余子式分別為a+1,a-2,a-1,則a=.

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正確答案：

參考解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a_l)=0得a=l.

…、設(shè)A是三階矩陣，且IA1=4?則=

35.【填空題】'2/

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正確答案：

36.【填空題】設(shè)A為三階正交矩陣，且|A|〈0,|B-A|=-4,則|E-

ABT|=.

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正確答案：

參考解析：|A|<0-*|A|=T

|E-ABr|=|AAT-ABT|=|A|I(A-B)T|=-|A-B|=|B-A|=-4

37.【填空題】設(shè)A為n階矩陣，且|A|=aW0,則|(kA)*|=.

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正確答案：

參考解析：因?yàn)?kA)*=kn—A*,且考*|=|A|nT,所以|標(biāo))*|=|廣，*|=0叫A|

baaa

abaa

計(jì)算〃階行列式D“=I.....

????

38.【解答題】<<?…〃

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參考解析：解法1D,的各列元素之和相等，用行加法?

/l)ab+(〃-1)?！?(〃-l)a

，aa

D.=°??

????

aaab

111???1

a

-—Da]；…*

????

aaa…b

111...1

=)+(Ll)a]0b-a??=[6+(〃—l)a](6-a)"，

(>?■

000???h-a

解法2除主對(duì)角線上元素以外，其余，司元素均相同，可用加邊法.

1aaa1aaa

0baa-1b—a0???0

)=0ab…a=-10b-a…0*

D”=11rH????????

???????????

Qaab—100b-a

為箭形行列式汨(

儲(chǔ)-

Dh=(6-a)i?[b+Da].

39.【解答題J

jr-10)01

0x—1)0

???：：，?

證明：D”=???l=/+XaL

000-.r-1

言法/本題言亍判斷：密E.r+a"

請(qǐng)查看答案解:對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：證法1用數(shù)學(xué)歸納法.

7,—1

當(dāng)〃=1時(shí),D=/+“］；當(dāng)〃=2時(shí),D?='=>+山］+田，結(jié)論成立.

史十1

假設(shè)當(dāng)〃=%—1時(shí)，結(jié)論成立，有

1:

Dt-i=a?+…+”人?工+61?

則當(dāng)〃時(shí),將D.按第1列展開,得

Hl

Dt=rD卜?+a?=J*+aiX+,??+a+-2/+以」工+a八

故對(duì)任意正整數(shù)n,有D“=+…+%|］+呢,結(jié)論成立.

證法2用遞推法,將D“按第1列展開,得

D,=加“1一（一1）川斯?（-1尸=ZDI+M，①

故Di=.rD?2+a?-i.,??.D,=xD：+窈，D2=zDt+a?=.r+“11+圖，

n

將其依次代人①式，得D“=I"+alx'+,,+%4+%.

40.【解答題】

2?—10…00

一12-1…00

0—1200

計(jì)算〃階行列式D”=?*??(

*??*??

00…—1

000???一12

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題委生行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：解D,為三對(duì)角行列式，用遞推法，將Dn按第1行展開.

—1—1000

2-1-00

0-12-00

D?=2D.+(-l)X(-l),+:?????=2Di-D?

ff1?????

0002—1

000...—12

即幾一DE=Di-D-=…=D2-Di

故D,=Di+1=(Di+1)十1=D.T+2=…=D|+(〃-1)

=2+(?i-1)=n+l.

41.【解答題】計(jì)算n階行列式

0h?

uth\000

仇“200

0azl)20

0仇小00

????*?

D”=?????+?????

*????

000a?,b?t

000

bMQQ0att

00…*

其中anbi,均不為0.

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參考解析：解記Dn=Dl+D2.D1按第1列展開,得

a%bi0???000

0a?b???0U21)20…0

???3???????

D]=??????+(-1)?????

oo0???36i000bi

0000an000

=田方-%+(―1)"76也”也.

是D的轉(zhuǎn)置行列式，故D2=D=”+(-1)田瓦修?也，故

D?=2?加…%+2(—

b-a；-ag??,一U\a?

-u^>U\b-ci：一ufu

計(jì)算〃階行列式D”=；,"；n

????

42.【解答題】a-aaa…64”

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：除主對(duì)角線元素外，第i行(i=l,2,n)元素分別是a1，

a2,…，ai-i,ai+i,…，

a”的倍數(shù)，即：(-ai)ai,(-ajaz,…，(-aja-,(-ajai+i,…，(-a;)an.可考

慮用加邊法，

1flia2…a?1a\ai???a?

0b-u\-a\at???—a\a?a1b00

D"=D?.■=0-aa\b-a：—aa?=a0b0

??2??2?2???

????????????*

0一%?-a?a,b-%%001)

為箭形行列式.故。“=/，1(分一￡屋).

43.【解答題】

卜+仇a???a

aa+〃???a

計(jì)算n階行列式D.=???(6,WO).

??*

aa???a+

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題為先行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)T

參考解析：解以中除主對(duì)1龜線外，各列元素分別相同，用加邊法.

1001-a-u???一a

1a+“aa1b\0

D==%=1aa+6a1069?

????????

????????

1a

a???〃+九100bn

該行列式為箭形行列式，故可求得2=(1+￡

a0-100|

—

a1?T1???00

a_0J???0

計(jì)算，/階行列式D“=****

**