5.4一元一次方程與實際問題第5章一元一次方程知識點列一元一次方程解實際問題的一般步驟1列一元一次方程解實際問題的一般步驟：(1)理解題意，明確問題中的已知量、未知量；(2)用字母表示問題中的一個未知量，并根據問題中的數量關系用含該字母的代數式表示其他未知量；(3)根據等量關系，列出方程；(4)解方程，求出未知數的值；(5)寫出答案.列一元一次方程解決實際問題的步驟，可以用如圖5.4－1的框圖表示：特別提醒1.一道應用題中往往含有幾個未知量，應恰當選擇其中一個，其他的未知量可用這一個未知量來表示，從而列出方程，一般問什么設什么，但有時也間接設未知量.2.設和答必須寫清單位.3.一般情況下，題目所給的條件在列方程時不能重復使用，也不能漏掉不用.例1[期末·臺州黃巖區]某班級去某動物園開展研學活動，已知成人門票每張280元，學生門票每張220元．解題秘方：緊扣列一元一次方程解決實際問題的一般步驟解題.找出等量關系，正確列出方程是解題的關鍵．(1)若參加的教師和學生總人數為50，

需收取門票費11300元，

問教師和學生各幾人？解：設學生有x人，則教師有(50－x)人，根據題意，得220x＋280(50－x)＝11300，解得x＝45.50－45＝5(人).所以，學生有45人，教師有5人．(2)該動物園推出活動，

若學生人數為50及以上，

優惠方案為：成人門票每張240元，學生門票每張150元，在(1)的基礎上，

又有幾名同學報名參加，

最終門票費用比原價購買的情況下優惠了30％，那么新增了幾名同學？解：設新增了y

名同學，根據題意，得150(45＋y)＋240×5＝[(45＋y)×220＋280×5]×(1－30％)，解得y＝10.

所以，新增了10名同學．1－1.小明和小杰擁有的圖書數量之比為3∶2，如果小明送給小杰15本，兩人的圖書數量就一樣多，問兩人共有多少本圖書？解：設小明原來有3x本圖書，則小杰原來有2x本圖書.根據題意，得3x－15＝2x＋15，解得x＝30.則3x＋2x＝5x＝150.所以，兩人共有150本圖書．1－2.某動物園的門票價格如下：某天該動物園共售出1680張門票,收入是54400元.則成人票和學生票各售出多少張？門票類型價格/(元/人)成人票40學生票20解：設成人票售出x張，則學生票售出(1680－x)張．由題意，得40x＋20(1680－x)＝54400，解得x＝1040.則1680－x＝1680－1040＝640.所以，成人票售出1040張，學生票售出640張．知識點積分問題2在比賽積分問題中，基本相等關系有：參賽場數＝

勝場數＋

負場數＋

平場數；比賽總積分＝

勝場積分＋

負場積分＋

平場積分.特別解讀：(1)比賽中的積分與勝負場數有關，同時也與比賽積分規則有關，需先弄清“勝一場積幾分，平一場積幾分，負一場積幾分”.(2)在積分規則中，一般規律為：勝場積分>平場積分>負場積分，據此可粗略判斷解題的結果是否正確.特別提醒并不是每種比賽都按勝、平、負的情況積分，有的只按勝、平兩種情況積分，所以解題時一定要認真理解比賽的積分規則．下表是某足球聯賽第一階段小組賽(該小組共4個隊，每個隊分別與其他3個隊進行主客場比賽各一場，即每個隊要進行6場比賽)積分表的一部分.例2排名球隊場次勝場平場負場進球主場進球客場進球積分1A6？？11385132B6321835113C63129x5104D60061100備注積分＝勝場積分＋平場積分＋負場積分解題秘方：根據表格中提供的勝、平、負的場數及對應的總積分，分析出勝場、平場及負場積分.根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解.(1)表格中C

隊的主場進球數x

的值為____，

本次足球小組賽勝一場積___分，

平一場積___分，

負一場積___分.4310詳解設勝一場積y分.根據D隊積分為0可知，負一場積0分；根據B，C兩隊的積分可知，平一場積1分；再根據B隊積分為11，列方程，得3y＋2＝11，解得y＝3.所以勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分.(2)該足球聯賽獎金分配方案為：

參加第一階段小組賽6場比賽的每個球隊都可以獲得參賽獎金1200萬元.另外，小組賽中每獲勝一場可以獲得150萬元，

平一場可以獲得50萬元.請根據表格提供的信息，

求在第一階段小組賽結束后，A

隊一共能獲得多少萬元的獎金？解：設A隊勝a

場，則平(6－a－1)場，根據題意，得3a＋(6－a－1)＝13，解得a＝4.則6－a－1＝1.所以A隊一共能獲得獎金1200＋150×4＋50×1＝1850(萬元).2－1.每年的12月4日為全國法制宣傳日，當天某學校組織4名學生參加法制知識競賽，共設20道選擇題，各題分值相同，每題必答，下表記錄了其中2名參賽學生的得分情況.參賽學生答對題數答錯題數得分/分A200100B17379(1)若參賽學生C

得72分，則他答對了幾道題？答錯了幾道題？解：根據題表得出答對一題得5分，答錯一題扣2分．(1)設參賽學生C答對了x道題，則答錯了(20－x)道題，由題意，得5x－2(20－x)＝72，解得x＝16.則20－x＝20－16＝4.所以，他答對了16道題，答錯了4道題．(2)參賽學生D說他可以得88分，你認為可能嗎？為什么？知識點配套、調配問題31.生產配套問題中的基本相等關系加工(或生產)的各種零件、配件的總數量比等于一套組合件中各種零件、配件的數量比.2.調配問題中的基本相等關系調配問題一般把調配的結果作為等量關系列方程.調配問題有兩種類型：(1)內部調配，即從甲(乙)處調人(或物)到乙(甲)處,此時甲(乙)處減少的人(或物)數＝

乙(甲)處增加的人(或物)數；(2)外部調配,即從第三方調人(或物)到甲、乙兩處，此時甲、乙兩處原有人(或物)數不會減少.特別提醒要認真區別配套問題中的關鍵詞語“剛好”與“最多”.某車間有28名工人，現在要生產一種螺栓和螺帽，每名工人每小時能生產螺栓12個或螺帽18個，2個螺栓要配3個螺帽，應安排多少名工人生產螺栓，多少名工人生產螺帽，才能使生產的螺栓和螺帽剛好配套？例3解題秘方：解題的關鍵是找準題目中的等量關系，利用配套規則列方程求解.解：設應安排x名工人生產螺栓，則安排(28－x)名工人生產螺帽.根據題意，得3×12x＝2×18×(28－x).解得x＝14，所以28－x＝14.所以應安排14名工人生產螺栓，14名工人生產螺帽，才能使生產的螺栓和螺帽剛好配套.3－1.某服裝廠生產一種運動服，已知每3m長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用800m長的布料生產服裝，應分別用多少布料生產上衣和褲子，才能恰好配套？共能生產多少套？學校組織植樹活動，已知有23人在甲處植樹，有17人在乙處植樹，現另調20人去支援，使在甲處植樹的人數是在乙處植樹人數的2倍，應調往甲、乙兩處各多少人？例4解題秘方：此類問題多用列表法找相等關系.設應調往甲處x人，列表如下：根據表格中的等量關系列出一元一次方程求解即可.原有人數增加人數現有人數甲處23x23＋x乙處1720－x17＋(20－x)

4－1.為了進一步落實“雙減”政策，某校積極開展社團活動，國際象棋社團原有學生64人，羽毛球社團原有學生56人.我國羽毛球運動員在2024中國(瑞昌)國際羽毛球大師賽中取得佳績后，學校掀起一股羽毛球熱潮，有部分國際象棋社團學生轉入羽毛球社團，現在國際象棋社團人數是羽毛球社團人數的一半，問有多少名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團？解：設有x名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團．根據題意，得2(64－x)＝56＋x，解得x＝24.所以，有24名學生從國際象棋社團轉入羽毛球社團．知識點中點四邊形4

2.常見的行程問題有追及問題、相遇問題、相向而行、背向而行等.涉及兩者間的行程，若同時出發，則時間相等，利用路程之間的關系列方程.特別提醒解決行程問題，關鍵是明確題目中的數量關系，這是列方程的依據.一般來說，題目中有兩個等量關系，根據其中一個等量關系設未知數，再用另一個等量關系來列方程.甲站和乙站相距1700km，一列慢車從甲站開出，速度為120km/h，一列快車從乙站開出，速度為150km/h.例5(1)若兩車相向而行，

慢車先開40min，

快車開出幾小時后兩車相遇？解題秘方：等量關系：慢車行駛的路程＋

快車行駛的路程＝1500km.

(2)若兩車同時開出，

快車在慢車后面同向而行，

多少小時后兩車相距1400km(此時快車在慢車的后面)？解題秘方：等量關系：慢車行駛的路程＋1500km－

快車行駛的路程＝1200km.根據等量關系列方程求解.解：設y

h后兩車相距1400km(此時快車在慢車的后面).由題意，得120y＋1700－150y＝1400.解得y＝10.所以，10h后兩車相距1400km(此時快車在慢車的后面).5－1.[期末·濱州濱城區]某校七年級學生遠足活動期間，沿著與筆直的鐵路并列的公路勻速前進，每小時走4.5km.一列火車以每小時120km的速度迎面開來，測得從火車頭與隊首學生相遇，到車尾與隊末學生相遇，共經過12s，如果隊伍長135m，那么火車長

__________m.280小明和他的哥哥早晨起來沿長為400m的環形跑道跑步，小明跑2圈用的時間和他的哥哥跑3圈用的時間相等，兩人同時同地同向出發，結果經過2min40s他們第一次相遇，若兩人同時同地反向出發，則經過幾秒他們第一次相遇？例6解題秘方：可將環形中的相遇或追及問題轉化為直線形中的相遇或追及問題.

本例也可設他們兩人的速度分別為2xm/s和3xm/s.知識儲備環形運動問題中的相等關系(同時同地出發)：(1)同向相遇：第一次相遇快者跑的路程－第一次相遇慢者跑的路程＝跑道一圈的長度；(2)反向相遇：第一次相遇快者跑的路程＋第一次相遇慢者跑的路程＝跑道一圈的長度.6－1.小明、小亮分別在400m的環形跑道上練習跑步，他們的速度比是7∶3，兩人同時由同一點背向出發，80s后第一次相遇，小明的速度是每秒______m.3.5一列火車勻速行駛經過一座橋，火車完全通過橋共用了50s，整列火車完全在橋上的時間為30s，已知橋長為1200m，求火車的長度和速度.例7解題秘方：理解“完全通過橋”和“完全在橋上”時火車的運動過程，根據火車行駛的路程及速度列方程.

方法點撥：火車過橋問題的圖形表示:(1)“火車完全通過橋”是指從火車車頭上橋到火車車尾離橋，如圖5.4－2.(2)“火車完全在橋上”是指從火車車尾上橋到火車車頭離橋，如圖5.4－3.7－1.一列勻速前進的火車，從它開始進入600m的隧道到完全通過，共需40s，在這個過程中又知在隧道頂部的一盞固定的燈發出的一束光線垂直照射火車的時間是8s，則這列火車的長度是()A.100m B.125mC.140m D.150mD一艘輪船在兩個碼頭間航行，順流需航行4h，逆流需航行5h，如果水流速度為3km/h，求兩個碼頭間的距離.例8

直接設未知數.(方法二)設輪船在靜水中的速度為x

km/h，則v順＝(x＋3)km/h，v逆＝(x－3)km/h.由題意,得4(x＋3)＝5(x－3).解得x＝27.所以4(x＋3)＝

4×(27＋3)＝120.所以，兩個碼頭間的距離為120km.間接設未知數.8-1.船在靜水中的速度是20km/h，水流速度是4km/h，從一碼頭逆流而上，再順流而下，該船最多開出_______km就應返回才能在5h內回到碼頭．48知識點工程問題5

2.找相等關系列方程的方法與行程問題相類似，一般有如下規律：在工作量、工作效率、工作時間這三個量中，如果一個量已知，那么就設另一個量為未知數，從第三個量找等量關系列方程.特別提醒1.當問題中總工作量未知而又不求總工作量時，通常把總工作量看成整體“1”.2.常見的等量關系為：總工作量=各部分工作量之和.[期末·北京海淀區]文物修復師們計劃用30個月完成某件文物的修復工作.如果讓一名文物修復師單獨修復該文物，需要720個月完成.假設每名文物修復師的工作效率相同，先由16名文物修復師一起修復10個月，還需要增加多少名文物修復師才能按時完成修復工作？例9解題秘方：本題主要考查了一元一次方程的實際應用，根據工作總量＝

工作時間×

工作效率,列出方程求解即可.

9－1.某地決定修建一條高速公路，其中一段長為146m的山體隧道貫穿工程由甲、乙兩個工程隊負責施工，甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩個工程隊又聯合工作了1天，這3天共掘進26m，已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2m，按此速度完成這項隧道貫穿工程甲、乙兩個工程隊還需要聯合工作多少天？知識點銷售問題61.在現實生活中，購買商品和銷售商品時，經常遇到的量有進價、標價、售價、折扣、利潤、利潤率等.

知識儲備1.利潤率是相對于進價而言的，是利潤占進價的百分比.2.在標價的基礎上打折時，打幾折，就乘十分之幾.商場將一件進價為100元的玩具提高60%后標價，銷售時按標價打折銷售，結果仍獲利20%，則這件玩具銷售時打幾折？例10解題秘方：根據“利潤＝售價－進價”列出方程即可求解.

10－1.一家服裝店因換季將某種服裝打折銷售，如果每件服裝按標價的五折出售將虧損20元，而按標價的八折出售將盈利40元.(1)每件服裝的標價，成本各是多少元？解：設每件服裝的成本是x元，則標價是2(x－20)元．根據題意得0.8×2(x－20)－x＝40，解得x＝120，所以2(x－20)＝200.所以，每件服裝的標價是200元，成本是120元．(2)為保證不虧本，最多能打幾折？解：120÷200＝0.6.所以，為保證不虧本，最多能打六折．[中考·泰州]某校七年級社會實踐小組去某商場調查商品銷售情況，了解到該商場以每件80元的價格購進了某品牌襯衫500件，并以每件120元的價格銷售了400件，商場準備采取促銷措施，將剩下的襯衫降價銷售.請你幫商場計算一下，每件襯衫降價多少元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預期目標？例11解題秘方：根據計算銷售總額的兩種方式列出方程即可求解.解：設每件襯衫降價x

元，根據題意，得120×400＋(500－400)×(120－x)＝500×80×(1＋45%).解得x＝20.所以，每件襯衫降價20元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預期目標.11－1.[模擬·西安]2024年2月，第十四屆全國冬季運動會在內蒙古自治區舉辦，吉祥物蒙古彩娃“安達”和“賽努”深受人民喜愛．某服裝店以每件25元的價格購進一批印有蒙古彩娃的文化衫，若每件標價降低10元，則銷售16件的利潤為80元，求文化衫每件的標價.解：設文化衫每件的標價為x元，由題意，得16(x－25－10)＝80，解得x＝40.所以，文化衫每件的標價為40元．某商店將兩個進價不同的豆漿機都賣了378元，其中一個盈利20%，另一個虧損20%，那么這家商店賣出這兩個豆漿機是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？例12解題秘方：根據利潤＝售價－進價，求出兩個商品的進價，再由進價高于售價則虧損，進價低于售價則盈利，進價等于售價則不盈不虧進行判斷.解:設盈利20%的豆漿機的進價為x

元.由題意，得(1＋20%)x＝378，解得x＝315.設虧損

20%的豆漿機的進價為y元，由題意，得(1－20%)y＝378，解得

y＝472.5.所以這兩個豆漿機的進價和是315＋472.5＝787.5(元).因為這兩個豆漿機共賣了378×2＝756(元)，756－787.5＝－

31.5(元).

所以，這家商店賣出這兩個豆漿機是虧損的，虧損了31.5元.12-1.“雙11”電商節，某商店把某種商品按進價加20%作為定價，按定價的1.5倍標價再打八折出售，最終售出10件，總營業額為720元，則這次生意的盈虧情況為__________.盈利220元知識點儲蓄問題71.儲蓄問題的有關概念儲戶存入銀行的錢叫本金；銀行付給儲戶的酬金叫利息；本金和利息合稱本息和；存入銀行的時間叫期數；每個期數內的利息與本金的比叫利率.2.相關的關系式利息＝本金×利率×期數；本息和＝本金×(1＋利率×期數)＝本金＋利息.易錯警示利率分年利率和月利率兩種情況，解決利息問題時要看清是年利率還是月利率，以免出錯.小張在某銀行里存了三年期的教育儲蓄(這種儲蓄的年利率為2.7%，免征利息稅)，三年到期后小張一共取出2162元，則小張存了多少元？例13解題秘方：由等量關系：本息和＝本金×(1＋利率×期數)列出方程求解.解：設小張存了x元，由題意，得(1＋2.7%×3)x＝2162，解得x＝2000.所以，小張存了2000元.13-1.[模擬·聊城]李老師在銀行存入了三年期的定期存款30000元.若到期后取出本息共31755元，則該銀行三年定期儲蓄的年利率是_______.(結果用百分數表示)1.95%知識點計費問題81.常見的計費問題(1)通信計費(手機、電話、上網)；(2)水、電費計費；(3)稅費計費.2.要解決的問題(1)利用量(時間、用電量、用水量、收入等)和費用之間的關系求費用或量的大小；(2)根據計費方式設計最優、最省錢的方案.知識鏈接解決計費問題關鍵要分析兩點：1.費用的變化主要與什么量有關.2.認清計費方式，特別注意分段收費的方式.近幾年我國部分地區不時出現的嚴重干早，使我們認識到節水的重要性，為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市對自來水收費采用階梯價格的調控手段以達到節水的目的.該市自來水收費價格