10高等流體力學練習題

高等流體力學練習題

第一章場論基本學問第一節場的定義及其幾何表達

1、(RX21)設點電荷q位于坐標原點，則在其四周空間的任一點

M(x,y,z)處所

?q?r,其中8為介質系數，產生的電場強度，由電學知為：

E?34??r?????r?xi?yj?zk為M點的矢徑，r?r。求電場強度的矢量線。

????222、(RX22)求矢量場A?xzi?yzj?(x?y)k,通過點M(2,1)的

矢量線方程。

?rl、(RX32)設r?x2?y2?z2為點M(x,y,z)的矢徑的模，試證明:gradr?。

r????23

2、(RX33)求數量場u=xy+yz在點(2,—1,1)處的梯度及在矢

量l?2i?2j?k其次節梯度

方向的方向導數。

3、(RX34)設位于坐標原點的點電荷q,由電學知，在其四周空間

的任一點

???q?M(x,y,z)處所產生的電位為：v?,其中E為介質系數，

r?xi?yj?zk4??r?為M點的矢徑，r?r。求電位v的梯度。

????4>(BW7)試證明d??dr?grad?,并證明,若d??dr?a,則a必

為grad?o??5、(BW8)若a=grad?,且?是矢徑r的單值函數，證

明沿任一封閉曲線L

???的線積分?a?dr?O,并證明，若矢量a沿任一封閉曲線L的線積

分

L?L???a?dr?O,則矢量a必為某一標量函數？的梯度。

第三節矢量的散度？???1、(RX39)設由矢徑r?xi?yj?zk構成的

矢量場中，有一由圓錐面x2+y2=z2及平面z=H(H>0)所圍成的封閉曲

面So試求矢量場從S內穿出S的通量。2、(RX41)在點電荷q

所產生的電場中，任何一點M處的電位移矢量為

?q???rD?r,其中，為從點電荷q指向M點的矢徑，。設S為以點

r?r4?r3電荷為中心，R為半徑的球面，求從內穿出S的電通量。

1

??3、(RX44)若在矢量場A內某些點(或區域)上有divA?0,而

在其他點上都

?有divA?0,試證明穿過包圍這些點(或區域)的任一封閉曲面的

通量都相等，即為一常數。

?4、(RX44)在點電荷q所產生的電場中，求電位移矢量D?q?r

在任何一點4?r3M處的散度。

?5、(RX46)已知？？exyz,求div(?r)

第四節矢量的旋度？??1、(RX51)設有平面矢量場A??yi?xj,I為

場中的星形線x二Rcos36,y二Rsin36。求此矢量場沿I正向的環量。

??2?2y?222、(RX55)求A?xyzi?zsinyj?xek的旋度。

???3、(RX57)設一剛體繞過原點的某個軸轉動，其角速度

為？？？li??2j??3k。

?由運動學我們知道，剛體上某一點處的線速度為

??????v???r?(?2z??3y)i?(?3x??lz)j?(?ly??2x)k,求此線速度場的旋度。

??4、(BW18)證明rotgrad?=0,并證明，若rota=0,則a必為grad?。

第五節哈密爾頓算子

?1>(RX80)已知u=3xsinyz,求？？(ur)

????3242>(RX80)設A?xzi?2xyzj?2yzk,求該矢量在點M(l,2,1)處

的旋度。

??????(a?r)?dl?2a?dSa3s(RX80)證明？，其中為常矢。???IS

第六節場論基本運算公式(見P6?7)

1、(BW19)證明場論各基本運算公式。

2

其次章張量基本學問第一節指標

1、什么是自由指標和啞指標？2、試簡述商定求和法則。

其次節張量及其表示法

1、試簡述二價張量的定義。

2、什么是零階張量？它有幾個重量?

?x?3、試寫出[A]??xy2?zx?

xy2zyyzx??x2y3?的實體表示形式。yz??第三節幾個特別的張量

1、試寫出單位張量的重量表示形式

2、(BW63)試證明二價張量可以唯一的分解為一個對稱張量和

一個反對稱張

量之和。

第四節二階張量的運算？?1、證明[A]?[B]?aijbjneien

??[B]?[B]?a2,證明當[B]為對稱張量時，則a???3、證明[l]?a?a

?04、若將反對稱張量[B]寫成：

[B]????3????2??30?l?2??????l?[B]?a???a，證明?0??5、證明[l]:[B]?bii

6、證明？？p?????p

7、證明？？？p?A????p??A??p???A?

?T??T??V????V?V?V8、證明？？，其中為的轉置張量。？????????9、

第五節各向同性張量

1、什么是各向同性張量？

2、證明二階各向同性張量的形式必為??ij,?為標量。

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第三章流體力學的基本概念第一節流體力學的基本討論方法

1、試簡述流體質點的概念和連續性假設。2、試分別簡述描述流

體流淌的兩種方法。

其次節流體微團的運動分析

1>(U50)設初始時刻流體質點的速度與它到某一固定界面的距離

Xo間的關系為：u=kxO/(xO+l)ok為常數，此后流體質點各自都作等

速直線運動。速度方向與該固定截面垂直。(1)求速度場；

(2)求變形速度張量；

2、試簡述亥姆霍茲速度分解定理。

3、(QZC31)給定平面流場的極坐標表達式：vr=u(r,6),v0=v(r,0),

求流淌平面上徑向和周向的線變形率，以及平面上的角變形率。

4、(GZ54)設u=cy,v=0?w=0,求其變形張量和旋轉張量。

第三節作用在流體上的表面力

?1、試表述[P]?n所表達的意義。

2、試證明應力張量的對稱性。

3、(GZ61)設流體中的應力張量由下式給出

OO??p??gz??,沒有一平行于坐標軸的六面體，求

[P]??O?p??gzO???OO?p??gz???(1)六面體六個面上的應力分布；(2)

求作用于z=0及x=0面上的合力。

?012??,試問作月于平面1204、(GZ62)流體內某處的應力張量為

[P]??????201??x+3y+z=l外側(離開原點的一側)上的應力矢量是什

么？這個平面上的應力

向量的法向和切向重量是什么？

第四節隨體導數

1、（FY24）已知用拉格朗日變數表示的速度場為：

u=（a+l）et-lv=（b+l）et-l

式中：a,b是t=0時刻流體質點的直角坐標值。試求：（l）t=2時

刻流場中質點的分布規律；（2）a=l,b=2這個質點的運動規律；

（3）流體質點的加速度場表達式。

（4）歐拉變數下的速度和加速度表達式。2、（QP44）

已知用歐拉變數表示的速度場為：

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u=x+tv=y+t

試求：（1）一般的跡線方程，令t=0時的坐標為a,bo（2）

在t=l時刻過（1,2）點