第第頁人教A版高一（下）數學必修第二冊6.2.4向量的數量積教學設計課題6.2.4平面向量的數量積課型新課型課時2課時學習目標1．了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義．2．體會平面向量的數量積與向量投影的關系，理解掌握數量積的性質，并能運用性質進行相關的判斷和運算．3．體會類比的數學思想和方法，進一步培養學生抽象概括、推理論證的能力．發展學生從特殊到一般的能力，培養學生學習的主動性和合作交流的學習習慣．學習重點平面向量數量積的概念、用平面向量數量積表示向量的模及夾角．掌握平面向量數量積的運算律及常用的公式.學習難點平面向量數量積定義的理解，平面向量數量積的性質．理解平面向量數量積的運算律.學情分析在此之前學生已學習了平面向量的坐標表示和平面向量數量積的概念及運算,但數量積是用長度和夾角這兩個概念來表示的，應用起來不太方便.如何用坐標這一最基本、最常用的工具來表示數量積，使之應用起來更方便，就是擺在學生面前的一個亟待解決的問題.核心知識1.了解向量數量積的物理背景，即物體在力F的作用下產生位移s所做的功.2.掌握向量數量積的定義及投影向量.3.會計算平面向量的數量積．教學內容及教師活動設計（含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容）教師個人復備導入新知我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序實數(即它的坐標)來表示．那么，如何用坐標表示直角坐標平面內的一個向量呢？前面我們學習了向量的加、減運算．類比數的運算，出現了一個自然的問題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？【實際情境】觀察小車的運動，討論功的計算公式．提問：（1）力對小車有沒有做功？能不能用初中所學的W=FS，為什么？（2）如何解決力不在位移方向時功的計算？分別考慮力F的兩個分力做功的情況？（3）力F在位移方向的分力是什么？功的計算公式是什么？在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力的作用下產生位移（圖6.2-18），那么力所做的功，其中是與的夾角．預設互動回答：力有做功，但是不能用W=FS，因為力F不在位移S的方向上；對力F進行正交分解，垂直于位移方向的分力F2不做功，只有在位移方向的分力F1做功；在位移方向的分力F1大小為，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小．【設計意圖】向量數量積概念不是憑空產生的，用人拉小車這一實例，讓學生感受“向量乘以向量”這樣的問題是客觀存在的，是源于實際生活的.功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定．這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結果呢？受此啟發，我們引入向量“數量積”的概念．因為力做功的計算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念．已知兩個非零向量，（圖6.2-19），是平面上的任意一點，作，．則叫做向量與的夾角．顯然，當時，與同向；當時，與反向．如果與的夾角是，我們說與垂直，記作．已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，我們把數量叫做向量與的數量積（或內積（innerproduct）），記作，即．規定：零向量與任一向量的數量積為0．對比向量的線性運算，我們發現，向量線性運算的結果是一個向量，而兩個向量的數量積是一個數量，這個數量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關．應用新知例9已知，，與的夾角，求．解：．【變式】已知平面向量，滿足，且與的夾角為.求的值；【答案】3；【知識點】用定義求向量的數量積、數量積的運算律、向量夾角的計算【分析】根據數量積的定義代入計算即可得出結果；【詳解】由可得；即可得.例10設，，，求與的夾角．解：由，得．因為，所以．【變式】已知?ABCD中，∠DAB＝60°，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【知識點】平面向量數量積的定義及辨析、相等向量【分析】利用向量的夾角定義直接得解.【詳解】如圖，與的夾角為，故選：C如圖6.2-20(1)，設，是兩個非零向量，，，我們考慮如下的變換：過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影(project)，叫做向量在向量上的投影向量．如圖6.2-20(2)，我們可以在平面內任取一點，作，．過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．2.向量的投影◆探究如圖6.2-20(2)，設與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與，，之間有怎樣的關系？顯然，與共線，于是．下面我們探究與，的關系，進而給出的明確表達式．我們分為銳角、直角、鈍角以及，等情況進行討論．當為銳角(圖6.2-21(1))時，與方向相同，，所以；當為直角(圖6.2-21(2))時，，所以；當θ為鈍角(圖6.2-21(3))時，與方向相反，所以即．當時，，所以當時，，所以．從上面的討論可知，對于任意的，都有．【設計意圖】1.引導學生通過自主研究，明確兩個向量的夾角決定它們的投影以及數量積的符號，進一步從細節上理解向量數量積的定義．2.通過課前嘗試練習，使學生嘗試計算數量積，鞏固對定義的理解，課堂上師生展開互動分析，并進行歸納總結，為數量積的性質埋下伏筆．向量數量積的性質◆探究從上面的探究我們看到，兩個非零向量與相互平行或垂直時，向量在向量上的投影向量具有特殊性．這時，它們的數量積又有怎樣的特殊性？由向量數量積的定義，可以得到向量數量積的如下重要性質．設，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則(1)．(2)．eq\o\ac(○,?)如果是否有，或?(3)當與同向時，；當與反向時，．特別地，或。◆常記作．此外，由還可以得到．【設計意圖】將嘗試練習的結論推廣得到數量積的運算性質，使學生感到親切自然，同時也培養了學生由特殊到一般的思維品質和類比創新的意識．探究：類比數的乘法運算律，結合向量的線性運算律，你能得到數量積的哪些運算律？【活動預設】展示數學乘法運算的運算律，及前兩節所學的向量的線性運算律，學生類比出數量積的一些運算律.【預設的答案】運算律實數乘法向量數量積判斷正誤交換律ab＝baa·b＝b·a正確結合律(ab)c＝a(bc)(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)a(b·c)＝(a·b)c正確錯誤分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正確【設計意圖】引導學生類比已學內容，做出猜想，為引入本節的數量積運算律做鋪墊.2.分析聯想，尋求方法活動：嘗試說明上述猜想正確與否，并給出證明：由向量數量積的定義，可以發現下列運算律成立：對于向量，，和實數，有（1）；（2）；（3）．【活動預設】教師帶領學生討論，學生嘗試說明以上猜想正確與否.【預設的答案】（1）交換律顯然成立.（2）數乘結合律：(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)(λa)·b=|λa||b|cosθ1λ(a·b)=λ|a||b|cosθ2a·(λb)=|a||λb|cosθ3對λ分類討論可以說明數乘結合律是成立的.數量積結合律：思考：a(b·c)＝(a·b)c成立嗎？由于a(b·c)表示與a共線的向量，(a·b)c表示與c共線的向量，所以這個式子不成立.（3）分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c教師講授：利用a＋b的投影向量等于a與b的投影向量之和可以證明.3.猜想驗證，得出結論向量數量積的運算律：a·b＝b·a；（交換律）（2）(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)；（數乘結合律）（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.（分配律）下面我們利用向量投影證明分配律(3).證明：如圖6.2-22，任取一點，作，，，．設向量，，與的夾角分別為，，，它們在向量上的投影向量分別為，，，與方向相同的單位向量為，則，，．因為，所以．于是，即，整理，得，所以，即．所以．因此．【設計意圖】培養學生的歸納總結能力；鼓勵學生大膽猜想，小心求證；緊扣向量的數量積定義進行運算律的驗證，便于理解向量數量積的運算律.eq\o\ac(○,?)思考設，，是向量，一定成立嗎？為什么？應用新知例11我們知道，對任意，恒有，．對任意向量，，是否也有下面類似的結論？(1)；(2)．解：(1)；(2)．因此，上述結論是成立的．【活動預設】學生可利用分配律和交換律自行推導，加深對數量積運算律的理解.【設計意圖】通過數量積運算律的探索過程，學生已感受到類比推理的魅力.進一步類比實數范圍內常用的結論，可以得到向量范圍內的常用結論.【變式】已知，與的夾角求：(1)；(2)的值；(3).【答案】(1)(2)21(3)【知識點】用定義求向量的數量積、數量積的運算律、已知數量積求模【分析】（1）直接代入向量的數量積公式計算即可；（2）根據向量的運算律計算即可；（3）根據向量模的公式計算即可.【詳解】（1）===；（2）；（3），所以，.例12已知，，與的夾角為，求．解：【活動預設】學生動手操作，嘗試初步運用.【設計意圖】應用向量運算律解決計算問題，對初學者來說是有些難度的，教師根據運算律詳細展示計算過程，加深鞏固學生對新知識的把握.【變式】已知向量，滿足，，．(1)求的值；(2)求向量與的夾角．【答案】(1)(2)【知識點】數量積的運算律、已知數量積求模、向量夾角的計算【分析】（1）由條件推理求得利用向量數量積的運算律即可求得；（2）利用計算向量夾角的公式，先求和，再代入公式計算即得.【詳解】（1）因，,由可得，，即于是，；（2）設向量與的夾角為，則，因，，，即與的夾角為．例13已知，，且與不共線．當為何值時，向量與互相垂直？解：與互相垂直的充要條件是，即．因為，，所以．解得．也就是說，當時，與互相垂直．【活動預設】引導學生開動腦筋，考慮將幾何問題與向量聯系起來.【設計意圖】通過此題讓學生感受向量處理問題的優勢.通過向量運算將幾何問題轉化為代數問題，這為解決幾何問題提供了新的思路.課堂總結1．知識清單：(1)向量的夾角．(2)向量數量積的定義．(3)投影向量．(4)向量數量積的性質．2．方法歸納：數形結合法．3．常見誤區：向量夾角共起點；a·b>0?兩向量夾角為銳角，a·b<0?兩向量夾角為鈍角．向量數量積的概念1.已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規定：零向量與任一向量的數量積為0.2.關于數量積的結果(1)非零向量數量積的運算結果是一個數量，當0°≤θ<90°時，a·b>0；當90°<θ≤180°時，a·b<0；當θ＝90°時，a·b＝0.(2)特別地，如若a或b等于零，則a·b＝0.向量的投影關于投影向量(1)向量a在b方向上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角θ的余弦決定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示為|b|cosθeq\f(a,|a|).向量數量數量積的性質設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a∥b時，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a|·|b|.(5)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b