第一講集合的性質(zhì)及其運(yùn)算

1、研究集合問題，一定要抓住集合的代表元素，如：

{xly=lgx}={x/x>0},3y=lgx}={y/ywR}{(x,y)\y=\gx］各不相同。

元素與集合的關(guān)系用“6或仁”，集合與集合的關(guān)系用u,8n”

2、任何一個(gè)集合是它本身的一個(gè)子集，即A±A。規(guī)定空集是任何集合的子集，即“三A,"三"。如果

人口8,且8工人，則A=B。如果A^B且B中至少有一個(gè)元素不在A中，則A叫B的真子集，記作AuB。

空集是任何非空集合的真子集。

3、含n個(gè)元素的集合A的子集有2"個(gè)，非空子集有2"—1個(gè)，非空真子集有2"—2個(gè)。

集合A有m個(gè)元素，集合B有n個(gè)元素，則從A到B的映射有〃'”個(gè)。

4、重要性質(zhì)：(1)AUA=A,APIA=A,AA0=0,AUa=A,API=0,AU=U

(2)AClB=A,A=AUB,B=AUB,(3)。(AAB)=(A)U(Cb'B)

,5(AUB)=(c(yA)nB)(4)ACB=AOANB,AUB=A=B^A

第二講映射與函數(shù)概念、函數(shù)的定義域和圖象

一、映射、函數(shù)的有關(guān)概念：

1、映射的定義：設(shè)A,B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B

中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么，這樣的對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，記作：f：A-B,

2、像與原像：如果給定一個(gè)集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a對(duì)應(yīng)的集合B中的b叫做a

的像，a叫做b的原像。

3、映射f：ATB的特征：(1)存在性：集合A中任一元素在集合B中都有像，(2)惟?性：集合A中的

任一元素在集合B中的像只有?個(gè)，(3)方向性：從A到B的映射與從B到A的映射?般是不一樣的(4)

集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

4、函數(shù)：(1)定義(傳統(tǒng))：如果在某變化過程中有兩個(gè)變量x,y并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定

的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫做自變量，x的取值

范圍叫做函數(shù)的定義域，和x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。(2)函數(shù)的

集合定義：設(shè)A,B都是非空的數(shù)的集合，f：x—y是從A到B的映射，那么，從A到B的f：A-B,叫

做A到B的函數(shù)，y=f(x),其中xGA,yWB,原像集合A叫做函數(shù)f(x)的定義域，像集合C叫做函數(shù)f(x)的值

域。像集合C±B

5、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則。值域可由定義域唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域

和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，值域一定相同，它們可以視為同一函數(shù)。

二、求函數(shù)定義域的方法

1、求函數(shù)定義域的常用方法有：(1)根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零等。(2)

根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。(3)根據(jù)相關(guān)解析式的定義域來(lái)確定所求函數(shù)自變量的范圍。(4)

復(fù)合函數(shù)的定義域：如果y是u的函數(shù)，而u是x的函數(shù)，即y=f(u),u=g(x),那么y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g

的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量，設(shè)f(x)的定義域是xWM,g(x)的定義域是xGN,求產(chǎn)f［g(x)］的定義域時(shí)，

<

則只需求滿足〔xeN的x的集合。設(shè)產(chǎn)f［g(x)］的定義域?yàn)镻,則P=N。

第三講函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、反函數(shù)

一、函數(shù)的單調(diào)性：

1、定義：對(duì)于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若對(duì)于任意xi,x2CD,當(dāng)xYx2時(shí)，都有f(xi)vf(x2),則稱f(x)

是區(qū)間上的增函數(shù)，當(dāng)XYX2時(shí)，都有f(xl)>f(x2),則稱出X)是區(qū)間上的減函數(shù)。如果函數(shù)產(chǎn)f(x)在區(qū)間

上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說(shuō)函數(shù)產(chǎn)f(x)在區(qū)間D上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)

/⑻二/㈤.>0(<0).增(減)

間。斗一々任意Xl,x2ED

2、函數(shù)單調(diào)性的證明方法：通常根據(jù)定義，其步驟是：1)任取Xi,X26D,且xi<x22)作差f(xi)

4M(/(xjwo)

-氏x2)或作商/("J,并變形，(4)判定f(xl)—f(x2)的符號(hào)，或比較/("J與1的大小，

4)根據(jù)定義作出結(jié)論。

有時(shí)也根據(jù)導(dǎo)數(shù)。=在D上遞增，r(x)<0n〃x)在D上遞減。(濟(jì)逆命

題不成立)

3、常見函數(shù)的單調(diào)性：

一次函數(shù)產(chǎn)kx+b(kWO)1)當(dāng)k>0時(shí)，f(x)在R上是增函數(shù)。2)當(dāng)k<0時(shí)，f(x)在R上是減函數(shù)。

b

二次函數(shù)產(chǎn)ax?+bx+c1)當(dāng)a>。時(shí)，函數(shù)fi［x)的圖象開口向上，在(-8,-2a)上是減函數(shù)，在［一

bh

2。，+8)上是增函數(shù)，2)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象開口向下，在(一8,-2a)上是增函數(shù)，在［一

b

2。，+8)是減函數(shù)。

反比例函數(shù)產(chǎn)x1)當(dāng)k>0時(shí)，f(x)在(-8,o)與(0,+8)上都是減函數(shù)，2)當(dāng)k<0時(shí),

f(x)在(一8,o)與(0,十8)上都是增函數(shù)但要注意在(一8,o)U(0,+8)上f(x)沒有單調(diào)性。

可采用導(dǎo)數(shù)法判斷。

(5)指數(shù)函數(shù))，=相,。>1,單調(diào)遞增，0<a<l時(shí)，單調(diào)遞減

(6)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log?XM>1時(shí)單調(diào)遞增,0<a<1時(shí)單調(diào)遞減。

(7)三角函數(shù):

y=sinx的增區(qū)間是-工+2%萬(wàn)二+2上乃，減區(qū)間是工+24肛包+2攵乃keZ

22J[22_

y=cosx的增區(qū)間是[-?r+2k兀,2%句的減區(qū)間是[2攵%,萬(wàn)+2女句，攵eZ

y=tanx的增區(qū)間是1-^+k萬(wàn)仁+上萬(wàn))，cotx的減區(qū)間是(k乃，乃+左乃)

二、函數(shù)的奇偶性與周期性：

1、函數(shù)的奇偶性定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的每一個(gè)值x,都有f(-x)=f(x),那么稱f(x)為

偶函數(shù)，如果對(duì)每一個(gè)值x都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù)。

2、奇、偶函數(shù)的性質(zhì)：(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。(2)奇函數(shù)在關(guān)

于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

(3)若奇函數(shù)有對(duì)稱軸x=a,則它有周期T=4a,偶函數(shù)有對(duì)稱軸x=a,則它有周期T=2a,

(4)若奇函數(shù)在x=0處有定義則f(0)=0

3、函數(shù)的奇、偶性類型：

=kx,(2]y=-,(3)y=x2n+i(neN)(4)y=sinx,(5)y=tanx,

(1)奇函數(shù)：如x

(2)偶函數(shù)：如⑴y=/+c,⑵y=k|,(3)y=cosx,(4))，=xsinx,(5)y='(n€z)

SinX+

(l)y=Ax+c(&c=0)(2)y+bx(abw0)(3)y=(?l

(3)非奇非偶函數(shù)：如(4)y=k+i1，(5)yM，Sr，"i)

(4)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)：僅有一類：在定義域關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間上恒有f(x)=0.

4、定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的每個(gè)值x都有f(x+T)=f(x)(TM)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T

為它的一個(gè)周期。若T為f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期，k為任一非0整數(shù)。

5、若/(X)滿足/(x+")=/(x+b),那么/(X)是周期函數(shù)，一個(gè)周期是

T=Ia-b|.

三、反函數(shù)：

1、定義：設(shè)式子產(chǎn)f(x)表示y是x的函數(shù)，定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子尸f(x)中解出X,得到式子x=e(y),

如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值,通過式子x=°(y),x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=°(y)

就表示y是x的函數(shù)，這樣的函數(shù)，叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f?(y),即x=*(y)=f](y),--般對(duì)調(diào)x=f'(y)

中的字母x,y,把它改寫成y=f“(x)

2、求反函數(shù)的步驟是：(1)將尸f(x)看成方程，解出x=fT(y)(2)將x,y互換得y=fLx)

(3)寫出反函數(shù)的定義域，(可根據(jù)原函數(shù)的定義域或反函數(shù)的解析式確定)(4)分段函數(shù)的反函數(shù)可以

分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)再合成。

3、反函數(shù)的一些性質(zhì)：(1)反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，稱為互調(diào)性，(2)定

義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且單調(diào)性相同(即函數(shù)與其反函數(shù)在各自的定義域上的單調(diào)性相同)，對(duì)

連續(xù)函數(shù)而言，只有單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù)，但非連續(xù)的非單調(diào)函數(shù)也可能有反函數(shù)，(3)函數(shù)產(chǎn)f(x)的圖

象與其反函數(shù)y=f“(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，(4)函數(shù)y=f(x)的圖象與其反函數(shù)y=fT(x)的圖象的交

點(diǎn)，當(dāng)它們是遞增時(shí)，交點(diǎn)在直線產(chǎn)x上。當(dāng)它們遞減時(shí).，交點(diǎn)可以不在直線產(chǎn)x上，

y=f—與y=log|x互為反函數(shù)且有一個(gè)交點(diǎn)是它不在直線y=x上

第四講：函數(shù)圖象的對(duì)稱性與變換

兩個(gè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱性：

1、y=f(x)與尸?f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱。

2、y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于y軸對(duì)稱。

3、y=f(x)與y=-f(—x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

4、y=f(x)與y=f?(x)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，(或y=f(x)與x=f(y)關(guān)于直線廣乂對(duì)稱)。

5、y=f(x)與y=f(2a—x)｛注：y=f(a+x)與y=f(a—x)關(guān)于直線x=0對(duì)稱｝關(guān)于直線x=a對(duì)稱。

6、y=f(x)與y=-f(2a—x)+2b關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.

一個(gè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱性：

1>關(guān)于直線x=a對(duì)稱時(shí),f(x)=f(2a—x)或f(a—x)=f(a+x)，特例:a=0時(shí)，關(guān)于y軸對(duì)稱,此時(shí)f

(x)=f(-x)為偶函數(shù)。

2、y=f(x)關(guān)于(a,b)對(duì)稱時(shí),f(x)=2b—f(2a—x),特別a=b=O時(shí)，f(x)=—f(—x),即f(x)關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)為奇函數(shù)。

3、y=f(x)關(guān)于直線y=x+b對(duì)稱時(shí)，由上面知y=f(x)關(guān)于直線y=x+b對(duì)稱的函數(shù)的解析式是y=f(x+b)

+b。它與產(chǎn)f(X)應(yīng)是同一函數(shù)，所以：f(x)=fT(x+b)+b。特別當(dāng)b=0時(shí)，f(x)=r(x),即

一個(gè)函數(shù)關(guān)于直線產(chǎn)x對(duì)稱時(shí)，它的反函數(shù)就是它本身。

4、類似4有產(chǎn)f(x)關(guān)于直線產(chǎn)一x+b對(duì)稱時(shí),f(x)=b—fT(b-x)o特別當(dāng)b=0時(shí)，f(x)=一/

(—x),f(x)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱.

a+b

x-

5、若f(a+x)=f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于直線2對(duì)稱，

三：圖象平移與伸縮變換、翻折變換。

1、平移變換(向量平移法則):y=f(x)按。=(h,k)平移得y=f(x—h)+k,即F(x,y)=0按"=(h,k)

平移得F(x—h,y—k)=0,當(dāng)m>0時(shí)晌右平移，m<0時(shí)，向左平移。當(dāng)n>0時(shí)，向上平移，n<0時(shí)向下平移。

對(duì)于“從產(chǎn)f(x)至Uy=f(x-h)+k”是“左加右減，上加下減”，對(duì)于平移向量“a=(h,k)”是“左負(fù)

右正，上正下負(fù)”。

2、伸縮變換：將尸f(x)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的m倍，得到⑺

x=ax

y=f(x)<y=mf—

[y=，/yVaJ

即一

3、翻折變換：(1)由y=f(x)得到y(tǒng)=|f(x)|,就是把y=f(x)的圖象在x軸下方的部分作關(guān)于x軸對(duì)稱

的圖象，即把x軸下方的部分翻到x軸上方，而原來(lái)x軸上方的部分不變。

(2)由產(chǎn)f(x)得到尸f(|x|),就是把尸f(x)的圖象在y軸右邊的部分作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，即把y

軸右邊的部分翻到y(tǒng)軸的左邊，而原來(lái)y軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變。

第五講指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與基函數(shù)

一、指數(shù)：

1、n次方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的n次方a(n>l,nWN*)那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根，即x"=a，則x叫做

a的n次方根(n>l,nEN*)。

2、n次方根的性質(zhì)：(1)0的門次方根是0。即々歷=0(n>l,ndN*),(2)(④')"=a(ndN*)

(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，聲a,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，J7=|a|

m____

3、分?jǐn)?shù)指數(shù)毒的定義：(1)a"=巧卜>0小〃€曠,41

m1

neN",〃A

aniaA0,m,n

(2),(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意

義。

二、指數(shù)函數(shù):

1、定義：形如產(chǎn)a'(a>0,且a/l)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。

2、指數(shù)函數(shù)產(chǎn)a*(a>0,且aWl)的圖象和性質(zhì):

0<a<l

圖象

性質(zhì)(1)定義域：R值域：(0,+°°)

都

點(diǎn)

z

A1fAo

1lX

\Y1(XA0)

/

X1>XoX

a-;-

1L

\=1(X=0)

X

z

1O

Y1lY

\A1(XY0)

(4)|在R上是增函數(shù)|在R上是減函數(shù)__________________________

三、對(duì)右

1、對(duì)數(shù)的定義：如果""1),那么b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記做10g?'="a>0,a。1),

山定義知負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)。通常以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記做lgN=logu）N。以無(wú)理數(shù)e=

2.71828…為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)。記做帖N=log,N。

2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

M

⑴log“MN=log,,M+log”M⑵log“—=log”M-log“N.

n

（3）log“AT=〃?logaA/,（4）log,,,b=—logab,（M,N,a,b,n,m>-0,a*1）

3、對(duì)數(shù)的恒等式：

1O8w10foJViogka

（l）loga1=0,（2）logaa=l,（3）a?=N,（4）a=N

10g;,N

（5）log“N=,lognb'—』og“c=log.c,（a,b,c,Na0,a,bH1）

log/,alog,a

四、對(duì)數(shù)函數(shù)：

1、定義：形如y=log"x（a>0,a#l）的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì):

a>l0<a<l

圖

象J

J.

/''

性（1）定義域：（0,+°°）,值域?yàn)镽

質(zhì)（2）過點(diǎn)（1,0）與（a,l）

（3）A0（XA1）Y0（XA1）

<=0（X=1）=0（X=1）

Y0（XY1）A0（XY1）

log"Xlog"X

（4）在（0,+°°）上是增函數(shù)在（0,+°°）上是減函數(shù)

3、對(duì)數(shù)函數(shù)y=log"x值>0聲/1）與指數(shù)函數(shù)y=a"（a>0,aN1）互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，

它們的對(duì)應(yīng)法則是互逆的，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱。

4、對(duì)數(shù)有關(guān)的大小比較：（1）類似指數(shù)函數(shù)分為四類：1）同底且大于1,真數(shù)大的對(duì)數(shù)大。2）同底且

小于1,真數(shù)大的對(duì)數(shù)小。3）同真數(shù)且大于1,在x軸同側(cè)時(shí)，底大圖低，（這一點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相反）4）

同真數(shù)且小于1,在x軸同側(cè)時(shí)，底大圖高。（2）基本思路：1）利用函數(shù)的單調(diào)性，2）作差或作商法，3）

利用中間量。4）化同底或化同指數(shù)。5）放縮法。

五、募函數(shù)

1、幕函數(shù)的定義

形如：），=/（￡€/?,a為常數(shù)）的函數(shù)叫基函數(shù)。

2、基函數(shù)的圖象與性質(zhì)

⑴圖象過點(diǎn)（1』），（2）當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)，

（3）圖象不經(jīng)過第四象限。（4）掌握8類常見的事函數(shù)的圖象：y=x°,y=x,y=x2,

22

y=x3,y=x°-,y=x3w,y=x—1,y=x-2,

（5）當(dāng)a>0時(shí)，還經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨冊(cè)增大而增大，

且過點(diǎn)（1,1）后圖象向上方無(wú)限伸展。在第一象限內(nèi)，當(dāng)a>l時(shí)，圖象

是向下凸的，當(dāng)0<a<l時(shí)，圖象是向上凸的。

（6）當(dāng)a<0時(shí)，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨耶J增大而減少，且向上與y軸

無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近。即以坐標(biāo)軸為漸近線。

第六講函數(shù)與方程、零點(diǎn)與二分法

1、函數(shù)y=的零點(diǎn)就是方程/（制=°實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)>=/（制的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即:

方程/（幻=o有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/a）的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/a）有零點(diǎn).

注意：（1）兩個(gè)相同的根只能算一個(gè)零點(diǎn),（2）零點(diǎn)的表示方法不能用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,0）.,

/（x）在［a,3上連續(xù)（即圖象不間斷），段（。）/伍）<0,則/（x）在卜//］上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

可能有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)?！╝）〃6）〉0,/（x）在［a,可上可能無(wú)零點(diǎn)也可能有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)。.

■J、

用二分法求零點(diǎn)只適用于零點(diǎn)左右附近的函數(shù)值異號(hào)的情況。

下圖的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)就無(wú)法通過“二分法”來(lái)求零點(diǎn).

4、指數(shù)函數(shù)y="'（?>i）的增長(zhǎng)》幕函數(shù)（〃>o）的增長(zhǎng)>對(duì)數(shù)函數(shù)y=i°g〃x（。>1）在

區(qū)間（0,+8）上的增長(zhǎng)。

第七講空間幾何體

棱柱、圓柱，棱錐、圓錐，棱臺(tái)、圓臺(tái)，球的概念與分類及性質(zhì)。它們的表面積與體積的計(jì)算。

棱柱：（1）棱柱的概念：如果一個(gè)多面體有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線互相平行。這樣的

多面體叫做棱柱。

（2）、棱柱的分類：1）按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱和直棱柱。側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜

棱柱。側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱，2）按底面邊數(shù)的多少分類:

底面分別為三角形，四邊形，五邊形分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、3）底面是平行四邊形

的四棱柱叫平行六面體，側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體。底面為矩形的直平行六面體叫長(zhǎng)

方體，各棱長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方體叫正方體。注正四棱柱一定是長(zhǎng)方體，但長(zhǎng)方體不一定是正四棱柱，直平行六

面體一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面體。

（3）、棱柱的性質(zhì)：1）棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形,

正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。2）與底面平行的截面是與底面對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。3）過

棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。4）棱柱的側(cè)面積=直截面（垂直于側(cè)棱的截面）的周長(zhǎng)X側(cè)棱

長(zhǎng)，棱柱的體積=底面積又高。

（4）、平行六面體ABCD-AiBiOa的性質(zhì)：1）平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分，2）

AC,=AC.=AB+AD+AA.

平行六面體的四條對(duì)角線的平方和等于各棱的平方和。?“1V'>,3）長(zhǎng)方體的一

條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和。4）若長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與過這一條對(duì)角線的一端

的三個(gè)相鄰面所成的角分別為二，B,Y,則Sin?a+sin?〃+sin27=1,5）長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與共頂點(diǎn)

的三條棱所成的角分別為a,B,7,則Sin?a+sin?,+sii？7=2,6）長(zhǎng)方體的對(duì)角線等于它的外接球

的直徑。7）正方體的內(nèi)切球的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。和正方體各棱切的球的直徑等于正方形的面對(duì)角

線。8）｛平行六面體｝崔｛直平行六面體｝?｛長(zhǎng)方體｝要｛正四棱柱｝9｛正方體｝;

直棱柱的側(cè)面積$=底面周長(zhǎng)x側(cè)棱長(zhǎng)，直棱柱的體積V=底面積x高。

圓柱：一個(gè)矩形繞著一邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體。

$表=S底+S側(cè)=2萬(wàn)廠+?！澳妇€，v=兀/h

棱錐：（1）棱錐的概念：如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形，其余各個(gè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么

這個(gè)多面體叫棱錐。在棱錐中有公共頂點(diǎn)的各三角形叫做棱錐的側(cè)面。過棱錐不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫

棱錐的對(duì)角面。

（2）、錐的分類：按照棱錐底面多邊形的邊數(shù)可將棱錐分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐…

（3）、棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積

的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比。經(jīng)過棱錐的高的中點(diǎn)且平行于底面的截面叫中截面，中截面

的面積是底面面積的1/4。

（4）、正棱錐的概念與性質(zhì)：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的

棱錐叫正棱錐。性質(zhì)：1）正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的

高（叫側(cè)高）也相等。2）正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影、側(cè)棱、底面的外接圓的半徑R、底面

的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形。

2

(5)、棱錐的體積公式：V=§Sh(S是棱錐的底面積，h是棱錐的高)

提醒：全面枳(也稱表面積)是各個(gè)表面面枳之和，故棱柱的全血積=側(cè)面枳+2X底面枳；棱錐的全面

積=側(cè)面積+底面積。

圓錐：一個(gè)直角三角形繞著一邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體。它的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。扇形的弧長(zhǎng)是底面

圓的周長(zhǎng)。扇形的半徑等于母線長(zhǎng)。

N=-jrr2h

,表=S底+S則=nr'+%”母線,3

棱臺(tái)：?個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截，夾在底面與截面間的幾何體叫棱臺(tái)。

圓臺(tái)：一個(gè)直角梯形繞著垂直于底邊的腰旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體。

；乃卜：+代+片)〃

+弓"母線，V=；（S|：+JSM+SJ/Z=

球：(1)、球的概念：與定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球體，簡(jiǎn)稱球。定點(diǎn)叫做球心。定長(zhǎng)叫

做球的半徑。球面：與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面。

(2)、球的截面：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面。球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之

間的關(guān)系：r=^R~~d'。

大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓。小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓。經(jīng)

過球面上兩點(diǎn)的大圓，當(dāng)這兩點(diǎn)與球心不共線時(shí)，有且只有個(gè)。當(dāng)這兩點(diǎn)與球心共線時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)。

(3)球面距離：球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的球面距離。它等于球心

角X半徑。

4,,

_欣3s=4位2

(4)球的體積和表面積公式：V=3

(5)正四面體的邊長(zhǎng)為a,則它的外接球的半徑、內(nèi)切球的半徑、棱切球的半徑分別為

正四面體的高為體積為

41241312J

正方體的邊長(zhǎng)為a,則它的外接球的半徑、內(nèi)切球的半徑、棱切球的半徑分別為

也(各面的中心為頂點(diǎn)的八面體的邊長(zhǎng)為變出對(duì)角線為a

222\2)

2、三視圖與直觀圖的畫法。

1）、直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：己知圖形中平行于橫軸和豎軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變,

平行于縱軸的線段，在直觀圖中其長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。原來(lái)平行的線段仍然平行，原來(lái)相交的線段仍然相

交，但角度可能發(fā)生變化。把直觀圖還原成原來(lái)水平放置的圖形時(shí)，應(yīng)先把與橫軸成45°的線段還原成與

橫軸成直角的線段。

2）、三視圖的畫法：正視圖（從前向后看）、俯視圖（從上往下看）、側(cè)視圖（從左往右看，也叫左視圖）。

正視圖和側(cè)視圖的高度?樣，俯視圖和正視圖的長(zhǎng)度一樣，俯視圖與側(cè)視圖的寬度一樣。即正、側(cè)一樣高,

正、俯一樣長(zhǎng)，俯、側(cè)一樣寬。

第八講點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系。

1、確定平面的4個(gè)公理或定理，（1）不共線的3點(diǎn)確定一個(gè)平面，（2）兩條相交直線確定個(gè)平面，（3）兩條

平行直線確定一個(gè)平面，（4）一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。

確定直線在平面內(nèi)的定理：如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)。

兩個(gè)平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)定理：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則必有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

在同一條直線上。此定理常用來(lái)判斷空間三線共點(diǎn)。

2、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的表示方法。

3、平行公理：平行于同一直線的兩直線互相平行，它反應(yīng)了平行線的傳遞性。注意：相交線和異面直線

沒有傳遞性。

4、等角定理：如果?個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。當(dāng)一邊

平行且方向相同而另一邊的方向相反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ)。可推廣到空間：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和

另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)二面角相等。當(dāng)一個(gè)半平面平行且方向相

同而另一個(gè)半平面的方向相反時(shí)，這兩個(gè)二面角互補(bǔ)。

但注意：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。不可推廣到空間：如

果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)。

5、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。（2）平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公

共點(diǎn)。（3）異面直線：不在任何一個(gè)平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)。兩條異面直線的作圖，常借助于輔助平面。

異面直線的判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

異面直線所成的角（或夾角）的定義與求法：直線a,b是異面直線，經(jīng)過空間一點(diǎn)0,分別引直線a'//

a,bz//b,相交直線a，，b'所成的銳角（直角）叫異面直線a,b所成的角62」，求異面直線的夾

角常用平移法和向量法。

6、異面直線的距離：（1）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線

的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無(wú)數(shù)條。（2）求異面直線的距離的常用方法有:

1）直接找公垂線段而求之。2）轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和平行另一條直線。

3）利用向量法：常利用端點(diǎn)在兩條異面直線上的有向線段在公垂線的方向向量上的投影。如圖：

異面直線上兩點(diǎn)的距離公式：已知兩條異面直線a,b所成的角為6,在a,b上分別取點(diǎn)E,F,已知AB為

…Jd2+m2+n2+2mnCos6

公垂線段，長(zhǎng)度為d,BE=m,AF=n,EF=l貝I」1=、（同側(cè)為減，異側(cè)為加）

7、（1）直線與平面的位置關(guān)系：1）直線在平面內(nèi)，2）直線與平面相交，3）直線與平面平行，其中直

線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。

（2）直線與平面平行的判定：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。簡(jiǎn)

稱為“線線平行，則線面平行

判定直線與平面平行的方法還有：］）面〃/面由ajana//B，2）bA.a,aLb,a（ta=>a//a

直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

交線和這條直線平行，簡(jiǎn)稱為“線面平行，則線線平行”。

（3）直線與平面垂直的概念：如果一條直線和平平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂

直。公理：過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直。

直線和平面垂直的判定：1）一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。2）兩條平

行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直。

直線和平面垂直的性質(zhì)定理：（1）如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都

垂直。（2）如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

8、（1）平面與平面的位置關(guān)系：1）平行—沒有公共點(diǎn)，2）相交—有且只有一條公共直線。兩個(gè)平面

的公共點(diǎn)都在同一條直線上。

（2）兩個(gè)平面平行的判定：1）一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。簡(jiǎn)稱

為“線面平行，則面面平行"，2）推論：如果平面內(nèi)一個(gè)有兩條相交直線和另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行,

那么這兩個(gè)平面平行。3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：1）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

2）兩個(gè)平行平面之間的距離處處相等，夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段也相等。

3）如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另?個(gè)平面。

（3）兩個(gè)平面垂直的判定：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：1）如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)

平面。2）如果兩個(gè)平面垂直，那么從一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線必在第一個(gè)平面內(nèi)。

9、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線

垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這

條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。

10、直線和平面所成的角：平面的?條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成

的角。特別當(dāng)一條直線和平面垂直時(shí)，就說(shuō)直線與平面所成的角是直角，當(dāng)一條直線在平面內(nèi)或和這個(gè)平

面平行時(shí)，我們規(guī)定直線和平面所成的角為0°,所以直線和平面所成的角的范圍是L2」

利用法向量可處理線面角問題

設(shè)6為直線”與平面a所成的角，夕為直線”的方向向量y與平面a的法向量〃之間的夾角，則有

(p=-----0(p=—I-U

2(圖1)或2(圖2)

a內(nèi)的射影。,為AB和m所成的角，目為AB和射影所成的角，％射影AB'和m所成的角，則

Q6.仇

COSu=COS1COS2

7T

重要應(yīng)用：空間兩條異面直線L1與L2所成的角為ar2,過空間一定點(diǎn)［7第L與LI,L2所成的角

///

都是這樣的直線L可作多少條？

分析：(1)若(0,1/2),則這樣的直線L有。條

(2)若°=5則這樣的直線有1條

K-a

(3)若力G(a/2,2),則這樣的直線L有2條

7i-a

⑷若°=2，則這樣的直線L有3條

n-a7t

(5)若夕G(2,2),則這樣的直線L有4條

7C

(6)若A=',則這樣的直線L有1條

12、二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，

從?條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱，

每個(gè)半平面叫做二面角的面，棱為I，兩個(gè)面分別為a,〃的二面角記為

一個(gè)平面垂直于二面角a一1一￡的棱，且與兩個(gè)半平面的交線分別是射線OA,0B,0為垂足，則NAOB

叫做二面角的平面角。

一個(gè)二面角的大小可用它的平面角的大小來(lái)衡量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度。

二面角大小的取值范圍是[0,180°[

計(jì)算二面角的方法：（1）定義法（常根據(jù)三垂線定理先作平面角即自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂

線，再由垂足向棱作垂線，，再解直角三角形）。（2）射影面積法，（3）有平面角向量法（常用基向量法），（4）

法向量法（常用坐標(biāo)法）：a或萬(wàn)一a

利用法向量可處理二面角問題

設(shè)〃尸〃2分別為平面如’的法向量，二面角a-'―/7的大小為°,向量

的夾角為8,則有夕+8="（圖3）或9=甲（圖4）

圖3X/圖4\^I7n

第九講直線與方程

1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線1,如果把x軸繞著交點(diǎn)

按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線1重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為a,那么a就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線1與X軸

重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0。（2）直線的傾斜角的范圍[°，"）。（3）在直線的傾斜角的定義中抓住三個(gè)

重要條件：“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、與直線1重合、最小正角

2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率。直線的斜率

常用k表示,即k=tan示。片90。）.（2）傾斜角為90。的直線沒有斜率。（3）經(jīng)過兩點(diǎn)Pi（xi,x2）,P2（yi,y2）

k=————（X]x2）

的直線的斜率公式為七一“2

3、直線方程的五種形式:（1）點(diǎn)斜式:已知直線過點(diǎn)（X。,。）斜率為k,則直線方程為：y-y"=k（x-x。），

它不包括垂直于x軸的直線。（2）斜截式：已知直線在y軸上的截距為b和斜率k,則直線方程為：y=kx+b,

它不包括垂直于x軸的直線。（3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過（xi,yi）,（x2,y2）兩點(diǎn)，則直線方程為：

y一月_Xi

乃-必々一再，它不包括垂直于坐標(biāo)軸（包括x,y軸|）的直線。（4）截距式：已知直線在X軸和y

"=1

軸上的截距為a,b,則直線方程為：?b,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線。

（5）一般式：任何直線均可寫成：Ax+By+C=O（A,B不同時(shí)為0）的形式。

在求直線方程時(shí)，要注意斜率是否存在，利用截距式時(shí)，不能忽視截距為0的情形，同時(shí)要區(qū)分“截距”

和''距離"?！敖鼐唷辈皇蔷嚯x，可正可負(fù)可為0。

4、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：（1）若點(diǎn)P（X。,。）在直線上，則Axo+Byo+C=0.（2）若點(diǎn)P（x。,。）不在直

版0+為0+C|

線上，則Axo+Byo+CWO,此時(shí)點(diǎn)P（x。,。）直線的距離d=+B',

|G-

（3）由此可得，兩平行線”:Aix+Biy+Ci=0,12：A2x+B2y+C2=0,間的距離為d="丁記

5、直線與直線的位置關(guān)系：（1）斜率存在的兩直線：”:y=k1x+b1,12：y=k2x+b2,有若U〃12<=>k1—

k2,且blWb2,若||JJ2,=k'k2=-l,若11與12相交=k】Wk2,若「與12重合0H=k2,

b=b2。（2）一般的兩直線：「:Aix+Biy+Ci=0,12：A2x+B2y+C2=0,有若「〃12OA'B2-A2B'

=0,BK2-B2OWO,（或A】C2-A2ONO）,若H_L12,OA'2+B'B2=0,若U與12相交0

A'B2-A2Bi#0,若li與12重合=AiB2-A2B>=0,且B（2-B20=0,且A^C2—A2C'

=0

6、到角和夾角公式：（i）11到12：指直線ii繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線12重合所轉(zhuǎn)的角e,ee（0,萬(wàn)）

k,—3（jr~\h_k[

■-2-10,00,-21

且taneJ+匕七（kik2W-l）.⑵I與12的夾角I2」且fan%|1+桃2|（qk2￥-1）。

7、直線方程的參數(shù)形式：

過點(diǎn)P（x。,%）且傾斜角為a的直線的參數(shù)方程是「=x°+'8sa

[y=yo+fsma

卜|表示點(diǎn)Q（x,y）與點(diǎn)P（%,%）間的距離,即M=|PQ|。

過點(diǎn)P（x0,y。）的直線的參數(shù)方程是力為常數(shù)，f為參數(shù)），

卜|表示點(diǎn)Q（x,y）與點(diǎn)P（x。,光）間的距離的必萬(wàn)倍，即卜|=Ja2+/|pQ卜

直線的參數(shù)方程常用來(lái)解決過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交的問題。

8、直線的極坐標(biāo)方程。

⑴過極點(diǎn)且傾斜角為4的直線方程：0=00,

(2)過點(diǎn)(a,0)且垂直于極軸的直線方程：2cos6=a,

(3)過點(diǎn)，,且平行于極軸的直線方程：psin"b,

(4)過點(diǎn)3,〃)且與極軸成a角的直線方程：x?sin(a-6>)=posin(a-65)}

9、直線的方向向量：

⑴直線Ax+By+C=0的一個(gè)方向向量為Z=(-5,A),

(2)直線丫=1?+13的一個(gè)方向向量為￡=(1,4)，

過A點(diǎn)且以3為方向向量的直線L為麗=況+式(向量式)P為直線L上任意一點(diǎn)。

第十講圓與方程

1、圓的方程的四種形式：⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(a")+(>叫=匕圓心是("⑼泮徑是"特別當(dāng)

圓心是(0,0),半徑為r時(shí)，X+)'=',(2)圓的一般方程：

x2+y2+Dv+Ey+1F=o,⑴當(dāng)D2+E2—4F>O時(shí)，表示圓心在［一告，一日)

半徑為gJ。?+力一4尸的圓。(2)當(dāng)。2+干一4尸=0時(shí),表示點(diǎn)(一修，一向］

(3)當(dāng)。2+七2-4尸<0時(shí),不表示任何圖形。

-.(。為參數(shù))

(3)圓的參數(shù)方程：圓心在(a,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程是="+

為參數(shù)，，為半徑)

特別當(dāng)圓心是原點(diǎn)時(shí)，〔》=〃sin,

(4)

以A(x”x),8(X2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是：(x-%)(x-X2)+(y-必)(>-%)=0

2、

圓的切線方程：過圓/+>2=/上一點(diǎn)M(X0,%)的切線方程是XoX+yoy=r2,

過圓(x-a)’+(廠13丫=/上一點(diǎn)Mg,%)的切線方程是-a)(x—a)+(y()-b)(y-/?)=r2,

從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件來(lái)求。過兩切點(diǎn)的直線方程的求

法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程。

3、

圓的弦長(zhǎng)問題常用弦心距d,弦長(zhǎng)的一半會(huì)及圓的半徑r所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解:

4、

圓與圓的位置關(guān)系：已知兩圓的圓心分別為0〃02,半徑分別為不6

（1）當(dāng)0］。2＞八+2時(shí)，兩圓外離,（2）當(dāng)0］。2=6+&時(shí)，兩圓外切，

（3）當(dāng)斗一弓（OR＜6+弓時(shí)，兩圓相交,（4）當(dāng)0Q2=｛一為時(shí)，兩圓內(nèi)切

（5）當(dāng)04002＜八一6時(shí)，兩圓內(nèi)含。

公切線的條數(shù)分別為4,3,2,1。

5、

圓的公切線方程與公共弦所在的直線方程：

22

圓C［：x'+V+OiX+Eiy+F］=0,圓C2：x+y+D2x+E2y+F2-0

它們的內(nèi)公切線方程或公共弦所在的直線方程為：

（D-D2）%+（￡,-E2）y+F1-F2=0

第十一講算法初步

算法的概念：在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決“某一類”問題的“明確”和“有限”的步驟。

它有下面的特點(diǎn)：通用性（適用于某一類問題的所有個(gè)體，而不是只用來(lái)解決一個(gè)具體問題），可行性（算法

應(yīng)有明確的步驟一步一步地引導(dǎo)計(jì)算機(jī)進(jìn)行并且能夠得到最終結(jié)果），明確性（算法的每一個(gè)步驟必須明確

—或者由規(guī)則直接確定，或者由上一步的結(jié)果確定），有限性（算法應(yīng)由有限步組成）。

程序框圖又稱“流程圖”，是一種用程序框、流程線、及文字說(shuō)明來(lái)表示算法的圖形?；镜某绦蚩蛴校?/p>

終端框（起止框），輸入、輸出框，處理框（執(zhí)行框），判斷框，其中起止框是任何程序框圖中不可缺少的。

算法的三種基本的邏輯結(jié)構(gòu)。任何算法都是由順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)三種基本的邏輯結(jié)構(gòu)組成。

順序結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟所組成，是任何一個(gè)算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)。一個(gè)算法中，算法的

流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，條件結(jié)構(gòu)就是處理這各過程的結(jié)構(gòu)。一些算法中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處

開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情形，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體。循環(huán)結(jié)

構(gòu)分為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)（滿足條件循環(huán)）和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)（不滿足條件循環(huán)）。循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。

任何一種程序都包含五種基本的算法語(yǔ)句，它們是輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句。

輸入語(yǔ)句的一般格式是INPUT"提示內(nèi)容”，變量。其作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能，輸出語(yǔ)句的一般

格式是：PRINT"提示內(nèi)容”，表達(dá)式。其作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能。賦值語(yǔ)句的一般格式是：變量

=表達(dá)式，其作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量。