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備課資料

［備用習題］

1.以下各式中成立且結果為最簡根式的是()

A上軍=痂

G行

D.(V5-V125)3=5+125V125-2癢V125

答案：B

2.對于a>O,r,sdQ,以下運算中正確的是()

A.a'.aWsB.(ar)s=arsC.(-)'=a'-bsD.a'b-(ab)^

b

答案：B

3.式子、仁2=成立的充要條件是()

Vx-1A/X-1

x—2

A.----->0B.x/1C.x<lD.x>2

x—1

分析：方法一：

要使式子、仁2=成立，需x-l>0,x-2K),即x>2.

Vx-1

右X22,則式子J----=/成".

VX-1yjx-\

lx—2ylx—2

從而x>2是式子、上」=半二成立的充要條件.故選D.

Vx-i

方法二：

Y—2

對A,式子——>0連式子成立也保證不了，尤其x-2<0,x-l<0時式子不成立.

X-1

對B,x-l<0時式子不成立.

對C,x<l時Jx-1無意義.

對D正確.

答案：D

解：-^b-(2-\/b-1)=J(y/lj-])-=yfb-l(l<b<2).

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5.計算V2+V5+V2-V5.

解：令x=#2+百+#2-百,

兩邊立方得X3=2+75+2Q+3^2+75*V2-V5?(^2+75+^2-75),即

X3=4-3X,X3-3X+4=0.

(X-1)(X2+X+4)=0.

21215

?.x-+x+4=(x+—)+—>0,

24

x-l=0,EPx=l.

V2+V5+V2-V5=1.

第二章基本初等函數（I）

本章教材分析

教材把指數函數、對數函數、基函數當作三種重要的函數模型來學習,強調通過實例和圖象

的直觀，揭示這三種函數模型增長的差異及其關系,從而讓學生體會建立和研究一個函數模型

的基本過程和方法，學會運用具體的函數模型解決一些實際問題.

本章總的教學目標是:了解指數函數模型的實際背景，理解有理數指數事的意義，通過具體實

例了解實數指數暴的意義，掌握累的運算;理解指數函數的概念和意義，掌握f（x）=a'的符號及

意義,能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的有關性質（單

調性、值域、特別點），通過應用實例的教學，體會指數函數是一種重要的函數模型;理解對數

的概念及其運算性質，了解對數換底公式及其簡單應用，能將一般對數轉化為常用對數或自然

對數,通過閱讀材料，了解對數的發現歷史及其對簡化運算的作用;通過具體函數，直觀了解對

數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，掌握f（x）=logux的符號及意義，體會

對數函數是一類重要的函數模型;能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了

解對數函數的有關性質（單調性、值域、特殊點）；知道指數函數y=a'與對數函數y=logux

互為反函數（a>0,a聲），初步了解反函數的概念和f7x）的意義;通過實例了解基函數的概念,

結合五種具體函數y=x,y=x2,y=x1y=x」,y=x2的圖象，了解它們的變化情況.

本章的重點是三種初等函數的概念、圖象及性質，要在理解定義的基礎上，通過幾個特殊函數

圖象的觀察，歸納得出一般圖象及性質，這種由特殊到一般的研究問題的方法是數學的基本方

法.把這三種函數的圖象及性質之間的內在聯系及本質區別搞清楚是本章的難點.

教材注重從現實生活的事例中引出指數函數概念，所舉例子比較全面，有利于培養學生的思想

素質和激發學生學習數學的興趣和欲望.教學中要充分發揮課本的這些材料的作用，并盡可能

聯系一些熟悉的事例，以豐富教學的情境創設.在學習對數函數的圖象和性質時，教材將它與

指數函數的有關內容作了比較，讓學生體會兩種函數模型的增長區別與關聯，滲透了類比思想.

建議教學中重視知識間的遷移與互逆作用.教材對反函數的學習要求僅限于初步的知道概念,

目的在于強化指數函數與對數函數這兩種函數模型的學習，教學中不宜對其定義做更多的拓

展.教材對新函數的內容做了削減，僅限于學習五種學生易于掌握的幕函數，并且安排的順序

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向后調整，教學中應防止增加這部分內容，以免增加學生的學習負擔.通過運用計算機繪制指

數函數的動態圖象，使學生進一步體會到信息技術在數學學習中的作用,教師要盡量發揮電腦

繪圖的教學功能.教材安排了“閱讀與思考”的內容，有利于加強數學文化的教育，應指導學生

認真研讀.

本章教學時間約需14課時，具《本分配如下(僅供參考)

2.1指數函數約6課時

2.2對數函數約6課時

2.3幕函數約1課時

本章復習約1課時

2.1指數函數

2.1.1指數與指數塞的運算

整體設計

教學分析

我們在初中的學習過程中，已了解了整數指數幕的概念和運算性質.從本節開始我們將在回顧

平方根和立方根的基礎上,類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數.進而推

廣到有理數指數，再推廣到實數指數，并將幕的運算性質由整數指數慕推廣到實數指數慕.

教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函數的實際背景，先給出兩個具體例子:GDP的增

長問題和碳14的衰減問題.前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數指數累，也讓學生感

受到其中的函數模型，并且還有思想教育價值.后一個問題讓學生體會其中的函數模型的同時,

激發學生探究分數指數幕、無理數指數辱的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊.

本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想(指數嘉運算律的推廣)、類比

的思想、逼近的思想(有理數指數幕逼近無理數指數幕)、數形結合的思想(用指數函數的圖象

研究指數函數的性質)等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值.

根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量,盡量利用計算器和計算機創設教學

情境,為學生的數學探究與數學思維提供支持.

三維目標

1.通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數基的概念，進而學習指數嘉的性質.掌握分數

指數幕和根式之間的互化，掌握分數指數暴的運算性質.培養學生觀察分析、抽象類比的能力.

2.掌握根式與分數指數塞的互化，滲透“轉化”的數學思想.通過運算訓練,養成學生嚴謹治學，

一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務于生活的哲理.

3.能熟練地運用有理指數基運算性質進行化筒、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算

能力.

4.通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數塞的運算性質.展示函數圖象，讓學生通過觀察，

進而研究指數函數的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美.

重點難點

教學重點：

(1)分數指數基和根式概念的理解.

(2)掌握并運用分數指數基的運算性質.

(3)運用有理指數基性質進行化簡、求值.

教學難點：

(1)分數指數基及根式概念的理解.

(2)有理指數基性質的靈活應用.

課時安排

3課時

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教學過程

第1課時指數與指數幕的運算(1)

導入新課

思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它

們所處的年代?(考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題

我們不太清楚)考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的.教師板書本節課題:指

數函數——指數與指數基的運算.

思路2.同學們,我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方

根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題:指數函數——指數與指數事的運算.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)什么是平方根？什么是立方根？一個數的平方根有幾個，立方根呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根據上面的結論我們又能得到什么呢？

(3)根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？

(4)可否用一個式子表達呢？

活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類

比平方根、立方根的定義解釋上面的式子,對問題②的結論進行引申、推廣，相互交流討論后

回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維.

討論結果：

(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如:4的平方根為±2,

負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如:-8的立方根

為-2.

(2)類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等于a,則這個數叫a的四次方根.一個數的五

次方等于a,則這個數叫a的五次方根.一個數的六次方等于a,則這個數叫a的六次方根.

(3)類比(2)得到一個數的n次方等于a,則這個數叫a的n次方根.

(4)用一個式子表達是，若xn=a,J)llJx叫a的n次方根.

教師板書n次方根的意義：

一般地，如果x“=a，那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>l且nGN.

可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出問題

(1)你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目).

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；

⑥0的7次方根；⑦戰的立方根.

(2)平方根，立方根,4次方根,5次方根,7次方根，分別對應的方根的指數是什么數，有什么特

點?4,±8,16,-32,32,0"分別對應什么性質的數,有什么特點？

(3)問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零,結論有一個的，也有兩個

的，你能否總結一般規律呢？

(4)任何一個數a的偶次方根是否存在呢？

活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的

n次方等于a,及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的特點,對問題

(2)中的結論,類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生

提示引導考慮問題的思路.

討論結果：

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(1)因為±2的平方等于4+2的立方等于8+2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5

次方等于-32,0的7次方等于0"的立方等于a2所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32

的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a$的立方根分別是±2,±2,±2,2,-2,0,az.

(2)方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數.總的來看，這些數包括正數，負數和零.

(3)一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個,是互為相反數.0的任何次

方根都是0.

(4)任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在,因為沒有一個數的偶

次方是一個負數.

類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：

①當n為偶數時,a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用標表示,如果是負數,

負的n次方根用-標■表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成土板(a>0).

②n為奇數時,正數的n次方根是一個正數,負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用

符號磊表示.

③負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字語言可用下面的式子表示：

[〃為奇數,a的〃次方根有一個為伍

a為正數?〈

.〃為偶數，。的〃次方根有兩個擔標.

小谷物[〃為奇數。的〃次方根只有一個為萬，

a為負數

[〃為偶數，。的〃次方根不存在

零的n次方根為零,記為我=0.

可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例.

思考根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？

活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握,即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根,零的任

何次方根，這樣才不重不漏,同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根,立方根,4次

方根等，看是否有意義,注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題.

解答：答案不唯一，比如,64的立方根是4,16的四次方根為±2,-27的5次方根為卬-27,而-27

的4次方根不存在等.其中加幣也表示方根，它類似于Va的形式，現在我們給式子'4a一個

名稱——根式.

根式的概念：

式子F叫根式，其中a叫被開方數,n叫根指數.

如之一27中,3叫根指數,-27叫被開方數.

思考

也”表示a"的n次方根，等式一定成立嗎？如果不一定成立,那么此等于什么？

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活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論.教師點撥,

注意歸納整理.

(如y(-3)3=百工7=-3,#(-8)4斗8|=8).

解答：根據n次方根的意義，可得:(布)"=a.

通過探究得到：n為奇數，叱=a.

n為偶數?二同二卜”20'

a,a<0.

因此我們得到n次方根的運算性質：

①(④')n=a冼開方，再乘方(同次)，結果為被開方數.

②n為奇數,也"=a.先奇次乘方,再開方(同次)，結果為被開方數.

n為偶數先偶次乘方,再開方(同次)，結果為被開方數的絕對值.

-a,a<0,

應用示例

思路1

例1求下列各式的值：

32

⑴V(-8)；(2)7(-10);(3)y(3—萬)4；(4)J("份2(a>b)

活動：求某些式子的值,首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識,關鍵是

啥,搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析.觀察學生的解題情況，讓學生展示結果,抓住學

生在解題過程中出現的問題并對癥下藥.求下列各式的值實際上是求數的方根,可按方根的運

算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然后看根指數是奇數還

是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數.

解：(1)而于=-8;

(2)J(-10)2=10；

(3)1(3-萬)"=71-3;

點評：不注意n的奇偶性對式子^的值的影響，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解

的基礎上，記準，記熟，會用，活用.

變式訓練

求出下列各式的值：

(l)V^；

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⑵V（3a—3）3（aSl）;

⑶」（3。-3）4.

解：（l）V（-2）7=-2,

⑵y（3a-3）3（a<l）=3a-3,

（3）V（3a-3）4=<3Q-3,Q21,

3-3a,a<1.

點評：本題易錯的是第⑶題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解.

思路2

例1下列各式中正確的是()

(l)V^'=a;

(2)V(-2)2=V72;

⑶a』；

(4)'V(V2-1)5=7(V2-1).

活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質,應首先考慮根據方根的意義

和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數,嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的

實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答.

解：⑴叱=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫后7=|a|,故本題錯.

(2)在方，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論

為［(-2)2=正，故本題錯.

(3)a°=l是有條件的，即a川,故本題也錯.

(4)是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故本題正確.所以答案選(4).

點評：本題由于考查n次方根的運算性質與運算順序,有時極易選錯，選四個答案的情況都會

有，因此解題時千萬要細心.

例73+272+73-272=

活動：讓同學們積極思考，交流討論,本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容

是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號,根據方根的運算求出結果是解題的關鍵,

因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了,從何處入手?需利用和的平方公

式與差的平方公式化為完全平方式.正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路.

解：73+272=71+2V2+(V2)2=7(1+V2)2=V2+1.

73-2V2=7（V2）2-2V2+1=7（V2-1）2=V2-1.

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所以)3+2直+73-272=272.

點評：不難看出)3-2/與)3+2后形式上有些特點,即是對稱根式，是以±2詬形式

的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式.

思考

上面的例2還有別的解法嗎？

活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式,有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的

特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是+,一個是去掉一層根號后,相加正好抵消.同時

借助平方差，又可去掉根號,因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可,探討得另一種

解法.

另解：利用整體思想,x=)3+24+，3-24,

兩邊平方得X2=3+2V2+3-2V2+2(飛3+26)(，3-2拒)=6+27fW=6+2=8,所

以x=2V2.

點評：對雙重二次根式,特別是形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子

化成一個完全平方式，問題迎刃而解,另外對+2詬±以-2赤的式子，我們可以把它

們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解.

變式訓練

若yja2-2a+l=a-l,求a的取值范圍.

解：因為Va2-2a+l=a-1,而Ja?-2a+1=Q(a-1)2=|a-1|=a-1,

即a-l>0,

所以吟1.

點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵.

知能訓練

(教師用多媒體顯示在屏幕上)

1.以下說法正確的是()

A.正數的n次方根是一個正數

B.負數的n次方根是一個負數

C.0的任何次方根都是零

D.a的n次方根用我'表示(以上n>l且neN).

答案：C

2.化簡下列各式：

(1)V64;(2)V(-3)2;(3)叱；(4)；(5)(僅7尸.

答案：⑴2;(2)M;(3)X2;(4)|X|77；(5)|x-y|.

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3.計算77+740+"屈=______.

解：g+VZU+J7-痂

=7（V5）2+2V5?V2+（V2）2+7（V5）2-2V5?V2+（V2）2

=-J（V5+V2）"+（V5—V2）-

=45+42+45-4^2

=2y/5.

答案：2Vs

拓展提升

問題：叱=2與（標）1'=2（n>l,neN）哪一個是恒等式，為什么?請舉例說明.

活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論,解決這一問題要緊扣n次方根的定

義.

通過歸納，得出問題結果，對a是正數和零,n為偶數時,n為奇數時討論一下.再對a是負數,n為

偶數時,n為奇數時討論一下，就可得到相應的結論.

解答：①（后）n=a（n>l,n￡N）.

如果x"=a（n>l,且nGN）有意義，則無論n是奇數或偶數,x="Z一定是它的一個n次方根,

所以（底）n=a恒成立.

例如：（W）4=3,（V-5）3=-5.

②廂1當〃為奇魏

1|a|,當〃為偶數

當n為奇數時,a6R,M?=2恒成立.

例如：VF=2，V（-2）5=-2.

當n為偶數時,aeR,a）0,加7表示正的n次方根或0,所以如果a也那么也F=a.例如療=3,

V0=0；如果a<0,那么標=|a|=-a,如而了=籽=3.

即（八'na）"=a（n>l,nGN）是恒等式，也F=a（n>l,nGN）是有條件的.

點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解.

課堂小結

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學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上.

1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根，其中n>l且n^N.用式子后表示,式子后叫根式，其中

a叫被開方數,n叫根指數.

(1)當n為偶數時,a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用后表示,如果是負數,

負的n次方根用-后表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±42(a>0).

(2)n為奇數時,正數的n次方根是一個正數,負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用

符號爪表示.

(3)負數沒有偶次方根.。的任何次方根都是零.

2.掌握兩個公式：n為奇數時，(底)"=a,n為偶數時，""*=一'”"

-a,a<0.

作業

課本P59習題2.1A組1.

補充作業：

1.化簡下列各式：

(1)V81;(2)甲二變;(3)V?；(4)^a2b4.

解：(1而=療=療=莎；

(2只/岳-行~亞；

⑶―V^￥=X2；

(4)田齊閾(I。")?=五|?。?

2.若5<a<8,則式子Jm-5)2-J(a-8)2的值為.

分析:因為5<a<8,所以J(a-5)2-J(a-8/=a-5-8+a=2a-13.

答案：2a-13.

3."5+2斯+75-276=.

分析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出,由此提

示我們想辦法去掉一層根式，

不難看出75+276=7(3+2)2=V3+V2.

同理75-276=7(3-2)2=6-JL所以45+2布+加-2庭=273.

答案:2百

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設計感想

學生已經學習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由于方根和根式

的概念和性質難以理解,在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例,根式爪的講

解要分n是奇數和偶數兩種情況來進行,每種情況又分a>O,a<O,a=O三種情況，并結合具體例子

講解，因此設計了大量的類比和練習題目,要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要

用多媒體信息技術服務教學.

(設計者：路致芳)

第2課時指數與指數募的運算(2)

導入新課

思路1.碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14,并與氧結合成二氧化碳

后進入所有活組織，先為植物吸收,再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸

收碳14在機體內保持一定的水平.而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14,其組織內的碳14

便以約5730年的半衰期開始衰變并消失.對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的

含量，便可推斷其年代(半衰期:經過一定的時間，變為原來的一半).引出本節課題:指數與指數

幕的運算之分數指數事.

思路2.同學們，我們在初中學習了整數指數累及其運算性質，那么整數指數累是否可以推廣

呢？答案是肯定的.這就是本節的主講內容，教師板書本節課題——指數與指數塞的運算之分

數指數幕.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)整數指數累的運算性質是什么？

(2)觀察以下式子，并總結出規律：a>0,

___________10

①=2f=a2=a5;

_______8

②好=7^?=a4=a5;

___________12

③叱=加斤=2&了；

________

?y[a^==a，=a2.

(3)利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？

療而，版,VF(x>0,m,nGN：且n>1).

(4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？

(5)你能推廣到一般的情形嗎？

活動：學生回顧初中學習的整數指數事及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步

的指數之間的關系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類

比(2)的規律表示，借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵

提示.

討論結果：⑴整數指數塞的運算性質：an=aaa；.a,a°=l(a#0);0°無意義；

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-n1/mnm+n/m、nmn/n、mmn/\nn?n

a=—(a邦);a-a=a;(a)=a;(a)=a;(a?b)=ab.

an

⑵①a?是3°的5次方根；②是@8的2次方根；③a?是的4次方根；④a$是3°的2次

_____m8_____莊___20

方根.實質上①訝=a3，②"=ak③叱=2了，④0=a^結果的a的指數是2,4,3,5

分別寫成了形式上變了，本質沒變.

5245

根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以

寫成分數作為指數的形式(分數指數塞形式).

357____m

(3)利用(2)的規律,VF=5\V7?=7\Va?=a\VF=x".

357

(4)53的四次方根是57,75的三次方根是7),a7的五次方根是atx111的n次方根是x

結果表明方根的結果和分數指數基是相通的.

7

(5)如果a>0,那么臚的n次方根可表示為后m=a7,即a=Va"W^nGN^l).

綜上所述，我們得到正數的正分數指數幕的意義，教師板書：

規定:正數的正分數指數基的意義是一=UZm(a>o,m,nWN*,n>l).

提出問題

①負整數指數幕的意義是怎樣規定的？

②你能得出負分數指數幕的意義嗎？

③你認為應怎樣規定零的分數指數募的意義？

④綜合上述，如何規定分數指數基的意義？

⑤分數指數累的意義中，為什么規定a>0,去掉這個規定會產生什么樣的后果？

⑥既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數基的運算性質是否也適

用于有理數指數累呢？

活動：學生回想初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數幕的意義和負

整數指數事的意義來類比,把正分數指數基的意義與負分數指數塞的意義融合起來，與整數指

數累的運算性質類比可得有理數指數幕的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具

體的實例說明a>0的必要性,教師及時作出評價.

討論結果：①負整數指數基的意義是:晨三二但卻加右寸.

②既然負整數指數基的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數累的意義可得正數的負分

數指數塞的意義.

上1I

規定:正數的負分數指數累的意義是am----=,——(a>O,m,neN,n>l).

Jw7

③規定:零的分數指數基的意義是:零的正分數次基等于零，零的負分數指數事沒有意義.

④教師板書分數指數基的意義.分數指數累的意義就是：

n__

正數的正分數指數基的意義是ai=M/(a>O,m,nCN,n>l),正數的負分數指數'幕的意義是

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」一=rL(a>O,m,nGN*,n>l),零的正分數次幕等于零，零的負分數指數累沒有意義.

a'"=

⑤若沒有a>0這個條件會怎樣呢?

12

如(一1)5=3一1=一1,(一1~=6(-11=1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果,這只說明分

數指數事在底數小于零時是無意義的.因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大于零,

2

如無a>0的條件，比如式子3a2=|a|彳,同時負數開奇次方是有意義的，負數開奇次方時,應把負

號移到根式的外邊，然后再按規定化成分數指數累，也就是說，負分數指數慕在有意義的情況

下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上.

⑥規定了分數指數幕的意義后,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數.

有理數指數累的運算性質:對任意的有理數r,s,均有下面的運算性質：

(1)ar-as=a'+s(a>O,r,seQ),

(2)(ar)s=ars(a>O,r,seQ),

(3)(a-b)r=arb'(a>O,b>O,reQ).

我們利用分數指數哥的意義和有理數指數塞的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題.

應用示例

思路1

f-11|6—

例1求值:①83;@252③(一尸;①(—)4.

281

活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用塞的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題

目要求，把底數寫成事的形式,8寫成23,25寫成52,1寫成2","寫成(2))利用有理數事的

2813

運算性質可以解答，完成后,把自己的答案用投影儀展示出來.

222

解：①8H=(23戶=23=22=4;

②25"=(5?)《=5二5三-；

③(；尸=(2"尸=2"x(-5)=32;

,、16424x(-2)2327

④(一)4=(一)4=(-)-3=—.

81338

點評：本例主要考查基值運算,要按規定來解.在進行基值運算時，要首先考慮轉化為指數運算,

2

而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如8三=除=廂=4.

例2用分數指數基的形式表示下列各式.

a3-4a;a2-(a>0).

活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數幕,再由幕的運算性質來運算,

根式化為分數指數累時,要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序,學生討論交流自己的

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解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結.

解：^-4a=^-a1=a+1=a1■,

22+』?

a2-=a2a=a;

______1I412

Ja\a=(a-aW)5=(a))5=a3.

點評：利用分數指數幕的意義和有理數指數幕的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根

式化為分數指數累，再由嘉的運算性質來運算.對于計算的結果,不強求統一用什么形式來表

示,沒有特別要求，就用分數指數累的形式來表示，但結果不能既有分數指數又有根式,也不能

既有分母又有負指數.

例3計算下列各式(式中字母都是正數)：

211115

(1)(2a3b2)(-6a2b3)+(-3a6b3)；

(2)(m4n8產

活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析,四則運算的順序是先算乘方，再算乘除,

最后算加減，有括號的先算括號內的，整數基的運算性質及運算規律擴充到分數指數幕后，其

運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交

流,其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注

意符號，第(2)小題是乘方運算,可先按積的乘方計算，再按基的乘方進行計算,熟悉后可以簡

化步驟.

21￡_5

解：(1)原式=[2x(-6)+(-3)]a3+26b2+36=4ab()=4a；

1--L1x8--x8//

(2)(m4n8)8=(m4)8(n8)8=m4n8=m2n、'=——.

n

點評：分數指數暴不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法.有了分數指數累，就可把根式

轉化成分數指數嘉的形式，用分數指數事的運算法則進行運算了.

本例主要是指數基的運算法則的綜合考查和應用.

變式訓練

求值：

⑴明,正;

⑵3

11]+2」+!

解：⑴3市?次.小=3.35.3,3&=3+2+3+6=32=9；

44

cr34々334?3"(加3"_92

27m-3m-m92-4

⑵=(Wz=(Wz=-mn

ii25/?25

(53)6(〃6尸

例4計算下列各式:

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(1)(V25-V125HV25;

2

(2)―^-=(a＞0).

y[a

活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底.利用分數指數累計算，在第(1)

小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數事再計算,這樣就

簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數基后再由運算法則計算，最后寫出解答.

112^231

解：⑴原式=(253-1252)+254=(53-52)4-52

23_21

=532-522=56-5^^5-5;

思路2

例1比較J5,朗IV而的大小.

活動：學生努力思考，積極交流，教師引導學生解題的思路，由于根指數不同，應化成統一的根指

數,才能進行比較，又因為根指數最大的是6,所以我們應化為六次根式，然后，只看被開方數的

大小就可以了.

解：因為==而125＞123＞121,所以包莊＞為為＞心而.

所以后＞vi》＞vn.

點評：把根指數統一是比較幾個根式大小的常用方法.

例2求下列各式的值：

(2)2V3XVL5XV12.

活動：學生觀察以上幾個式子的特征，既有分數指數累又有根式，應把根式轉化為分數指數累

后再由運算法則計算，如果根式中根指數不同，也應化成分數指數累,然后分析解答，對(1)應由

里往外481x6=心、(33"，對⑵化為同底的分數指數累，及時對學生活動進行評價.

解：(/lx正

,_L_L4+Z11417

=[34x(33)2]4=(3%)4=(33)4=36=3桁;

q!1]+!+!111

(2)243xVk5xV12=2x32x(1-)3x(3x22)6=2+^3-32+3+6=2x3=6.

例3計算下列各式的值:

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3111

⑴[(a2bV-(ab-3)2(b2)7]3;

1+aQy[a+a*

2--

(3)(Va3后+“3.

活動：先由學生觀察以上三個式子的特征，然后交流解題的方法,把根式用分數指數累寫出,

利用指數的運算性質去計算，教師引導學生,強化解題步驟，對(1)先進行積的乘方，再進行同底

數基的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再進行同底數基的乘法，對(2)把分數指數化為根式,

然后通分化簡，對(3)把根式化為分數指數，進行積的乘方，再進行同底數基的運算.

-2.11>Z11_111+1_2_1+Z12

解：⑴原式=(a2b2)3(ab-3)6-(b2)3=a2b3a5b2b6=a26b326=a3b°=a3;

3J__371

另解：原式=(a2b2a2b2-b

31.37112

=/工h8戶=渝。)。3;

11/—,1

1H—廣7at--1=I-

(2)原式=_旦_______Ya+1=」______________〃+l=-L(「%)=

1+y/uQ-]4a(a-l)4a4aa-\

-2_24a

y[a{a-1)a(l-a)

_L21_2_1_3￡]

(3)原式=(a2b3)^(bV)2=a5b52a2=a^b~2+2=a'=-.

a

例4已知a>0,對于0夕0,1'6+,式子(g'嚴(上)，能化為關于a的整數指數幕的情形有幾

yja

種？

活動：學生審題，考慮與本節知識的聯系，教師引導解題思路，把根式轉化為分數指數幕后再由

運算法則計算，即先把根式轉化為分數指數幕，再進行哥的乘方，化為關于a的指數塞的情形,

再討論，及時評價學生的作法.

[8-rr8-rr16-3r

解：(產?(77=),=a2.a*=a4”=a4.

16-3r能被4整除才行，因此r=0,4,8時上式為關于a的整數指數幕.

點評：本題中確定整數的指數塞時，可由范圍的從小到大依次驗證，決定取舍.利用分數指數累

進行根式運算時，結果可以化為根式形式或保留分數指數累的形式.

例5已知f(x)=ex—e-x,g(x)=ex+e'x.

(1)求[f(X)]2—[g(x)]2的值；

(2)設f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求g('+))的值.

g*-y)

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活動：學生觀察題目的特點，說出解題的辦法,整體代入或利用公式，建立方程，求解未知，如果

學生有難度，教師可以提示引導，對(1)為平方差,利用公式因式分解可將代數式化簡，對(2)難

以發現已知和未知的關系，可寫出具體算式，予以探求.

解：(1)[f(x)]2-Eg(x)]2=[f(x)+g(x)].Ef(X)-g(x)]

=(e、-e"+e'+e-")(eX-e'-eX-e')=2e"(-2e'x)=—4e°=-4;

另解：⑴[f(x)]2-[g(x)]2=(ex-ex)2-(ex+es)2

=e2x-2exe-x+e2x-e2x-2exex-e-2x

=-4e,-x=-4e°=-4;

(2)f(x)-f(y)=(e'—e')(ey—e-y)=ex+y+e'<x4>l—e'-y—-g(x+y)—g(x—y)=4,

同理可得g(x)g(y)=g(x+y)+g(x—y)=8,

得方程組p+y)-g(X7)=4,解得g(x+y)=6,g(x-y)=2.

g(x+y)+g(x-y)=8,

g(x+y)6

所以=-=3,

g(x-y)2

點評：將已知條件變形為關于所求量g(x+y)與g(x-y)的方程組，從而使問題得以解決,

這種處理問題的方法在數學上稱之為方程法，方程法所體現的數學思想即方程思想，是數學中

重要的數學思想.

知能訓練

課本P54練習1、2、3.

[補充練習]

教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發，對做得好的同學給予表

揚鼓勵.

1.(1)下列運算中，正確的是()

A.a2a3=a6

2332

B.(-a)=(-a)

C.(Va-l)0=0

D.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①y(—4)2",②](一4產十|③療，④V7(各式的nCN,aGR)中，有意義的是

()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(總序)2?(W7)2等于(

)

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式一2y(。-切/改寫成分數指數累的形式為()

2_5

A.-2(a-b)5B.-2(a-b)2

2_2_5_5

C.-2(a5-b5)D.-2(a2-b2)

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2111115

(5)化簡(a3b2)(-3a2b3)-(-a6b6)的結果是()

3

A.6aB.-aC.-9aD.9a

-i12

2.計算：(1)0.0273—(--)-2+2564-3"+(2-1)°=,

7

⑵設5'=4,5'=2,則5"y=.

11

、一一/

3.已知x+y=12,xy=9且xVy,求一j-----的值.

x2+

答案：l.(l)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.⑴19(2)8

LLL111

2解.%2y2_Q2y2)(x2y2)_%2*2y2+y

------x-y

/+y2(%2+y2)Q2_,2)

因為x+y=12,xy=9,所以(x-y^=(x+y)2-4xy=144-36=108=4X27.

12-6A/3

又因為x<y,所以x-y=-2x33=-63.所以原式上言=-奇

拓展提升

x-x3

.化簡,:—

1-7-

X3+X3+1X3+1-—1

活動：學生觀察式子特點，考慮X的指數之間的關系可以得到解題思路,應對原式進行因式分

解，根據本題的特點，注意到：

1121

x-l=(x3)3-l3=(x3-l)-(x3+x3+1);

J2[

x+l=(x3)3+l3=(x3+l)?(x3-X3+1);

!J1111

X-X3=x3[(x3)2-!]=x3(x3-l)(x3+l).

構建解題思路教師適時啟發提示.

II11\_2

地X-lX+lX-X^(一)3—廣(%^)3+I3—X^

解：----j—+-----------7—------T+7----------------T-------

/+/+1/+1戶-1盧+戶+1/+1--1

121121111

(—―1)(—++1)+1)(--戶+1)/―1)(戶+1)

=-------------------------------1-------------------------------------------------------------

21

+X*+1+1(犬§—1)

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2￡211_

=x3-1+x3-X3+1-X3-x3=-x3.

點撥:解這類題目，要注意運用以下公式，

￡￡￡|

(a2-b)(a2+b")=a-b,

1￡J.J.

(a2±bi)2=a±2a2b2+b,

1I2112

(a§土b3)(a§+ab+b)=a±b.

2.已知ai+a^=3,探究下列各式的值的求法.

33

(l)a+a';(2)a2+a'2;(3)-^j~~巴了.

a?-。,

解：⑴將a2+a2=3,兩邊平方，得a+a/+2=9,即a+a=7;

⑵將a+ai=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49,EPa2+a2=