緒論緒論chapter0ssss0.1引言chapter0一、數學物理方程的概念二、用數理方法研究物理問題的步驟三、數學物理方程的特點

數學物理方程所研究的內容和所涉及的領域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現象和普遍規律.一、數學物理方程的概念

數學物理方程是數學理論與物理學中實際問題之間的橋梁.一、數學物理方程的概念

數學物理方程是指從物理問題中導出的反映客觀物理量在各個地點、各個時刻之間相互制約關系的一些偏微分方程.1.數學物理方程的概念2.數學物理方程的分類按代表的物理過程(或狀態)分為三類:一、數學物理方程的概念波動方程：連續介質的振動過程，電磁場振蕩問題擴散(或熱傳導)方程：研究熱傳導，擴散；電介質內電磁場的傳播；液體流體的流動泊松方程一、數學物理方程的概念1）描述振動和波動特征的波動方程一維：二維：三維：一、數學物理方程的概念當為零時，稱上述方程為齊次方程。當不為零時，稱上述方程為非齊次方程。2）反映輸運過程的擴散(或熱傳導)方程一、數學物理方程的概念一維：二維：三維：一、數學物理方程的概念當為零時，稱上述方程為齊次方程。當不為零時，稱上述方程為非齊次方程。一、數學物理方程的概念3）描述穩定過程(或狀態)的泊松方程二維：三維：把物理問題翻譯成數學語言的過程.1.提出定解問題:二、用數理方法研究物理問題的步驟泛定方程(一般規律)定解條件(具體條件)建立數學模型解數學模型驗證解的正確性2.求解:二、用數理方法研究物理問題的步驟求解數理方程的方法:1）分離變量法;2）行波法;3）積分變換法;4）格林函數法;3.分析解答:二、用數理方法研究物理問題的步驟

求出了解答后,分析解的物理含義并論證在數學上的存在性、唯一性、穩定性.三、數學物理方程的特點1）數理方程與物理學中許多問題有緊密聯系.2）數理方程要用到數學中許多的成果.一些典型方程和定解條件的推導一些典型方程和定解條件的推導chapter11、建立描述物理過程的微分方程.2、把一個特定的物理現象具有的具體條件用數學語言表達出來.三類典型方程及其定解問題的提出；偏微分方程的一些基本知識與定值問題的適定性概念。教學基本要求

三類典型方程及其定解問題，偏微分方程的一些基本知識與定值問題的適定性概念。三類典型方程及其定解問題。重點：難點：本章內容:ssss1.1初始條件與邊界條件ssss1.2ssss1.3基本方程的建立定解問題的提法二階線性偏微分方程的分類1.4sssschapter1常用的物理學定律ssss1.00建立方程時使用1).牛頓第二定律:常用的物理學定律2).HOOKE定律:勁度系數與形變方向相反3).電磁感應定律:常用的物理學定律回路中串聯線圈匝數自感系數4).熱傳導定律:常用的物理學定律表示溫度下降方向熱傳導系數5).擴散定律:常用的物理學定律表示濃度減小的方向擴散系數ssss1.1基本方程的建立chapter1一、波動方程的導出二、穩定場的導出三、熱傳導方程的導出四、小結波動方程擴散(或熱傳導)方程泊松方程弦的振動1、物理模型例1一、波動方程的導出

設有一根均勻柔軟的細弦,平衡時沿直線拉緊,而且除受不隨時間而變的張力作用及弦本身的重力外,不受外力影響.研究弦作微小橫向振動的規律.一、波動方程的導出2、討論分析“橫向”----指全部運動出現在一個平面上,且弦上的點的運動方向垂直于x方向.

“微小”----振動的幅度及弦在任意位置的切線的傾角很小,從而它們的高于一次方的項都忽略.一、波動方程的導出研究方法:微積分思想、任意性

把弦上點的運動看成小弧段的運動,再考慮小弧段趨于零的情況.設弦上具有橫坐標為x的點在t時刻的位置為M,位移NM記作u.

任取一段弧,長度為,為弦的線密度,弧段兩端的張力為一、波動方程的導出3、建立方程x方向:1).弧段的受力u方向:弧段的重力一、波動方程的導出2).根據牛頓定律弧段的質量弧段在t時刻沿u方向運動的加速度一、波動方程的導出3).化簡整理當時主頁上一頁下一頁退出數學物理方程與特殊函數一、波動方程的導出一、波動方程的導出一、波動方程的導出得:忽略,得令齊次一維波動方程一、波動方程的導出如果在振動過程中,弦受到一個與弦的振動方向平行的外力,且在t時刻弦上

處的外力密度為,根據牛頓定律一、波動方程的導出非齊次一維波動方程自由項令主頁上一頁下一頁退出數學物理方程與特殊函數一、波動方程的導出傳輸線方程1、物理模型例2在高頻傳輸線,研究導體內電流流動的規律一、波動方程的導出電流強度電壓—每一回路單位的串聯電阻；—每一回路單位的串聯電感；—每單位長度的分路電容；—每單位長度的分路電導。2、討論分析傳輸線方程例2一、波動方程的導出3、建立方程由基爾霍夫定律有：傳輸線方程例2一、波動方程的導出化簡整理傳輸線方程傳輸線方程例2一、波動方程的導出令一、波動方程的導出高頻傳輸線方程傳輸線方程例2令傳輸線方程例2

由此可見，同一個方程可以用來描述不同的物理現象.一、波動方程的導出電磁場方程1、物理模型例3Maxwell方程組物質方程

----介電常數----介質磁導率一、波動方程的導出假定介質是均勻而且是各向同性的,

均為常數.

方程同時包含和．

2、討論分析若消去即得到所滿足的方程

若消去即得到所滿足的方程

電磁場方程例3一、波動方程的導出3、建立方程消去即得到所滿足的方程

取旋度

電磁場方程例3一、波動方程的導出化簡整理電磁場方程例3一、波動方程的導出而關于且電磁場方程例3一、波動方程的導出3、建立方程消去即得到所滿足的方程

關于電磁場方程例3一、波動方程的導出令電磁場方程例3三維波動方程一、波動方程的導出電磁場方程例3其中

是或

的任意一個分量.三維波動方程的標量形式

一、波動方程的導出二維波動方程三維波動方程一維波動方程一、波動方程的導出例3靜電場的電位的微分方程或二、泊松方程的導出例3非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程

方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程

二、泊松方程的導出三、熱傳導方程的導出例4熱傳導方程1、物理模型

推導均勻且各向同性的導熱體在傳熱過程中溫度所滿足的微分方程。

例4熱傳導方程2、討論分析三、熱傳導方程的導出

在物體中任取一閉曲面，它所包圍的區域記作。假設在時刻區域內點處的溫度為，為曲面元素的法向（從內指向外）。

例4熱傳導方程三、熱傳導方程的導出3、建立方程1).時刻到時刻，通過曲面流入區域的全部熱量為

在時間間隔內區域內各點溫度從變化到需要的熱量為熱傳導方程三、熱傳導方程的導出2).根據熱量守恒閉曲面熱傳導方程三、熱傳導方程的導出3).化簡整理主頁上一頁下一頁退出數學物理方程與特殊函數熱傳導方程三、熱傳導方程的導出熱傳導方程三、熱傳導方程的導出熱傳導方程由于時間間隔及區域并且被積函數是連續的，上式左右恒等的條件是它們的被積函數恒等，即都是任意取的，三維熱傳導方程三、熱傳導方程的導出若物體內有熱源，其強度為則相應的熱傳導方程為熱傳導方程，其中三、熱傳導方程的導出熱傳導方程一維熱傳導方程二維熱傳導方程三、熱傳導方程的導出四、小結推導數學物理方程一般常用的方法有：局部法、整體法、演化法．１．局部法即是從系統中劃出任意一小部分．例如：在推導弦振動方程時，先選取弦中的一小段，再分析其余部分對這一小段弦的作用，以及外力對這小段弦的作用力，然后應用牛頓定律，得出弦振動方程．四、小結２．整體法是從系統中取出一塊有限大小的體積，由于體積法是任意的，可以從積分形式的積分元構成的等式導出偏微分方程．３．演化法是對具體問題根據基本方程推演出的偏微分方程．例如：從麥克斯韋方程組演化出波動方程．四、小結練習題：

一根完全柔軟的弦，平衡時平行于地面沿著一條直線繃緊，弦受到地球重力的作用．試求弦作橫向振動的方程．答案：chapter1一、概念二、初始條件三、邊界條件初始條件與邊界條件ssss1.2四、小結

提出的條件應該能夠用來說明某一具體物理現象的初始狀態或者邊界上的約束情況.用以說明初始狀態的條件稱為初始條件.

用以說明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件.1).初始條件2).邊界條件一、概念

弦振動問題的初始條件即弦在開始時刻的位移及速度.

初位移

初速度初始條件:弦振動問題二、初始條件

熱傳導方程的初始條件即開始時刻物體溫度的分布情況

.

表示在初始條件:時物體內任一點

處的溫度.

熱傳導方程二、初始條件

泊松方程與拉普拉斯方程都是描述穩恒狀態的,與初始狀態無關,不提初始條件.泊松方程與拉普拉斯方程二、初始條件

從物理學得知,弦在振動時,其端點(以表示這個端點)所受的約束情況,通常有以下三種類型:1).弦振動問題的邊界條件

第一,固定端,即弦在振動過程中這個端點始終保持不動.對應于這種狀態的邊界條件為或

三、邊界條件

第二,自由端,即弦在這個端點不受位移方向的外力,從而在這個端點弦在位移方向的張力應該為零.由1.1中例1的推導過程可知,此時所對應的邊界條件為即

或

三、邊界條件

就表示彈性支承的應變,由虎克(Hooke)定律可知,這時弦在

第三,彈性支承端,即弦在這個端點被某個彈性體所支承.設彈性支承原來的位置為

則

即

或

處沿位移方向的張力

其中為彈性體的倔強系數,

三、邊界條件2).導熱問題的邊界條件三、邊界條件

在導熱過程中，物上的熱量流速始終為零，這時從例4的推導過程中可知，在邊界上必滿足體與周圍的介質處于絕熱狀態，或者說，在上三、邊界條件其中是兩介質間的熱交換系數。

如果物體的內部和周圍的介質通過邊界有熱量交換，以表示和物體接觸處的介質溫度，這時利用另一個熱傳導實驗定律：從一介質流入另一介質的熱量和兩介質間的溫度差成正比即

三、邊界條件三、邊界條件三、邊界條件例

彈性桿原長為，一端固定，另一端離平衡位置而靜止，放手任其振動，如圖，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件為例思考若端自由,則邊界條件如何寫？四、小結初始條件的個數的確定：關于時間

的階偏微分方程要給出個初始條件才能確定一個特解．

邊界條件的個數的確定：關于時間

的階偏微分方程要給出個邊界條件．

四、小結練習題：考慮長為的均勻桿的導熱問題．答案：若１．桿的兩端溫度保持零度；２．桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱．寫出桿在上面兩種情況下的邊界條件．chapter1一、概念二、定解問題與始值問題三、線性方程與疊加原理定解問題的提法ssss1.3四、小結

方程中出現的未知函數的偏導數的最高階都是二階，而且它們對于未知函數及其各階偏導數都是線性的，這種方程稱為二階偏微分方程.

如果一個函數具有某偏微分方程中需要的各階連續偏導數，并且代入該方程能使之變為恒等式，則此函數稱為該方程的解

.一、概念1).二階偏微分方程2).方程的解

初始條件和邊界條件都稱為定解條件

.

只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題稱為始值問題，沒有初始條件，只有邊界條件的問題稱為邊值問題。

既有初始條件也有邊界條件的定解問題稱為混合問題二、定解問題與始值問題

把某個偏微分方程和相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。幾個基本概念

一個定解問題是否符合實際情況，從數學的角度，可以從三個方面加以檢驗：二、定解問題與始值問題1).解的存在性，即歸結出來的定解問題是否有解.2).解的惟一性，即看是否只有一個解；3).解的穩定性，即看當定解條件有微小變動時，解是否相應只有微小變動，如果確實如此，此解便稱為穩定的，否則得的解就無實用價值.

如果一定解問題存在惟一且穩定的解，則此問題稱為適定的.三、線性方程與疊加原理波動方程：擴散(或熱傳導)方程：拉普拉斯方程：

一個含

個自變量的二階線性偏微分方程的最一般形式應該為:三、線性方程與疊加原理

其中只是的已知函數，與未知函數無關。兩個自變量的情形:

三、線性方程與疊加原理疊加原理:收斂，并且能夠逐項微分兩次，其中為任意常數，則一定是方程若是方程的解，而且級數的解.三、線性方程與疊加原理分兩次，一定也是此方程的解.

特別是，如果是二階線性齊次方程的解，則只要收斂，并且可以逐項微三、線性方程與疊加原理四、小結

疊加原理使得以后在使用分離變量法時能夠將分離變量法得到的線性無關的解疊加在一起,去構造原問題的解.chapter1二階線性偏微分方程的分類ssss1.4目的：從數學上表示出二階線性偏微分方程的共性與差異.一、二階線性偏微分方程的分類二、兩個自變量的二階方程的化簡本節內容三、兩個自變量二階常系數方程四、小結設為自變量，二階線性偏微分方程的形狀：二階線性偏微分方程的分類

其中是在區域Ω上的實用函數，且連續可微。二階線性偏微分方程的分類則稱若在區域Ω

上某點在點為雙曲型的。二階線性偏微分方程的分類則稱若在區域Ω

上某點在點為拋物型的。二階線性偏微分方程的分類則稱若在區域Ω

上某點在點為橢圓型的。二階線性偏微分方程的分類時，方程稱為雙曲型;時，方程稱為拋物型;時，方程稱為橢圓型;兩個自變量的二階方程的化簡作變量變換在假設變換是二次連續可微的,且函數行列式(1)(1)不等于零.兩個自變量的二階方程的化簡由于(2)兩個自變量的二階方程的化簡兩個自變量的二階方程的化簡故方程(2)中的為設法選取變換(1),使得方程(2)的二階偏導數項化為最簡形式.兩個自變量的二階方程的化簡引理1如果是方程的一般積分.是方程的一個特解．則(a)兩個自變量的二階方程的化簡引理2如果是方程的一般積分.則滿足方程兩個自變量的二階方程的化簡如果是方程的一簇曲線積分.則就是方程的解.兩個自變量的二階方程的化簡方程(的積分曲線)叫做方程的特征方程(特征線).兩個自變量的二階方程的化簡分解方程得(3)(4)雙曲型偏微分方程的化簡兩個自變量的二階方程的化簡

方程(3)和(4)的右端是相異的實值,故積分曲線為兩族不同的實曲線,依次表示為及令則(5)兩個自變量的二階方程的化簡假設及不同時為零,則變換(5)是可逆的.且方程(2)可以化為雙曲型方程的第一標準形式其中(6)兩個自變量的二階方程的化簡在方程(6)再作自變量變換方程可以化為另一種標準形式兩個自變量的二階方程的化簡將方程化為標準形式.例1解當時,方程為雙曲型的,其特征方程為從而有兩個自變量的二階方程的化簡積分得兩族積分曲線例1作變換兩個自變量的二階方程的化簡例1代入方程化簡得拋物型偏微分方程的化簡兩個自變量的二階方程的化簡

方程(3)和(4)重合,故得到方程(a)一個一般積分令又兩個自變量的二階方程的化簡得拋物型方程的標準形式其中兩個自變量的二階方程的化簡將方程化為例2解方程為雙曲型的,其特征方程為標準形式.積分得作變換兩個自變量的二階方程的化簡例2代入方程化簡得標準方程橢圓型偏微分方程的化簡兩個自變量的二階方程的化簡

方程(3)和(4)的右端是復數,故不存在實的特征曲線,方程(a)的一般積分為復數.設是方程(3)的一般積分,且不同時為零.兩個自變量的二階方程的化簡由于作變換滿足方程代入分離實部和虛部,得兩個自變量的二階方程的化簡方程化為標準形式其中兩個自變量的二階方程的化簡將方程化為標準形式.例3解當時,方程為雙曲型的;時,方程為橢圓型的;當當時,方程為拋物型的.其特征方程為兩個自變量的二階方程的化簡在橢圓型區域作變換內,化為因此得例3原方程化為兩個自變量的二階方程的化簡在雙曲型區域作變換內,特征方程為因此得例3原方程化為如果方程的符號,通過變換,方程可以化為以下三種形式:的系數全部是常系數,按照雙曲型:兩個自變量二階常系數方程或兩個自變量二階常系數方程拋物型:橢圓型:三類方程中的系數均為常數.弦振動方程例4解特征方程為故特征直線為兩個自變量二階常系數方程作變換弦振動方程化為四、小結判斷方程的類型并化為標準形式的步驟:1.按判斷方程的類型.2.解出特征方程式,根據方程類型,選擇適當的變換式,求出變換后的各項系數,把方程化為標準類型.ssss1.5本章小結chapter1主要內容小結一、主要內容用數理方程研究物理問題提出定解問題泛定方程:三類典型方程定解條件初始條件邊界條件求解1)分離變量法;2)行波法;3)積分變換法;4)格林函數法;5)變分法;分析解答物理意義適定性:存在性、唯一性、穩定性一、主要內容三類典型方程:波動方程：連續介質的振動過程，電磁場振蕩問題擴散(或熱傳導)方程：研究熱傳導，擴散；電介質內電磁場的傳播；液體流體的流動泊松方程1)、描述振動和波動特征的波動方程一維：二維：三維：一、主要內容當為零時，稱上述方程為齊次方程。當不為零時，稱上述方程為非齊次方程。一、主要內容2)、反映輸運過程的擴散(或熱傳導)方程一維：二維：三維：一、主要內容當為零時，稱上述方程為齊次方程。當不為零時，稱上述方程為非齊次方程。一、主要內容3)、描述穩定過程(或狀態)的泊松方程二維：三維：一、主要內容

提出的條件應該能夠用來說明某一具體物理現象的初始狀態或者邊界上的約束情況.用以說明初始狀態的條件稱為初始條件.

用以說明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件.1).初始條件2).邊界條件一、主要內容初始條件和邊界條件都稱為定解條件。

只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題稱為始值問題，沒有初始條件，只有邊界條件的問題稱為邊值問題。

既有初始條件也有邊界條件的定解問題稱為混合問題。

把某個偏微分方程和相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。一、主要內容分離變量法分離變量法chapter2

把求解偏微分方程的定解問題轉化為常微分方程的問題.教學基本要求(1)分離變量法的基本步驟；(2)非齊次方程齊次邊界條件的固有函數法；(3)非齊次邊界條件的處理；分離變量法的基本步驟、非齊次方程齊次邊界條件的固有函數法、非齊次邊界條件的處理。重點：難點：非齊次方程齊次邊界條件的固有函數法。本章提要

§2.1討論兩個邊界條件都是第一類齊次邊界條件的情況；

§2.2討論如何處理第二類、第三類齊次邊界條件的情況；

§2.3討論如何在極坐標下使用分離變量法；

§2.4、§2.5討論如何處理非齊次方程及非齊次邊界條件的問題；

§2.6概述二階常微分方程特征值問題的一些結論.本章內容ssssssssssssssss2.2有限長桿上的熱傳導ssss2.1有界弦的自由振動2.4非齊次方程的解法2.3圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題非齊次邊界條件的處理2.52.6＊關于二階常微分方程特征值問題的一些結論ssssssss2.1有界弦的自由振動chapter2什么是分離變量法？使用分離變量法要什么條件？一、分離變量二、特征值問題三、關于的方程的通解四、有界弦的自由振動的解五、解的物理意義本節內容六、小結T(t)定解問題(1)(2)(3)討論兩端固定的弦的自由振動:1.當弦一端固定時，其自由振動可看為反射波.2.當弦兩端固定時，其自由振動會形成駐波.基本思路正波反波駐波定解問題一、分離變量代入(1)中,則有或設定解問題的特解為:一、分離變量則有(為常數)(4)(5)令則由邊界條件(2),由于平凡解(6)同理由邊界條件(3)得:由于和是任意的函數,此二式不成立.一、分離變量得:二、特征值問題1.先考慮邊值問題

使問題上述有非零解的稱為該問題的特征值,相應的非零解稱為特征函數.(6)(5)定義

求特征值和相應的特征函數的問題稱為特征值問題.2.求解二、特征值問題三種可能逐一加以分析.分第一種情況:時,方程(5)的通解為:由條件(6)得:二、特征值問題由此解出不符合非零解的要求，因此排除第二種情況:時,方程(5)的通解為:由條件(6)得:不符合非零解的要求，因此排除第三種情況:時,令方程(5)的通解為:由條件(6)得:二、特征值問題如果由此解出不符合非零解的要求．二、特征值問題因此（

特征值）(7)得:（特征函數）(8)（

特征值）傅里葉正弦級數的基本函數族三、關于T(t)的方程的通解將特征值代入方程(4)中得:此方程的通解為:(9)其中和為任意常數.

由得到,方程(1)滿足邊界條件(2)的特解為:(10)其中

,.三、關于T(t)的方程的通解四、有界弦的自由振動的解由疊加原理,將(9)中所表示的特解疊加起來得:(11)下一步：利用特征函數的正交歸一性確定待定系數．這恰好是和的正弦展開,于是有:四、有界弦的自由振動的解(12)

可見(11)就是定解問題的解,其中系數和由(12)給出.將(11)代入初始條件(3)中,得:五、解的物理意義重新改寫其中駐波疊加

當時,即這些點的振幅為,達到最大值,稱為腹點.

當時,即這些點的振幅為零,保持不動,稱為節點;五、解的物理意義

可見代表一個駐波,代表弦上各點的振幅分布,是位相因子,是弦振動的固有頻率(或特征頻率),是初位相.

弦的振動,表示一系列振幅不同,頻率不同,相位不同的駐波的疊加.

我們稱的駐波為基波;的駐波為二次諧波.五、解的物理意義基波的作用往往最顯著．

五、解的物理意義下圖為在某一時刻n=1,2,3的駐波形狀:設位移函數為,它是定解問題

的解.這時,并給定

.例題設有一根長為10個單位的弦,兩端固定,初速度為零,初位移為,求弦作微小橫向振動時的位移.例1解

這個問題的傅里葉級數形式解可由(11)給出.其系數按(12)式為:當n為偶數,當n為奇數.例題例1例題因此,所求的解為:例1(6)′例題例2解解定解問題相應的特征值為求分離變量后得的非零解.由于,故,即通解為例題例2代入(6)′得從而求得一系列特征值與特征函數:則對應的方程的通解為:例題例2所求定解問題的解可表示為利用初始條件可確定其中的任意常數:例題例2故所求的解為:例題例2六、小結1.分離變量法

用駐波的疊加表示弦振動方程的解.這就是分離變量法的物理背景,所以也稱為駐波法.其主要精神是:

把未知函數按自變量(包括多個自變量)的單元函數分開,[如令],從而將偏微分方程的問題化為解常微分方程的問題.2.解題步驟

(1)對齊次方程和齊次邊界條件分離變量;

(2)解關于空間因子的常微分方程的特征值問題;

(3)求其他常微分方程的解,與特征函數相乘,得到特解;

(4)疊加,由初始條件或非齊次邊界條件確定疊加系數,而最后得所求定解的問題的解.六、小結六、小結思考題:

從分離變量法分離出來的兩個常微分方程是否是關聯的?答案:通過參數相互關聯.ENDssss2.2有限長桿上的熱傳導chapter2一、分離變量二、本征值問題三、關于的方程的通解四、有限長桿上熱傳導的解五、小結T(t)

設有一均勻細桿,長為,兩端點的坐標為與,桿的側面是絕熱的,且在端點處溫度是零攝氏度,而在另一端處桿的熱量自由發散到周圍溫度是零度的介質中去,已知初始溫度分布為.求桿上的溫度變化規律.即考慮下列定解問題:(1)(2)(3)定解問題設定解問題的特解為:代入(1)中,則有即(4)一、分離變量由邊界條件可知(5)二、本征值問題解方程(4)得二、本征值問題

方程的根可以看作是曲線與直線交點的橫坐標,顯然它們的交點有無窮多個,于是方程有無窮多個根,有這些根可以確定出特征值.得特征值:特征函數:二、本征值問題由上兩式得特解:其中

.(2.21)三、關于T(t)的方程的通解解方程得現在要考察函數系在上的正交性:令(6)由于方程(1)與邊界條件(2)都是齊次的,所以四、有限長桿上熱傳導的解在上積分得將上代入(6)中,即得原定解問題的解.四、有限長桿上熱傳導的解

這樣求出的函數仍是形式解,要想它確實是(1)—(3)的解,還必須對加上一定的光滑性和相容性條件.四、有限長桿上熱傳導的解五、小結END在邊值條件都是齊次的情況下，用分離變量法解第一邊值問題和第三邊值問題的定解問題的過程是一樣的，只是第三邊值問題在確定特征值時要復雜些．思考題:

為什么說分離變量法的核心是特征值問題?ssss2.3圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題chapter2一、分離變量二、本征值問題三、關于的方程的通解四、圓域內的二維拉普拉斯方程的解五、小結T(t)

一個半徑為的薄圓盤,上下兩面絕熱,圓盤邊緣溫度分布為已知,求達到穩恒狀態時圓盤內的溫度分布.

由于熱傳導問題達到穩恒狀態時溫度分布與時間無關,應滿足拉普拉斯方程:

在極坐標系下邊界條件可表為,于是在極坐標系下求解這個定解問題.定解問題(1)(2)根據自變量的取值范圍可知:定解問題一、分離變量令代入(1)中,得再由一、分離變量可得于是得到兩個常微分方程的定解問題一、分離變量二、本征值問題

由于條件解得特征值

特征函數

所以只能先解問題滿足可加性,三、關于T(t)的方程的通解

再解問題當其中的方程是歐拉(Euler)方程,它的通解為:當三、關于T(t)的方程的通解

利用疊加原理,方程(1)滿足條件的解可以表示為級數:四、圓域內的二維拉普拉斯方程的解即得所求的解:四、圓域內的二維拉普拉斯方程的解利用已知的恒等式:四、圓域內的二維拉普拉斯方程的解

上式稱為圓域內的泊松公式.它的作用在于把解寫成積分形式,這樣便于作理論上的研究.例題

解下列定解問題:A為常數

利用公式例1解例題END并注意三角函數系的正交性,可得:代入即得所求的解為:五、小結

分離變量法不僅用于直角坐標系,還可以在極坐標系、柱坐標系、球坐標系中使用.至于選取什么坐標系關鍵在于考慮區域的形狀.

選取坐標系的原則是在選用的坐標系中區域的邊界能用最簡單的方程來描述.ssss2.4非齊次方程的解法chapter2一、對應齊次問題的本征函數三、有界弦(桿)受強迫力的解二、關于的方程的通解四、特征函數法T(t)

現考慮有界弦(或桿)受強迫力作用所產生的振動現象:定解問題

弦的振動是由兩部分干擾引起的,一是強迫力,一是初始狀態,所以此時振動可以看作為僅由強迫力引起的振動和僅由初始狀態引起的振動的合成.可設解為:定解問題其中表示僅由強迫力引起弦振動的位移,它滿足:定解問題而表示僅由初始狀態引起弦振動的位移,它滿足:(a)(b)

若V是(a)的解,W是(b)的解,則U=V+W一定就是原定解問題的解.

問題(b)可直接用分離變量法求解,因此只需討論如何解問題(a).

由于方程(a)中非齊次項的出現,所以不能直接用分離變量.由此,我們自然想到解非齊次線性常微分方程的參數變易法,類似地先考慮與非齊次方程所對應的齊次問題.定解問題通過分離變量后,得到特征值問題為:由此解得特征函數為:定解問題(a)所對應的齊次問題為:一、對應齊次問題的本征函數再將自由項f(x,t)也按特征函數系展開成如下的級數:二、關于T(t)的方程的通解仿照參數變異法,令:(c)(d)將(c)及(d)代入(a)的第一個式子,得到:其中這樣確定函數只需解下列定解問題:再將(c)代入(a)中的初始條件得:

二、關于T(t)的方程的通解用拉普拉斯變換法(或參數變易法)解出上式得到:二、關于T(t)的方程的通解三、有界弦(桿)受強迫力的解將上式代入(c)得定解問題(a)的解為:將這個解與問題(b)的解加起來,就得到原定解問題的解.四、特征函數法

以上求解非齊次方程的方法,顯然也適用于求解帶有其他齊次邊界條件的各類非齊次方程,其主要步驟是:

1.用分離變量法求得對應的齊次問題(即對應的齊次方程連同齊次邊界條件)的特征函數.

2.將未知函數u(x,t)[或u(x,y)等]按上面求得的特征函數展開,其展開系數為另一變量的函數,代入非齊次方程和初始條件(或另一變量的邊界條件),得到關于時間因子的常微分方程的初值問題(或另一單元函數的常微分方程的邊值問題),用參數變易法或拉氏變換法可求得其解.

3.將所求得的解代入未知函數的展開式中,即得原定解問題的解.這種分離變量的方法按其特點又叫特征函數(或固有函數)法.四、特征函數法例題

在環形域(0<a<b)內求解下列定解問題.例1

由于求解區域是環形區域,所以我們選用平面極坐標系,利用直角坐標與極坐標系之間的關系:解可令上式的解為:例題代入方程并整理,得到:比較兩端關于,的系數可得:例題(e)(f)例題再由條件得:方程(e),(f)都是齊次的歐拉方程,它們的通解分別為:例題由條件例題

方程(e)是一個非齊次的歐拉方程,利用待定系數法可求得它的一個特解:可得:例題它的通解為:由條件得例題因此原定解問題的解為:ENDssss2.5非齊次邊界條件的處理chapter2一、邊界條件的齊次化二、輔助函數的選取三、各類非齊次邊界條件的處理W(x,t)定解問題

前面所討論的問題,都是基于邊界條件是齊次的.但我們所遇到的實際問題往往是非齊次的邊界條件,則要設法將邊界條件化成齊次的.現以下列定解問題為例,說明選取代換的方法:

選取代換,

就是選取一個適當的未知函數代換,使對新的未知函數,邊界條件都是齊次的.一、邊界條件的齊次化

為此,我們引入新的未知函數V(x,t)

和輔助函數W(x,t),令:則新未知函數,便滿足齊次邊界條件若能找到函數,使它具備下列性質:二、輔助函數w(x,t)的選取令于是由有:因而只要作代換:(1)二、輔助函數w(x,t)的選取就能使新的未知函數V滿足齊次邊界條件.經過這個代換后,得到關于V的定解問題為:其中(2)二、輔助函數w(x,t)的選取問題(1)可用上一節的方法解出.將(1)代入即得原問題的解.三、各類非齊次邊界條件的處理

1.以上處理非齊次邊界條件的方法,也適用于附有其它非齊次邊界條件的各類定解問題.其基本做法是:(1)作變換,令u(x,t)=V(x,t)+W(x,t);(2)適當選取W(x,t)

使關于V(x,t)

的邊界條件齊次化(有時甚至連方程均齊次化),通常選W(x,t)為x的一次式,

即W(x,t)=A(t)x+B(t)

但當兩端邊界條件都是第二類時,需選W為x

的二次式:W(x,t)=A(t)x2+B(t)x

否則系數無法確定.(3)解關于V(x,t)

的定解問題,從而最后求得:u(x,t)=V(x,t)+W(x,t).

2.由上看出W(x,t)

的選取是有一定任意性的[一般而言關于V(x,t)

的定解問題的解將隨W(x,t)的不同而不同從而導致得到不同形式的u(x,t)

但由于有關u(x,t)的定解問題的唯一性,即使有不同形式的u(x,t)

也必是相等的.

3.通過邊界條件齊次化后,一般而言即使原來的齊次方程也會變為非齊次的[但若W(x,t)

選取巧妙,有時可使方程和邊界條件均齊次化].三、各類非齊次邊界條件的處理4.對于穩定的非齊次的邊界問題[即邊界條件方程中都與t無關]總可選適當的W(x)[也與t

無關]使關于V(x,t)

的方程和邊界條件都齊次化.三、各類非齊次邊界條件的處理例題求解下列定解問題.

可通過一次代換將方程與邊界條件都變成齊次的.的形式解,其中A,B均為常數.例1解令例題代入方程得:通過兩次積分后得:則W(x)應滿足:例題再由初始條件可知函數V(x,t)為下列定解問題的解:分離變量后得:例題例題由傅里葉級數的系數公式可得:原定解問題的解為:例題

解下列定解問題:代入原定解問題得到:首先將邊界條件化成齊次的,為此令:例2解例題則又可分為如下兩個定解問題:例題對于問題(Ⅰ),可以直接用分離變量法求解:由條件得:求得特征值與特征函數為:例題則通解為:從而問題(Ⅰ)的解可表示為:例題其中常數由初始條件(2.78)確定為:故(Ⅰ)的解為:例題對于問題(Ⅱ),可以用特征函數法求解:其中:例題故問題(Ⅱ)的解為:將與相加起來,即得V(x,t),將這個V(x,t)代入,即得原定解問題的解.例題ssss2.6＊關于二階常微分方程特征值問題的一些結論chapter2一、特征值問題的幾點結論二、球坐標與極坐標系中兩個方程自然邊界條件指形如|y(

xo)|<+∞的條件.施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)型方程:

定義一、特征值問題的幾點結論任一個二階線性常微分方程乘以適當函數后總可以化成這種形式,有關這個方程特征值問題的一些結論,稱為施圖姆-劉維爾理論.設邊界條件為:一、特征值問題的幾點結論1.存在無窮多個實的特征值,適當調換這些特征值的順序,可使它們構成一個非遞減序列,即:對于特征值問題,有以下幾點結論:3.設是任意兩個不同的特征值,對應于這兩個特征值的特征函數記作,則:對應于這些特征值有無窮多個特征函數:一、特征值問題的幾點結論2.所有特征值均不為負,即:即對應于不同特征值的特征函數在[a,b]上帶權函數ρ(x)互相正交.

4.特征函數系在區間[a,b]上構成一個完全(備)系,即任意一個在[a,b]上具有一階連續導數及分段連續的二階導數的函數f(x),只要它也滿足特征函數中每個函數所滿足的邊界條件與,則一定可以將f(x)按特征函數系展成絕對且一致收斂的級數:一、特征值問題的幾點結論其中:一、特征值問題的幾點結論n階貝塞爾方程:二、球坐標與極坐標系中兩個方程END這兩個方程也是方程的特解.勒讓德方程:ssss2.7本章小結chapter2一、主要內容二、分離變量法解數理方程的要領三、常用特征值問題一、主要內容二、分離變量法解數理方程的要領

1.適當選擇坐標系;

2.定解問題要寫清;

3.從齊次方程來入手;

4.化邊界條件為齊次形.

四項步驟循序解,本征問題是核心.三、常用特征值問題

邊值問題

特征值

特征函數

邊值問題

特征值

特征函數三、常用特征值問題

邊值問題特征值

特征函數三、常用特征值問題行波法與積分變換法行波法與積分變換法chapter3行波法只適用波動方程的初值問題.積分變換法的主要思想：降維使用積分變換法的兩個困難：選取哪一種積分變換逆變換難求教學基本要求(1)一維波動方程初值問題的達朗貝爾公式；(2)非齊次波動方程的齊次化原理。(3)應用傅里葉變換法解微分方程定值問題；(4)拉普拉斯變換法在解微分方程中的應用。重點：一維波動方程初值問題的達郎貝爾公式；非齊次波動方程的齊次化原理；積分變換法在解微分方程中的應用。難點：一維波動方程初值問題的達郎貝爾公式。積分變換法在解微分方程中的應用。本章內容ssssssss3.2三維波動方程的泊松公式一維波動方程的達朗貝爾公式3.3積分變換法舉例ssss3.1預備知識預備知識chapter3---積分變換---積分變換見本人制作的積分變換電子教案高等教育出版社出版ssss3.1一維波動方程的達朗貝爾公式chapter3五、行波法四、達朗貝爾解的物理意義三、達朗貝爾解的適定性二、達朗貝爾(D′Alembert)公式一、一維齊次波動方程的通解

現在我們討論無限長弦的自由橫振動.設弦的初始狀態為已知,即定解問題“無限長”桿的自由縱振動,“無限長”理想傳輸線上的電流,電壓的變化均提出與之相同的定解問題.對于常微分方程分析定解問題簡化偏微分方程,先求通解,再求其特解.再用初始條件求特解:先求通解:一、一維齊次波動方程的通解

用行波法求解這一問題,首先要求出的通解.可作如下代換:利用復合函數微分法則得:同理有:

代入得:一、一維齊次波動方程的通解其中都是任意二次連續可微函數.一、一維齊次波動方程的通解通解(包含有兩個任意函數的解)二、達朗貝爾(D′Alembert)公式

利用初始條件來確定通解中的任意函數.將通解帶入定解條件中,得:將上式代回到二、達朗貝爾(D′Alembert)公式這就是達朗貝爾公式或稱為達朗貝爾解.中,即得方程定解問題的特解:三、達朗貝爾解的適定性

易于驗證,只要φ有直到二階的連續導數,ψ有一階的連續導數,達朗貝爾解是滿足定解問題的,即達朗貝爾解是存在的.

又從求解的方法中看到,通解中的任意函數以由初始條件完全確定,故達朗貝爾解是唯一的.

現在來證明達朗貝爾解的穩定性.設初始條件有兩組,且它們相差很小,即:即:則由達朗貝爾公式三、達朗貝爾解的適定性有:

所以在有限的時間內,當初始條件有微小改變時,其解也只有微小改變,即達朗貝爾解是穩定的.

綜上所述,達朗貝爾解是適定的.三、達朗貝爾解的適定性四、達朗貝爾解的物理意義定義

表示一個以速度a沿x軸正方向傳播的行波,稱為右行波.

表示一個以速度a沿x軸負方向傳播的行波,稱為左行波.

右行波和左行波的疊加(相加)就給出弦的位移.

即達朗貝爾解表示右行波和左行波的疊加.依賴區間決定區間影響區間四、達朗貝爾解的物理意義在區間[,]上給定初始條件,就可以在其決定區間域中決定初值問題的解.四、達朗貝爾解的物理意義

由此可以看出,在x-t平面上斜率為的兩族直線常數,對一維波動方程的研究起著重要的作用,我們稱其為一維波動方程的特征線.四、達朗貝爾解的物理意義

因為在特征線上,右行波的振幅取常數值,在特征線上,左行波u

的振幅取常數值,且這兩個數值隨特征線的移動(即常數的改變)而改變,所以波動實際上是沿特征線傳播的.變換常稱為特征變換,行波法稱為特征線法.1.解題步驟:先用求出通解:再求特解,形如:五、行波法2.特點:(1)求解出發點是基于波動現象的特點為背景的變量變換;(2)引入了坐標變換簡化方程;(3)優點:求解方式易于理解,求解波動方程十分方便;(4)缺點:通解不易求,使之有局限性,一般只用它求解波動問題.五、行波法五、行波法

達朗貝爾公式表示，由任意初始擾動引起的自由振動一行波的形式向正、反兩個方向傳播出去，傳播的速度正好等于泛定方程中的常數思考:例題求下列柯西問題的解.它的兩族積分線為:先確定所給方程的特征線.為此寫出它的特征方程:例1解例題它的通解為:其中都是任意二次連續可微函數.原方程的通解為:例題代入得:例題代入得到所求的解為:ENDssss3.2三維波動方程的泊松公式chapter3三、泊松公式的物理意義二、三維波動方程的泊松公式一、三維波動方程的球對稱解四、小結定解問題現在我們討論在三維無限空間中的波動問題:其中M代表空間中任意一點,

這個定解問題仍可用行波法來解,但由于坐標變量有三個,不能直接利用通解公式.下面先考慮一個特例.一、三維波動方程的球對稱解

球對稱即u與θ,φ都無關.將波函數u用空間球坐標(r,θ,φ)來表示.則:

但

或

這就是三維波動方程的關于原點為球對稱的解,其中是任意二次連續可微函數,這兩個函數可以用指定的初始條件來確定.所以最后得:這是關于ru的一維波動方程,其通解為:

或一、三維波動方程的球對稱解二、三維波動方程的泊松公式1.平均值法

引入函數:稱之為函數u(M,t)

在以為中心,r為半徑的球面上的平均值.其中為立體角元.很容易看出和我們所要求的有很緊密的聯系:

因此,欲求波動方程的解在任意一點,任意時刻的值,只要先求在時刻,以為中心,為半徑的球面上的平均值,再令即可.這種處理問題的方法稱為平均值法.這里各坐標變量之間的關系為:二、三維波動方程的泊松公式2.三維齊次波動方程的通解二、三維波動方程的泊松公式又因為在直角坐標系中:即類似的的有:二、三維波動方程的泊松公式二、三維波動方程的泊松公式其通解為:而二、三維波動方程的泊松公式3.泊松(Poisson)公式二、三維波動方程的泊松公式可寫為:二、三維波動方程的泊松公式上式稱為三維波動方程的泊松公式,它給出了三維無界空間波動方程的初值問題的解.其中表示以為中心at為半徑的球面上的動點.二、三維波動方程的泊松公式三、泊松公式的物理意義

泊松公式的物理意義很明顯,它說明定解問題的解在M點t時刻之值,由以M為中心at為半徑的球面上的初始值而確定.

如圖,設初始擾動限于空間某個區域,d為M點到的最近距離,D為M點與的最大距離,則:1.當

,即時,與不相交,和之值均不為零,因而兩個積分之值亦均不為零,即.這表示擾動的前鋒尚未到達.2.當,即時,與相交,,之值不為零,因而積分之值亦不為零,即,這表明擾動正在經過M點.3.當,即,與也不相交,因而同樣,這表明擾動的陣尾已經過去了.三、泊松公式的物理意義

這種現象在物理學中稱為惠更斯(Huygens)原理或無后效現象.三、泊松公式的物理意義

由于在點(ξ,η,ζ)的初始擾動是向各方向傳播的,在時間t它的影響是在以(ξ,η,ζ)為中心,at為半徑的一個球面上,因此解稱為球面波.

從三維波動方程的泊松公式我們也可以得到二維波動方程初值問題的解.事實上如果u與z無關,則,這時三維波動方程的始值問題就變成二維波動方程的始值問題:三、泊松公式的物理意義要想從泊松公式得到上述問題解的表達式,就應將泊松公式中兩個沿球面的積分轉化成沿圓域內的積分,下面以為例說明這個轉化方法.先將這個積分拆成兩部分:三、泊松公式的物理意義其中分別表示球面的上半球面與下半球面.

由于被積函數不依賴于變量z,所以上式右端兩個積分是相等的,即把右端的曲面積分化成二重積分可得三、泊松公式的物理意義同理將這兩個等式代入三維波動方程的泊松公式,即得問題的解為三、泊松公式的物理意義

當時,;

當時,;

當時,由于圓域包含了區域,所以,這種現象稱為有后效,即在二維情形,局部范圍內的初始擾動,具有長期的連續的后效特性,擾動有清晰的“前鋒”,而無“陣尾”,這一點與球面波不同.三、泊松公式的物理意義

平面上以點(ξ,η)為中心的圓周的方程在空間坐標系內表示母線平行與z軸的直圓柱面,所以在過(ξ,η)點平行于z軸的無限長的直線上的初始擾動,在時間t后的影響是在以該直線為軸,at為半徑的圓柱面內,因此解稱為柱面波.將給定的初始條件與代入三維波動方程的泊松公式,得到所要求的解為:

設已知,,求方程相應柯西問題的解.例題END例1解

對于齊次偏微分方程，自由振動定解問題的解直接由達朗貝爾公式給出.

非其次偏微分方程，純強迫振動的解由沖量原理求解.四、小結ssss3.3積分變換法舉例chapter3二、拉普拉斯變換法一、傅里葉變換法

積分變換法是通過積分變換簡化定解問題的一種有效的求解方法.三、小結

積分變換—就是把某函數類A中的函數f(x),經過某種可逆的積分手續:定義積分變換變成另一函數類B中的函數F(p).F(p)—f(x)的像函數,f(x)—像原函數.k(x,p)是p和x的已知函數—積分變換的核.

下面我們通過例題來說明用積分變換法解定解問題的一般步驟.

無界桿上的熱傳導問題設有一根無限長的桿,桿上具有強度為F(x,t)的熱源,桿的初始溫度為φ(x),試求t>0時桿上溫度的分布規律.一、傅里葉變換法

由于方程是非齊次的,且求解的區域又是無界的,因此用分離變量法來解將導致比較復雜的運算.其中

這個問題可歸結為求解下列定解問題:例1解對方程兩端關于x分別進行傅氏變換,并記:一、傅里葉變換法現在我們用傅里葉變換來解.則有:這是帶參數關于變量t的常微分方程的初值問題,解之得:一、傅里葉變換法對取傅里葉逆變換.查表可知:卷積性質即得原定解問題的解.一、傅里葉變換法

由這個例子可以看出,用積分變換法解定解問題的步驟:1.對方程和定解條件(關于某個變量)取變換.2.解變換后得到的像函數的常微分方程的定解問題.3.求像函數的逆變換(反演)即得原定解問題的解.

一個函數當它未作綜合工作之前,用積分變換法所求的解都只是形式解.積分變換二、拉普拉斯變換法

一條半無限長的桿,端點溫度變化情況為已知,桿的初始溫度為0℃,求桿上溫度的分布規律.由于此題為半無界問題,因此不能用傅里葉變換來解.下面我們用拉普拉斯變換來解.

這個問題可歸結為求解下列定解問題:例2解對方程兩邊關于變量t做拉氏變換,并記:二、拉普拉斯變換法再對邊界條件關于變量t做拉氏變換,并記:代入初始條件得:常微分方程的通解為:二、拉普拉斯變換法對U(x,p)求拉普拉斯逆變換,查表可知:由邊界條件可得:微分性質卷積性質即所要求的解.二、拉普拉斯變換法

應用積分變換法需要注意以下幾點:1.選取恰當的積分變換.首先要注意自變量的變化范圍,其次要注意定解條件的形式.2.凡是對方程取變換時沒有用到的條件都要對它取變換,使它轉化為新方程的定解條件.3.求逆變換:查表并運用變換的性質;由逆變換公式來求