第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省惠州一中高一（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于π2的角}，那么A、B、C關系是(

)A.B=A∩C B.B∪C=C C.A?C D.A=B=C2.已知α：x>1,β：1x<1，則α是β的(????)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.若sinθ=45，θ為第二象限角，則[cosA.310 B.15 C.254.函數f(x)=|x|+ax2(a∈R)A. B.

C. D.5.函數y=[x]在數學上稱為高斯函數，也叫取整函數，其中[x]表示不大于x的最大整數，如[1.5]=1，[?2.3]=?3，[3]=3.那么使不等式4[x]2?12[x]+5≤0成立的x范圍是A.[12,53] B.[0,2]6.“喊泉”是一種地下水的毛細現象.在合適的條件下，人們在泉口吼叫或發出其他聲響時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生一系列物理聲學作用.已知聲音越大，涌起的泉水越高，聲強m與參考聲強m0之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作L(單位：分貝)，即L=lgmm0.若某處“喊泉”的聲強級L(單位：分貝)與噴出的泉水高度x(單位：分米)滿足關系式L=0.4x.A噴出泉水的高度比B“喊泉”噴出的泉水高度高5分米，則A“喊泉”的聲強是B“喊泉”聲強的(

)A.5倍 B.10倍 C.20倍 D.100倍7.已知命題“?x∈R,2ax2+ax?38≥0”A.a≤?3或a>0 B.?3<a≤0 C.a≤?3或a≥0 D.?3<a<08.已知函數f(x)=2cos(ωx+π6)+2，(ω>0)在區間[?π6,π3]上單調遞減，且在區間A.23 B.12 C.1112二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列結論正確的有(

)A.函數f(x)=ex?e?x圖象關于原點對稱

B.函數f(x)定義域為R且對任意實數x、y恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，則f(x)為偶函數

C.f(x)=log2(x2?mx+1)10.若實數m,n>0，滿足2m+n=1，以下選項中正確的有(

)A.mn的最大值為18 B.1m+1n的最小值為42

C.211.如圖，正方形ABCD的邊長為1，P、Q分別為邊AB、DA上的動點，若△APQ的周長為定值2，則(

)A.∠PCQ的大小為45°

B.△PCQ面積的最小值為2?1

C.PQ長度的最小值為22?2

D.點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數f(x)=2x?3x在區間(1,2)上有一個零點x0，如果用二分法求x0的近似值(13.函數f(x)=sinx+2cosx取得最大值時sinx的值是______．14.設函數的定義域為D，如果存在區間[a,b]∈D，使得φ(x)在[a,b]上值域為[a,b]且單調，則稱[a,b]為函數φ(x)的保值區間.已知冪函數f(x)=(p2+p?1)(1)函數f(x)的解析式f(x)=

;(2)若函數φ(x)=2f(x+1)?k存在保值區間，則實數k的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)如圖，以x軸非負半軸為始邊作角α與β(0<β<α<π)，它們的終邊分別與單位圓相交于點P,Q，已知點P的坐標為?(1)求3sin(2)若OP⊥OQ，求sinβcos16.(本小題15分)

已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象相鄰對稱軸之間的距離是π2，若將f(x)的圖像向右移π6個單位，所得函數g(x)為奇函數．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函數?(x)=f(x)?35的一個零點為x17.(本小題15分)某科研部門有甲乙兩個小微研發項目，據前期市場調查，項目甲研發期望收益f(x)(單位：萬元)與研發投入資金x(單位：萬元)的關系為f(x)=log2x+1+ax+b，x≥0，項目乙研發期望收益g(x)(單位：萬元)與研發投入資金x(單位：萬元)的關系為g(x)=x?log2(1)求實數a，b，c的值;(2)已知科研部門計劃將27萬元資金全部投資甲乙兩個研發項目，試問如何分配研發資金，使得投資期望收益最大?并求出最大期望利潤．18.(本小題17分)已知f(x+1)為R上的偶函數，當x≥1時函數f(x)=lg(1)求f(?2)并求f(x)的解析式;(2)若函數g(x)=|x2+tx+12|在[0,2]的最大值為12，求19.(本小題17分)

已知函數g(x)=ax2?2ax+b(a>0)在區間[2,3]上的最大值為5，最小值為2，記f(x)=g(|x|)．

(1)求實數a、b的值；

(2)若不等式f(2k?2)>f(2)成立，求實數k的取值范圍；

(3)定義在[p,q]上的一個函數m(x)，用分法T：p=x0<x1<?<xt?1<xt<?<xn=q將區間[p,q]任意劃分成n個小區間，如果存在一個常數參考答案1.B

2.A

3.D

4.A

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AD

10.AD

11.ABC

12.7

13.514.f(x)=x15.解：(1)因為角α終邊與單位圓相交于點P?所以sinα=所以3sin(2)因為OP⊥OQ，所以β=α?π所以sinβ

16.解：(1)由題意可得T2=π2，可得T=π，

而T=2πω=π，可得ω=2，

此時f(x)=sin(2x+φ)，

由題意可得g(x)=sin[2(x?π6)+φ]=sin(2x?π3+φ)，

要使函數g(x)為奇函數，則?π3+φ=kπ，k∈Z，

即φ=π3+kπ，k∈Z，而0<φ<π，

所以φ=π3，

所以f(x)=sin(2x+π17.解：(1)由f(0)=g(0)=0，f(15)=17，

可得log2?0+1+b=0,log2?15+1+15a+b=17,解得?log2?32+c=0,a=1,b=0,c=5,

故f(x)=log2x+1+x，g(x)=x?log2(32?x)+5，

(2)設項目甲研發投入資金為x萬元，則項目乙投入27?x萬元，投資收益為y，

則y=f(x)+g(27?x)=log2x+1+x+27?x?log18.解：(1)∵f(x+1)為R上的偶函數，f(x)關于x=1對稱，

∴f(?2)=f(4)=lg10=1．

又f(?x+1)=f(x+1)，∴f(x)=f(2?x)，

當x<1即2?x>1時，f(x)=f(2?x)=lg(2?x+6)=lg(8?x)．

故f(x)=lg(6+x),x≥1lg(8?x),x<1．

(2)當t≥0時g(x)=x2+tx+12在[0,2]上單調遞增，g(x)的最小值為12，與題意矛盾，∴t<0，

同理當對稱軸?t2≥2即t≤?4時，則y=x2+tx+12在[0,2]上單調遞減，

∴g(2)≤g(0)=12，|2t+92|≤12，∴?52≤t≤?2，矛盾．

若?4<t<019.解：(1)易知二次函數g(x)的圖象開口向上，對稱軸為x=1，

則函數g(x)在區間[2,3]上單調遞增，

所以g(3)=5，g(2)=2，

則9a?6a+b=54a?4a+b=2，

解得a=1，b=2，

(2)由(1)知，g(x)=x2?2x+2，

則f(x)=g(|x|)=|x|2?2|x|+2=x2?2x+2,x≥0x2+2x+2,x<0，

因為f(?x)=(?x)2?2|?x|+2=x2?2|x|+2=f(x)，

所以函數f(x)為偶函數，

函數f(x)的圖