專題09平面向量小題解題秘籍解題秘籍向量的運算兩點間的向量坐標公式：，，終點坐標始點坐標向量的加減法，，向量的數(shù)乘運算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數(shù)量積向量的夾角向量的投影A． B． C．2 D．7．（22·23·龍巖·二模）已知向量，，，，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．（22·23下·長沙·三模）已知向量（2，1），（，3），則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．9．（22·23下·常州·一模）已知平面向量，滿足，則在方向上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．10．（22·23下·江蘇·三模）已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．11．（22·23·深圳·二模）在正六邊形ABCDEF中，F(xiàn)D與CE相交于點G，設，，則（

）A． B． C． D．12．（22·23·濰坊·三模）已知平面向量與的夾角是，且，則（

）A． B． C． D．13．（22·23·寧德·一模）已知向量，的夾角為60°，且，則的最小值是（

）A．3 B．2 C． D．14．（22·23下·浙江·二模）在三角形中，和分別是邊上的高和中線，則（

）A．14 B．15 C．16 D．1715．（22·23·廣東·二模）已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．16．（22·23下·長沙·二模）已知△ABC是單位圓O的內接三角形，若，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．17．（22·23下·湖北·三模）正的邊長為2，，則（

）A．2 B． C． D．18．（22·23·滄州·三模）在中，若，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．19．（22·23下·武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．920．（22·23下·武漢·三模）已知，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．21．（22·23·青島·三模）已知向量，，滿足：，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．122．（22·23·廈門·二模）在中，已知，，，若，且，，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．（22·23下·紹興·二模）已知直線與圓交于兩點，若，其中為原點，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．224．（22·23下·浙江·三模）已知點是邊長為1的正十二邊形邊上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．-225．（22·23下·南通·一模）已知等邊的邊長為，為的中點，為線段上一點，，垂足為，當時，（

）A． B．C． D．二、多選題26．（22·23·梅州·三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點，若，則（

）

A． B．C． D．27．（22·23下·湖南·二模）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．28．（22·23·山東·二模）下列說法正確的是（

）A．B．非零向量和，滿足且和同向，則C．非零向量和滿足，則D．已知，，則在的投影向量的坐標為29．（22·23·聊城·三模）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（）A． B． C． D．30．（22·23·菏澤·三模）已知點，動點滿足，則下面結論正確的為（

）A．點的軌跡方程為 B．點到原點的距離的最大值為5C．面積的最大值為4 D．的最大值為18三、填空題31．（22·23·衡水·一模）已知向量，，.若向量與平行，則實數(shù)的值為.32．（22·23下·鎮(zhèn)江·三模）在中，，點是的中點.若存在實數(shù)使得，則（請用數(shù)字作答）.33．（22·23·張家口·三模）已知向量均為單位向量，，向量與向量的夾角為，則.34．（22·23·深圳·二模）已知平面向量不共線，若，則當?shù)膴A角為時，的值是.35．（22·23·寧德·二模）在平行四邊形中，已知，，，，則．36．（22·23·唐山·二模）已知向量，，若，則實數(shù)．37．（22·23下·鹽城·三模）在中，，，，則的取值范圍是.38．（22·23·濟寧·三模）在中，、分別為、的中點，交于點.若，，，則.39．（22·23·保定·二模）在中，點在邊上，平分，若，，則．40．（22·23·惠州·一模）已知點在線段上，是的角平分線，為上一點，且滿足，設則在上的投影向量為．（結果用表示）．專題09平面向量小題解題秘籍解題秘籍向量的運算兩點間的向量坐標公式：，，終點坐標始點坐標向量的加減法，，向量的數(shù)乘運算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數(shù)量積向量的夾角向量的投影向量的平行關系向量的垂直關系向量模的運算模擬訓練模擬訓練一、單選題1．（23·24上·永州·一模）已知向量，且，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得的值.【詳解】，由于，所以.故選：C2．（23·24上·寧波·一模）若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價轉換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因為與垂直，所以，整理得，解得.故選：B.3．（23·24上·湖北·一模）設，，，，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)向量共線和垂直的坐標表示，分別求得的值，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由向量，當時，可得，解得；當時，可得，解得，所以是的充分不必要條件.故選：A.4．（22·23·三明·三模）若向量，滿足，與垂直，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)向量垂直求得，再根據(jù)投影向量的公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，即，所以在上的投影向量為.故選:A5．（23·24上·郴州·一模）已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求出，再利用投影向量的計算公式，可得答案.【詳解】由，則，，則，則向量在向量上的投影向量為.故選：B6．（22·23下·金華·三模）已知向量，向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義，即可求得答案.【詳解】由題意得，，所以向量在方向上的投影向量為，故選：B7．（22·23·龍巖·二模）已知向量，，，，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知向量坐標，求投影向量公式求解即可.【詳解】因為向量，，，，所以，，向量在向量方向上的投影向量為.故選：C8．（22·23下·長沙·三模）已知向量（2，1），（，3），則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量的定義直接求解即可.【詳解】因為向量（2，1），（，3），所以向量在方向上的投影向量為，故選：C9．（22·23下·常州·一模）已知平面向量，滿足，則在方向上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，平方求得，結合投影向量的計算公式，即可求解；【詳解】由，，且，平方得，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.10．（22·23下·江蘇·三模）已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律求出，即可求出，最后根據(jù)計算可得.【詳解】因為，所以，∴，又，所以，∴或（舍去），所以，所以在方向上的投影向量為.故選：A.11．（22·23·深圳·二模）在正六邊形ABCDEF中，F(xiàn)D與CE相交于點G，設，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理表示出，即可得到結果.【詳解】

如圖，連接，因為為正六邊形，所以，，所以，所以.故選：C12．（22·23·濰坊·三模）已知平面向量與的夾角是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用模的公式可得到，然后利用數(shù)量積的運算律即可得到答案【詳解】由可得，因為平面向量與的夾角是，且所以故選：C13．（22·23·寧德·一模）已知向量，的夾角為60°，且，則的最小值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】運用平面向量數(shù)量積的運算性質，結合配方法進行求解即可.【詳解】，當時，有最小值，故選：C14．（22·23下·浙江·二模）在三角形中，和分別是邊上的高和中線，則（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】將作為基底，用基底表示和，根據(jù)數(shù)量積的規(guī)則計算即可.【詳解】

設，則有，由余弦定理得，，其中，，解得，；故選：C.15．（22·23·廣東·二模）已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用圓的性質，得到，將轉換為，進而找到最大值.【詳解】如圖所示：

因為單位圓O是△ABC的外接圓，，所以，且，，故當共線反向時，取到最大值1，故選：C.16．（22·23下·長沙·二模）已知△ABC是單位圓O的內接三角形，若，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由題設易知且，，進而求即可得答案.【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，所以，，則，僅當時等號成立.故選：A17．（22·23下·湖北·三模）正的邊長為2，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，表示出向量，再利用向量基本運算法則表示出向量，再利用向量額數(shù)量積運算即可.【詳解】設，如圖所示：因為所以，故選：C．18．（22·23·滄州·三模）在中，若，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外心的性質，結合正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、圓的幾何性質進行求解即可.【詳解】因為，所以為的外心，且為外接圓上一動點，又，，所以外接圓的半徑.如圖，作，垂足為，則.所以，當與圓相切時，取最值，即在處取最大值6，在處取最小值，故選：B

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是由確定點的軌跡.19．（22·23下·武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】先利用向量的線性運算得到，再利用三點共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結果.【詳解】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，又，，所以，又三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號.故選：B.20．（22·23下·武漢·三模）已知，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結合數(shù)量積的定義分析可得反向，進而可得，運算求解即可.【詳解】由題意可得：，因為，則，即，可得，且，則，即反向，可得.故選：D.21．（22·23·青島·三模）已知向量，，滿足：，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】建立平面坐標系，用坐標表示，，，利用數(shù)量積的坐標運算計算即可.【詳解】由題意不妨設，則，且，解之得或，由，即的終點C在以為圓心，1為半徑的圓上，故，由圓的對稱性，不妨令，即，連接AD交圓于E，由點與圓的位置關系可知.故選：A

22．（22·23·廈門·二模）在中，已知，，，若，且，，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用余弦定理求出，進而得到⊥，求出，，從而得到，換元后求出m的取值范圍.【詳解】由余弦定理得，解得，

因為，由勾股定理逆定理得⊥，，則，因為，，所以，，在上的投影向量為，故，令，則，令，因為，所以，故當時，，當時，，，故，故選：B23．（22·23下·紹興·二模）已知直線與圓交于兩點，若，其中為原點，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由題平方可得，化簡得到，得出垂直關系，可得圓心到直線的距離，由點到線的距離公式，列式即可得解．【詳解】∵，則，∴，∴，而圓的圓心坐標為，半徑為，則，∴為等腰直角三角形，∴，∴圓心到直線的距離，∴，又，∴.故選：D.24．（22·23下·浙江·三模）已知點是邊長為1的正十二邊形邊上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義：等于長度與在的方向上的投影的乘積，結合圖形求解.【詳解】延長，交于，由題意，過分別作的垂線，垂足為，正十二邊形的每個內角為，在中，，，在中，，，則，∵，為的夾角，∴數(shù)量積的幾何意義：等于長度與在的方向上的投影的乘積，由圖可知，當在線段上時，取得最小值，此時.故選：B.25．（22·23下·南通·一模）已知等邊的邊長為，為的中點，為線段上一點，，垂足為，當時，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先分別表示出，，再由向量的數(shù)量積運算得到，從而得到為的重心，即可得到結果.【詳解】設，則，，，，或（舍去），為的重心，，為的中點，，故選：B．二、多選題26．（22·23·梅州·三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點，若，則（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)平行向量的線性運算結合平面向量基本定理運算求解.【詳解】因為，，所以，因為為的中點，所以，所以，所以，.可知：AD錯誤，BC正確.故選：BC.【點睛】本題考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意義.27．（22·23下·湖南·二模）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A選項根據(jù)向量的數(shù)量積運算判斷；B選項根據(jù)模長公式計算；C選項利用向量共線的關系結合模長公式計算；D選項根據(jù)向量的加法進行判斷.【詳解】因為，所以，則A正確；，則B正確；因為//，所以設，因為，所以，解得，所以或，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB28．（22·23·山東·二模）下列說法正確的是（

）A．B．非零向量和，滿足且和同向，則C．非零向量和滿足，則D．已知，，則在的投影向量的坐標為【答案】AC【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷A、C，根據(jù)向量的定義判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷D.【詳解】對于A：根據(jù)數(shù)量積的運算律可知，故A正確；對于B：向量不可以比較大小，故B錯誤；對于C：非零向量和滿足，則，即，所以，則，故C正確；對于D：因為，，所以，，所以在的投影向量為，故D錯誤；故選：AC29．（22·23·聊城·三模）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，將式子兩邊同時平方，然后相減即可得到，，然后結合向量夾角公式即可得到，從而得到結果.【詳解】因為，則，且，則，所以，即，則，又因為，即，設與的夾角為，則，即，且，則，所以，則與的夾角可以為，.故選：AB30．（22·23·菏澤·三模）已知點，動點滿足，則下面結論正確的為（

）A．點的軌跡方程為 B．點到原點的距離的最大值為5C．面積的最大值為4 D．的最大值為18【答案】ABD【分析】設動點，根據(jù)兩點之間的距離公式結合條件化簡即可判斷A選項，再由圓外一點到圓上一點的距離范圍判斷B和C選項，利用向量的數(shù)量積公式和代入消元法即可判斷D選項.【詳解】設動點，則由得：，即，化簡得：，即，所以A選項正確；所以點軌跡是圓心為，半徑為的圓，則點到原點的距離最大值為，所以B選項正確；又，和點軌跡的圓心都在軸上，且，所以當圓的半徑垂直于軸時，面積取得最大值，所以C選項錯誤；又，因為（），所以（），【詳解】由向量均為單位向量且，可得且，則，，且，又由向量與向量的夾角為，則.故答案為：.34．（22·23·深圳·二模）已知平面向量不共線，若，則當?shù)膴A角為時，的值是.【答案】2【分析】根據(jù)平面向量夾角公式列式可得結果.【詳解】因為，所以，所以，，，整理得，得（負值已舍去）.故答案為：.35．（22·23·寧德·二模）在平行四邊形中，已知，，，，則．【答案】【分析】設，根據(jù)題意化簡求得，再由，即可求解.【詳解】如圖所示，設，因為，，可得，，又因為，，可得，，兩式相減得到，可得，又由，所以.故答案為：.

36．（22·23·唐山·二模）已知向量，，若，則實數(shù)．【答案】【