第八章平面解析幾何高考難點突破系列(二)圓錐曲線中的綜合問題第四課時求值、證明、探索性問題題型一求值問題[規范解答]

解(1)當點A，點B和點C為橢圓的頂點時，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形，①當點A，點B和點C中有兩個點為上頂點和下頂點，一個為左頂點或右頂點時，②當點A，點B和點C中有一個點為上頂點或下頂點，兩個點為左頂點和右頂點時，①當直線BC的斜率不存在時，x1＝x2，y1＝－y2，因為p＋x1＋x2＝0，則A(－2x1，0).當直線BC的斜率存在時，因為點A在橢圓E上，由題易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，又直線l不過點A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.題型二證明問題例2(2024·長沙調研)如圖，圓C與x軸相切于點T(2，0)，與y軸正半軸相交于M，N兩點(點M在點N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圓C的方程；解設圓C的半徑為r(r>0)，依題意，圓心C的坐標為(2，r).解得y＝1或y＝4，即點M(0，1)，N(0，4).①當AB⊥x軸時，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②當AB與x軸不垂直時，可設直線AB的方程為y＝kx＋1.所以∠ANM＝∠BNM.綜合①②知∠ANM＝∠BNM.感悟提升圓錐曲線中的證明問題常見的有：(1)位置關系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點等.(2)數量關系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圓錐曲線的定義與性質的前提下，一般采用直接法，通過相關的代數運算證明.題型三探索性問題(2)如圖，過Γ的上頂點P作動圓F1的切線分別交Γ于M，N兩點，是否存在圓F1使得△PMN是以PN為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓F1的半徑；若不存在，請說明理由.解不存在.理由：假設存在圓F1滿足題意，當圓F1過原點O時，直線PN與y軸重合，直線PM的斜率為0，不合題意.依題意不妨設PM：y＝k1x＋2(k1≠0)，PN：y＝k2x＋2(k2≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，圓F1的半徑為r，感悟提升此類問題一般分為探究條件、探究結論兩種.若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結論，則應先求出結論的表達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及對參數的討論.訓練3(2024·西安質檢)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，點M(2，m)在拋物線C上，且|MF|＝2.(1)求實數m的值及拋物線C的標準方程；解由題意得，因為點M(2，m)在拋物線上，所以22＝2pm，(2)不過點M的直線l與拋物線相交于A，B兩點，若直線MA，MB的斜率之積為－2，試判斷直線l能否與圓(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此時直線l的方程；若不能，請說明理由.解由(1)得M(2，1)，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直線AB的方程為y＝kx＋2k＋9，即直線AB恒過拋物線內部的定點N(－2，9)，又圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好經過點N(－2，9)，當且僅當直線AB與半徑MN垂直時直線AB與圓M相切，拓展視野非對稱韋達定理課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN(2)過點P(－2，1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N.當|MN|＝2時，求k的值.解由題可知直線BC的方程為y－1＝k(x＋2).設B(x1，y1)，C(x2，y2).消去y整理得(4k2＋1)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，則由Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋1)(16k2＋16k)>0，得k<0，解設M(x，y)，(2)已知點F(1，0)，直線l：x＝4與x軸交于點D，直線AM與l交于點N，是否存在常數λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.即∠MFD＝2∠NFD，所以存在λ

＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.(2)設雙曲線C的左頂點為A，直線l2平行于l1，且交雙曲線C于M，N兩點，求證：△AMN的垂心在雙曲線C上.所以MH⊥AN.又因為AH⊥MN，所以H為△AMN的垂心.因為H在雙曲線C上，所以△AMN的垂心在雙曲線C上.解

設點P的坐標為(x，y)，證明

不妨設矩形ABCD的三個頂點A，B，C在W上，則AB⊥BC，矩形ABCD