專題13幾何圖形問題

一、數正方體個數

【典例】如圖是由若干個大小相同的小正方體所搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的

俯視圖

A.6個B.7個C.8個D.9

【解答】解：綜合三視圖可知，這個幾何體的底層有4個小正方體，第二層有1個小正方體，第三層有1

個小正方體，因此搭成這個幾何體所用小正方體的個數是4+1+1=6個.

故選：A.

【鞏固】由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和俯視圖，如圖所示，則搭成該幾何體的小正

C.9D.10

二、正方體的展開與折疊

【學霸筆記】

正方體的II種不同的展開圖

“一四一”型

【典例】如圖，是一個幾何體的表面展開圖.

（1）該幾何體是:

（2）依據圖中數據求該幾何體的體積.

【解答】解：（I）由展開圖得這個幾何體為長方體，

故答案為：長方體.

（2）表面積：3X1X2+3X2X2+2X1X2=22（米？），

體積：3X2X1=6（米3）,

答：該幾何體的表面積是22平方米，體積是6立方米.

【鞏固】如圖是?個正方體的展開圖，標注了字母A,C的面分別是正方體的正面和底面，其他面分別用字

母B,D,E,F表示.已知A=h+1,B=3x-2,C=hD=x-I,E=2x-1,F=x.

（1）如果正方體的左面與右面所標注字母代表的代數式的值相等，求出x的值；

（2）如果正面字母A代表的代數式與對面字母代表的代數式的值相等，且x為整數，求整數女的值.

三、疊放的幾何體求表面積或體積

【典例】棱長為。的正方體，擺成如圖所示的形狀.

(1)如果這一物體擺放三層，試求該物體的表面積：

(2)依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下20層，求該物體的表面積.

(3)依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下〃層，求該物體的表面積.

【解答】解:(I)6X(1+2+3)加2=36層.

故該物體的表面積為36〃：

(2)6X(1+2+3+…+20)?標=1260/.

故該物體的表面積為1260a2；

(3)6X(1+2+3+…+〃)?儲=3〃(1+/?)a2.

故該物體的表面積為3〃(l+〃)a2.

【鞏固】將一個棱長為整數的正方體木塊的表面涂紅色，然后分割成棱長為1的小正方體，若各個面未染

色的小正方體有2197個，則只有兩個面染色的小正方體有個.

鞏固練習

1.一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數

字表示在該位置的小正方塊的個數，能正確表示該幾何體的主視圖的是（）

2.如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所標數據計算這個幾何體的體積為（）

A.12JiB.I8nC.24nD.30Ji

3.如圖所示的正方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（）

4.一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀如圖所示，其中小正方形中的數字

表示在該位置上的小正方塊的個數，請你畫出從正面與左面看到的這個幾何體的形狀圖.

5.(I)如圖I,一個正方體紙盒的棱長為4厘米，將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形

的周長.

(2)如圖2,一個長方體紙盒的長、寬、高分別是。厘米、厘米、c厘米(a>b>c)將它的一些棱剪開

展成一個平面圖形，求這個平面圖形的最大周長，畫出周長最大的平面圖形.

6.請在下面的五個方框中畫出5種不I可的正力體的展開圖(經過平移或旋轉后能夠重合的，算作一種).

例

7.如圖，下列幾何體是由若干棱長為1的小立方體按一定規律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏

色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規律.

圖③

（1）第1個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有個.第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方

體共有個.

（2）設第〃個幾何體中只有.2個面涂色的小立方體的塊數為M,請用含字母〃的代數式表示M；

（3）求出前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數的和.

8.（1）在如圖（1）所示的正方體表面展開圖中的三個空白正方形內各填入一個質數，使該圖復原成正方

體后，三組對面上的兩數之和都相等.

（2）圖（2）是由四個如圖（1）所示的正方體拼成的長方體，其中有陰影的面上為合數，無陽影的面上為

質數，并且整個表面上任意兩個相鄰正方形內的數都不是圖（1）所示的正方體相對面上的兩數.已知長方

體正面上的四個數之和為質數，那么其左側面上的數是（填具體數）.

（3）如果把圖（2）中的長方體從中間等分成左右兩個小長方體，它們各自表面上的各數之和分別為和

S右，那么S左與S友的大小關系是SJS右.

IE?

(2)

9.六盒磁帶按“規則方式”打包，所謂“規則方式”是指每相鄰兩盒必須以完全一樣的面對接，最后得到

的包裝形狀是一個長方形.已知磁帶盒的大小為〃加=11X7X2（單位

（1）請畫出示意圖，給出一種打包方式，使其表面積最小；

（2）若不給出。、b、c的具體尺寸，只假定3問能否按照已知的方式打包，使其表面積最小？并

10.十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）,面數（F）,棱數（E）之間存在的一個有趣

的美系式，被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

四面體長方體正八面體正十二面體

（I）根據上面多面體的模型及表格中的數據:

多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）

四面體446

長方體8612

正八面體6812

你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是；

（2）一個多面體每個頂點處都有3條棱，多面體的棱數比頂點數大10,則這個多面體的面數是；

（3）某個玻璃飾品的外形是簡單的多面體.它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成.每個頂

點處都有3條棱，共有棱36條.若該多面體外表面三角形的個數比八邊形的個數的2倍多2,求該多面體

外表面三角形的個數.

專題13幾何圖形問題

一、數正方體個數

【典例】如圖是由若干個大小相同的小正方體所搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的

俯視圖

A.6個B.7個C.8個D.9

【解答】解：綜合三視圖可知，這個幾何體的底層有4個小正方體，第二層有1個小正方體，第三層有1

個小正方體，因此搭成這個幾何體所用小正方體的個數是4+1+1=6個.

故選：A.

【鞏固】由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和俯視圖，如圖所示，則搭成該幾何體的小正

方體的個數最多是（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：由俯視圖易得最底層有6個小正方體，第二層最多有3個小正方體，那么搭成這個幾何體的

小正方體最多為3+6=9個.

故選：C.

二、正方體的展開與折疊

【學霸筆記】

正方體的11種不同的展開圖

“一四一”型

【典例】如圖，是一個幾何體的表面展開圖.

（1）該幾何體是:

（2）依據圖中數據求該幾何體的體積.

【解答】解：（I）由展開圖得這個幾何體為長方體，

故答案為：長方體.

（2）表面積：3X1X2+3X2X2+2X1X2=22（米？），

體積：3X2X1=6（米3）,

答：該幾何體的表面積是22平方米，體積是6立方米.

【鞏固】如圖是?個正方體的展開圖，標注了字母A,C的面分別是正方體的正面和底面，其他面分別用字

母B,D,E,F表示.已知A=h+1,B=3x-2,C=hD=x-I,E=2x-1,F=x.

（1）如果正方體的左面與右面所標注字母代表的代數式的值相等，求出x的值；

（2）如果正面字母A代表的代數式與對面字母代表的代數式的值相等，且x為整數，求整數女的值.

【解答】解：(I)???正方體的左面B與右面D代表的代數式的值相等，

A-1—3x-2?

解得x=

(2)???正面字母A代表的代數式與對面F代表的代數式的值相等，

kx+1=x,

：.(A-1)x=-I,

為整數,

???力…為?l的因數,

:.k-1=±1,

???&-0或3一2,

綜上所述，整數k的值為。或2.

三、疊放的幾何體求表面積或體積

【典例】棱長為。的正方體，擺成如圖所示的形狀.

(1)如果這?物體擺放三層，試求該物體的表面積：

(2)依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下2()層，求該物體的表面積.

(3)依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下〃層，求該物體的表面積.

(2)6X(1+2+3+…+20)?。2=1260屋.

故該物體的表面積為1260a2；

(3)6X(1+2+3+…+〃)*/=3〃(1+〃)a2.

故該物體的表面積為3〃(1+//)標.

【鞏固】將一個棱長為整數的正方體木塊的表面涂紅色，然后分割成棱長為1的小正方體，若各個面未染

色的小正方體有2197個，則只有兩個面染色的小正方體有個.

【解答】解：???133=2197,

，在大正方體中未染色的部分是棱長為13的小立方?體，

因此大正方體的棱長為13+2=15,

棱長為15的大正方體的每一條棱上有15-2=13個只有兩個面奧色的小正方體,

因此共有13X12=156個只有兩個面染色的小正方體，

故答案為：156.

鞏固練習

1.一個幾何體山大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數

字表示在該位置的小正方塊的個數，能正確表示該幾何體的主視圖的是（）

【解答】解：由所給圖可知，這個幾何體從正面看共有三列，左側第一列最多有4塊小正方體，中間一列

最多有2塊小正方體，最右邊一列有3塊小正方體，

所以主視圖為B.

故選:B.

2.如圖是一個兒何體的二視圖，根據圖中所標數據計算這個兒訶體的體積為（）

A.12JiB.18nC.24nD.30n

【解答】解：由三視圖可得，幾何體是空心圓柱，其小圓半徑是1,大圓半徑是2,

則大圓面積為：nX22=4n,小圓面積為：nX12=n,

故這個幾何體的體積為：6X4Ji-6XJT=24Ji-6n=18n.

故選:B.

3.如圖所示的正方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（）

【解答】解：由“相間Z端是對面”可知A、D不符合題意，而C折疊后，圓形在前面，正方形在上面，

則三角形的面在右面，與原圖不符，

只有B折疊后符合，

故選：B.

4.一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀如圖所示，其中小正方形中的數字

表示在該位置上的小正方塊的個數，請你畫出從正面與左面看到的這個幾何體的形狀圖.

【解答】解：從止面看、左面看的圖形如圖所示:

從正面看從左面看

5.(1)如圖1,一個正方體紙盒的棱長為4厘米，將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形

的周長.

(2)如圖2,一個長方體紙盒的長、寬、高分別是〃厘米、匕厘米、。厘米(a>b>c)將它的一些棱剪開

展戌一個平面圖形，求這個平面圖形的最大周長，畫出周長最大的平面圖形.

【解答】解：(1)???正方體有6個表面，12條棱，要展成一個平面圖形必須5條棱連接,

???要剪12-5=7條棱，

4X(7X2)

=4X14

=56(cm).

答：這個平面圖形的周長是56a”；

這個平面圖形的最大周長是8a+46+2c.

6.請在下面的五個方框中畫出5種不同的正方體的展開圖(經過平移或旋轉后能夠重合的，算作一種).

【解答】解：作圖如下：(答案不唯一).

7.如圖，下列幾何體是由若干棱長為1的小立方體按一定規律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏

色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規律.

圖①圖②

（1）第1個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有個.第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方

體共有個.

（2）設第〃個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數為M,請用含字母〃的代數式表示M；

C）求出前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數的和.

【解答】解：（I）觀察圖形可得第I個幾何體中最底層的4個角的小立方體只有2個面涂色；第3個幾何

體中只有2個面涂色的小立方體共有5X4=20個故答案為：420…（4分）

（2）觀察圖形可知：圖①中，兩面涂色的小立方體共有4個；

圖②中，兩面涂色的小立方體共有12個；

圖③中，兩面涂色的小立方體共有20個.

4,12,20都是4的倍數，可分別寫成4X1,4X3,4X5的形式，

囚此，笫〃個圖中兩面涂色的小立方體共有4（2/L1）=8/2-4,

???M=8〃-4（〃為正整數）…（8分）

（3）（8X1-4）+（8X2-4）+（8X3-4）+（8X4-4）+（8X5-4）+???+（8X100-4）

=8（1+2+3+4+…+100）-100X4=40000

故前100個圖形的點數和為4000（）.

8.（I）在如圖（I）所示的正方體表面展開圖中的三個空白正方形內各填入一個質數，使該圖復原成正方

體后，三組對面上的兩數之和都相等.

（2）圖（2）是由四個如圖（1）所示的正方體拼成的長方體，其中有陰影的面上為合數，無陽影的面上為

質數，并且整個表面上任意兩個相鄰正方形內的數都不是圖（1）所示的正方體相對面上的兩數.已知長方

體正面上的四個數之和為質數，那么其左側面上的數是（填具體數）.

（3）如果把圖（2）中的長方體從中間等分成左右兩個小長方體，它們各自表面上的各數之和分別為S,,和

S右，那么S左與S右的大小關系是S左S右.

（2）已知長方體正面上的四個數之和為質數，任意兩個相鄰正方形內的數都不是圖（1）所示的正方體相

對面上的兩數.那么可猜測正面上的四個數分別為：13,18,2,21,按照（1）,13在正面，那么21應該

在左側；

故答案為21.

同時第（2）小題中，如果正面的數從左到右依次是2,10,13,16與13,10,2,16,答案就不一樣了.同

時即使左邊一個正面的數為2,那上面的數可以是16,也可以是10,故此題答案不唯一.

（3）分開后，左側表面的數的和為:2（13+21+10+16+7）=134；右側表面的數的和為：（2+16+21+7+13）

+（21+10+13+2+7）=112,

；?St￡>S右.

9.六盒磁帶按“規則方式”打包，所謂“規則方式”是指每相鄰兩盒必須以完全一樣的面對接，最后得到

的包裝形狀是一個長方形.已知磁帶盒的大小為。兒=11X7X2（單位cm）.

（1）請畫出示意圖，給出一種打包方式，使其表面積最小；

（2）若不給出人爪c的具體尺寸，只假定〃2匕263問能否按照已知的方式打包，使其表面積最小？并

說明理由.

a

【解答】解：（1）設：三個面的面積記為A=Ac,B=ac,C=ab,

①在1X6的方式下，打包方式如圖乙，這時，表面積

S6=2C+12BH2A=2X11X7+I2XIIX2+I2X7X2=586（cM：；

②在2X3的方式下，打包方式如圖丙，這時，表面積

S丙=4C+6B+12A=4XI1X7+6X11X2+12X7X2=608（c/n2）；

因為S乙<S內，所以最小表面積的打包方式是1X6.

（2）若a，b》c,則單疊（即1*6方式）打包的最小表面積S=2a力+12ac+12Ac；

雙疊（即2*3方式）打包最小表面積S'=4仍+6ac+12〃c.所以SS'=2a（3c-A）.

所以：當且cWAV3c時，最小表面積為雙橙

當心Q3c時，最小表面積為單疊

當。2〃=3。時，兩種方式一樣大

o9B

圖甲圖乙圖丙

10.十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣

的關系式，被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題:

四面體長方體正八面體正十二面體

（1）根據上面多面體的模型及表格中的數據：

多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）

四面體446

長方體8612

正八面體6812

你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是;

（2）一個多面體每個頂點處都有3條棱，多面體的棱數比頂點數大10,則這個多面體的面數是；

（3）某個玻璃飾品的外形是簡單的多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，每個頂

點處都有3條棱，共有棱36條.若該多面體外表面三角形的個數比八邊形的個數的2倍多2,求該多面體

外表面三角形的個數.

【解答】解：（1）74+4-6=2,8+6-12=2,6+8?12=2,

???頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是V+F-E=2；

故答案為：V+F?E=2：

<2）根據題意，可得『第”,解得《=祟

（2占=3V=30

VV+F-E=2,

.??F=2+E-V=2+30-20=12,

故答案為：12；

(3))???￥=36=E,V=24,V+F-E=2,

2

???F=14,

設八邊形的個數為），個,

則三角形的個數為23，+2個，

由題意得尸2y+2=14,

解得：y=4,

???2尸2=10,

答：該多面體外表面三角形的個數為10個.

專題14直線、射線、線段

一、線段的和、差、倍、分

【典例】(1)如圖，已知點C在線段AB上，且AC=12c/〃，BC=8a〃，點M、N分別是

AC、BC的中點，求線段MN的長度；

(2)若點C是線段AB上任意一點，且AC=a,BC=幾點M、N分別是AC、BC的中點，

求線段MN的長度：(用心〃的代數式表示)

(3)在(2)中，把點C是線段AB上任意一點改為：點C是直線AB上任意一點，其他

條件不變，則線段MN的長度會變化嗎？若有變化，求出結果.

AMCNB

【解答】解：(1)由AC=12(cm),M是AC的中點，得

MC=-AC=6(cm).

2

由BC=8(cm),N是CB的中點，得

CN=-CB=4(cm).

2

由線段的和差，得

MN=MC+NC=6+4=10(cm)；

(2)由AC=a(cm),M是AC的中點，得

MC=-AC=-(cm).

22

由BC=〃(c〃z),N是CB的中點，得

CN=:CB=2(cm).

22

由線段的和差，得

MN=MC+NC=-+-=—(cm)；

222

(3)①當點C在B點的右邊時，AC=a,BC=4點M、N分別是AC、BC的中點，得

MC=-AC=NC=-BC=-(cm).

2222

由線段的和差，得

MN=MC-NC=7-1=￡T(的)；

②當點C在A點的左邊的，AC=〃，BC=〃，點M、N分別是AC、BC的中點，得

MC=-AC=NC=-BC=-(c//z).

2222

由線段的和差，得

MN=NC-MC=

222

③點C在線段AB上時，MN=MC+NC=T+?=?(cm).

【鞏固】如圖，已知線段AB=,〃，CD=〃，線段CD在直線AB上運動(點A在點B的左

側，點C在點D的左側）,若■⑵+（6-〃）2=0.

（1）求線段AB,CD的長：

（2）若點M,N分別為線段AC,BD的中點，BC=4,求線段MN的長；

（3）當CD運動到某一時刻時，點D與點B重合，點P是線段AB的延長線上任意一點,

下列兩個結論：①^是定值，②^是定值，請選擇你認為正確的一個并加以說明.

??------?—?----------------

ACDB

二、計數類問題

【學霸筆記】

1.若平面內有兩兩相交的〃條直線，其交點最少為1個，最多有—個；

2.若一條直線上有〃個點，那么這條直線上的線段總數有4〃（八一1）條，射線總數有如條:

3.過平面上任意三個不在同一條直線上的〃個點中的兩個點，可以畫1）條直線；

4.平面內〃條直線兩兩相交，且任意三條直線都不共點時，這些直線可以將平面分成互不

重疊的部分最多，有：TigI1）I1個.

【典例】A、B、C、D、E五支球隊進行單循環比賽（每兩支球隊間都要進行一場比賽），

當比賽進行到一定階段時，統計A、B、C、D四個球隊已賽過的場數，依次為A隊4場，

B隊3場，C隊2場，D隊1場，這時，E隊已賽過的場數是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：A、B、C、D、E五支球隊進行單循環比賽，已知A隊賽過4場，所以A隊

必須和B、C、D、E這四個球隊各賽一場，

已知B隊賽過3場，B隊已和A隊賽過1場，那么B隊只能和C、D、E中的兩個隊比賽，

又知D隊只賽過一場（也就是和A隊賽過的一場），

所以B隊必須和C、E各賽1場，這樣滿足C隊賽過2場，從而推斷E隊賽過2場.

故選：B.

【鞏固】為了解決“經過平面上的100個點中的任意兩點最多能畫出多少條直線”這個問題，

數學課外興趣小組的同學們討論得出如下方法：當〃=2,3,4時，畫出最多直線的條數分

別是：

6=1+2+3

13=1+2

過兩點畫一條直線，三點在原來的基礎上增加一個點，它與原來兩點分別畫一條直線，即增

加兩條直線，以此類推，平面上的10個點最多能畫出1+2+3+…+9=45條直線.

請你比照上述方法，解決下列問題：（要求作圖分析）

（1）平面上的20條直線最多有多少個交點？

（2）平面上的100條直線最多可以把平面分成多少個部分？平面上〃條直線最多可以把平

面分成多少個部分？

鞏固練習

1.如圖，王偉同學根據圖形寫出了四個結論:

①圖中共有3條直線；②圖中共有7條射線：③圖中共有6條線段；④圖中射線BC與射線

CD是同一條射線.

其中結論正確的有（）

2個C.3個D.4個

2.如圖，線段AF中，AB=?,BC=b,CD=c,DE=d,EF=e.則以A,B,C,D,E,

F為端點的所有線段長度的和為（）

[a11Ic[d]。?

ABCDEF

A.5a+8〃+9c+8d+5eB.5a+Sb+\0c+Sd+5e

C.5a$9從9c$94+5eD.Da+16>18c+16d*10c

3.互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC=2a+l,BC=〃+4,AB=3a,這三點

的位置關系是（）

A.點A在B、C兩點之間B.點B在A、C兩點之間

C.點C在A、B兩點之間D.無法確定

4.如圖，在數軸上有A,B,C,D,E五個整數點（即各點均表示整數），且AB=2BC=

3CD=4DE,若A、E兩點表示的數的分別為-13和12,那么，該數軸上上述五個點所表

示的整數中，離線段AE的中點最近的整數是（）

IIlli

ABCDE

A.-1B.5C.6D.8

5.如圖，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N是線段AC的中點，P為

NA的中點，Q是AM的中點，則MN：PQ等于（）

IIlliII

AQPMNBC

A.1B.2C.3D.4

6.平面內的9條直線任兩條都相交，交點數最多有機個，最少有//個，則〃計〃等于（）

A.36B.37C.38D.39

7.某公司員工分別在A、B、C三個住宅區，A區有30人，B區有15人，C區有10人，

三個區在一條直線上，位置如圖所示，該公司的接送車打算在此間只設一個停靠點，為使所

有員工步行到停靠點的路程之和最小，那么停靠點的位置應設在（）

卜10咪水200米x

/區8區C區

A.A區B.B區

C.C區D.A、B兩區之間

8.如圖，B,C,D是線段AE上的三個點，已知AE=9,BD=4,求圖中以A、B、C、D、

E這5個點為端點的所有線段的和為.

ABCDE

■IBB■

9.已知線段AB=〃？（機為常數），點C為直線AB上一點，點P、Q分別在線段BC、AC

上，且滿足CQ=2AQ,CP=2BP.

ACB

（1）如圖，若AB=6,當點C恰好在線段AB中點時，則PQ=；

（2）若點C為直線AB上任一點，則PQ長度是否為常數？若是，請求出這個常數；若不

是，請說明理由；

（3）若點C在點A左側，同時點P在線段AB上（不與端點重合），請判斷2AP+CQ-2PQ

與1的大小關系，并說明理由.

10.直線/上的三個點A、B、C,若滿足BC=，\B,則稱點C是點A關于點B的“半距點”.如

圖1,BC=|AB,此時點C就是點A關于點B的一個“半距點”.

若M、N、P三個點在同一條直線機上，且點P是點M關于點N的“半距點”，MN=6c〃?.

（1）MP=cm；

（2）若點G也是直線〃?上一點，旦點G是線段MP的中點，求線段GN的長度.

ABC1

（圖1）

（備用圖）

專題14直線、射線、線段

一、線段的和、差、倍、分

【典例】(1)如圖，己知點C在線段AB上，且AC=12M,BC=8CM,點M、N分別是AC、BC的中點，

求線段MN的長度；

(2)若點C是線段AB上任意一點，且AC=a,BC=4點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN

的長度；(用。、。的代數式表示)

(3)在(2)中，把點C是線段AB上任意一點改為：點C是直線AB_L任意一點，其他條件不變，則線

段MN的長度會變化嗎？若有變化，求出結果.

AMCNB

【解答】解：(1)由AC=12(cm),M是AC的中點，得

MC=-AC=6(cm).

2

由BC=8(an),N是CB的中點，得

CN=-CB=4(an).

2

由線段的和差，得

MN=MC+NC=6+4=10(cm)；

(2)由AC=〃(cw),M是AC的中點，得

MC=-2AC=-2(cm).

由BC=〃Cem),N是CB的中點，得

CN=-CB=-Cem).

22

由線段的和差，得

MN=MC+NC=-+-=—(cm)；

222

(3)①當點C在B點的右邊時，AC=〃，BC=〃，點M、N分別是AC、BC的中點，得

MC=-AC=NC=-BC=-(cw).

2222

由線段的和差，得

MN=MC-NC=---=—(an)；

222

②當點C在A點的左邊時，AC=〃，BC=A點M、N分別是AC、BC的中點，得

MC=-AC=NC=-BC=-(cm).

2222

由線段的和差，得

MN=NC-MC=

222

③點C在線段AB上時，MN=MC+NC=j+1=(cm).

【鞏固】如圖，已知線段AB=〃【，CD=〃，線段CD在直線AB上運動(點A在點B的左側，點C在點D

的左側)若12|+(6-/1)2=0.

(1)求線段AB,CD的長；

(2)若點M,N分別為線段AC,BD的中點，BC=4,求線段MN的長；

(3)當CD運動到某一時刻時，點D與點B重合，點P是線段AB的延長線上任意一點，下列兩個結論:

是定值，吟=是定值，請選擇你認為正確的一個并加以說明.

???—?------------------------

ACDB

【解答】解：(1)'：\m-12|+(6-〃)2=0,

\m-121=-(6-//)*2,

"-12=0,6-n=0,

??〃=6,〃?=12,

AAB=12,CD=6；

(2)如圖I,???M、N分別為線段AC、BD的中點，

,\AM=-2AC=-2(AB+BC)=8,

DN=-BD=-(CD+BC)=5,

22

/.MN=AD-AM-DN=9；

MN,

-------------------------?-------------?------------1

ABCD

圖1

“N

??????/

ACBD

圖2

如圖2,VMsN分別為線段AC、BD的中點，

AAM=-AC=i(AB-BC)=4,

22

DN=-BD=-(CD-BC)=1,

22

/.MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9；

(3)②正確.理由如下：

..PA+PB_(PC+AC)+{PC-CB)_2PC

?—==2,

PCPCPC

工②嗜是定值2.

二、計數類問題

【學霸筆記】

1.若平面內有兩兩相交的〃條直線，其交點最少為1個，最多有義九⑺一1)個;

2.若一條直線上有〃個點，那么這條直線上的線段總數有條，射線總數有2八條;

3.過平面上任意三個不在同一條直線上的〃個點中的兩個點，可以畫—條直線；

4.平面內〃條直線兩兩相交，且任意三條直線都不共點時，這些直線可以將平面分成互不重疊的部分最

多,有）以"+1）+1個.

【典例】A、B、C、D、E五支球隊進行單循環比賽（每兩支球隊間都要進行一場比賽），當比賽進行到一

定階段時，統計A、B、C、D四個球隊已賽過的場數，依次為A隊4場，B隊3場，C隊2場，D隊1場，

這時，E隊己賽過的場數是（）

A.IB.2C.3D.4

【解答】解：A、B、C、D、E五支球隊進行單循環比賽，已知A隊賽過4場，所以A隊必須和B、C、D、

E這四個球隊各賽?場，

已知B隊賽過3場，B隊已和A隊賽過I場，那么B隊只能和C、D、E中的兩個隊比賽，

乂知D隊只賽過一場（也就是和A隊賽過的一場），

所以B隊必須和C、E各賽1場，這樣滿足C隊賽過2場，從再推斷E隊賽過2場.

故選:B.

【鞏固】為了解決“經過平面上的100個點中的任意兩點最多能畫出多少條直線”這個問題，數學課外興

趣小組的同學們討論得出如下方法：當〃=2,3,4時，畫出最多直線的條數分別是：

過兩點畫一條直線，三點在原來的基礎上增加一個點，它與原來兩點分別畫一條直線，即增加兩條直線，

以此類推，平面上的10個點最多能畫出1+2+3+…+9=45條直線.

請你比照上述方法，解決下列問題：（要求作圖分析）

（1）平面上的20條直線最多有多少個交點？

（2）平面上的100條直線最多可以把平面分成多少個部分？平面上〃條直線最多可以把平面分成多少個部

分？

【解答】解.：（1）當有2,3,4條直線時最多交點的個數分別是：

.*.20條直線最多有1+2+3+…+19=190個交點;

(2)當有I,2,3條直線時最多可把平面分成的部分分別是:

1+(1+2+3+…+100)=5051個部分,

同理〃條直線最多可把平面分成

1+(1+2+3+…+〃)=1+3=立山

22

鞏固練習

1.如圖，王偉同學根據圖形寫出了四個結論:

①圖中共有3條直線：②圖中共有7條射線：③圖中共有6條線段；④圖中射線BC與射線CD是同一條射

線.

其中結論正確的有()

C.3個D.4個

【解答】解：①圖中只有BDI條直線，原來的說法錯誤;

②圖中共有2X3+1義2=8條射線，原來的說法錯誤；

③圖中共有6條線段的說法是正確的；

④圖中射線BC與射線CD不是同一條射線，原來的說法錯誤.

故選：A.

2.如圖，線段AF中，AB=〃，BC=b,CD=c,DE=d,EF=e.則以A,B,C,D,E,F為端點的所有

線段長度的和為()

aibicidiei

ABCDEF

A.5a+8b+9c+8d+5eB.5a+8b+1Oc+8d+5e

C.5a+9b+9c+9d+5eD.10。+165+18rH6d+10e

【解答】解:以A為端點線段有AB、AC、AD、AE、AF,這些線段長度之和為5a+4〃+3e+2d+e,

以B為端點線段有BC、BD、BE、BF,這些線段長度之和為4/>+3c+2d+e,

以C為端點線段有CD、CE、CF,這些線段長度之和為3e+2d+e,

以D為端點線段有DE、DF,這些線段長度之和為

以E為端點線段有EF,線段的長度為e,

故這些線段的長度之和為5〃+8加9c*+8d+5e,

故選：A.

3.互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC=2a+l,BC=a+4,AB=3a,這三點的位置關系是

()

A.點A在B、C兩點之間B.點B在A、C兩點之間

C.點C在A、B兩點之間D.無法確定

【解答】解：???AC=2a+l,BC=a+4,AB=3mA、B、C三點互不重合

：.a>0,

若點A在B、C之間，

則AB+AC=BC,

即2a+l+3a=a+4,

解得?=p

4

故A情況存在，

若點B在A、C之間，

則BC+AB=AC,

即a+4+3a=2a+l,

解得〃=*,

故B情況不存在，

若點C在A、B之間，

則BC+AC=AB,

即。+4+2。+1=3。，

此時無解，

故C情況不存在，

???互不重合的A、B、C三點在同一直線上，

故選：A.

4.如圖，在數軸上有A,B,C,D,E五個整數點（即各點均表示整數），且AB=2BC=3CD=4DE,若

A、E兩點表示的數的分別為-13和12,那么，該數軸上上述五個點所表示的整數中，離線段AE的中點

最近的整數是（）

IIlli

ABCDE

A.-1B.5C.6D.8

【解答】解：由題意可設AB=K,由AB=2BC=3CD=4DE有

BC=-2x,C3D=-x.D4E=-x

,:A、E兩點表示的數的分別為-13和12,

AAE=25

.*.A+-X+-X+入=25,解得x=12

234

/.AB=12,BC=6,CD=4,DE=3

???B、C、D三個點表示的數分別是-1、5、9.

而A、E兩點的中點表示的數應該是-0.5,

.?.上述五個點所表示的整數中，離線段AE的中點最近的整數是-1.

故選：A.

5.如圖，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，、是線段AC的中點，P為NA的中點，Q

是AM的中點，則MN：PQ等于（）

IIlliII

AQpMNBC

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：根據B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N是線段AC的中點，P為NA的中點,

Q是AM的中點，可知：PQ=AP-AQ=1AN-^AM=1（AN-AM）=|MN,所以MN：PQ=2：1=2

故選：B.

6.平面內的9條直線任兩條都相交，交點數最多有〃?個，最少有〃個，則〃計〃等于（）

A.36B.37C.38D.39

【解答】解：三條最多交點數的情況.就是第三條與前面兩條都相交：1+2

四條最多交點數的情況.就是第四條與前面三條都相交：1+2+3

五條最多交點數的情況.就是第五條與前面四條都相交：1+2+3+4

六條最多交點數的情況.就是第六條與前面五條都相交:1+2+3+4+5

七條最多交點數的情況.就是第七條與前面六條都相交:1+2+3+4+5+6

八條最多交點數的情況.就是第八條與前面七條都相交:1+2+3+4+5+6+7

九條最多交點數的情況.就是第九條與前面八條都相交:1+2+3+4+5+6+7+8=36

當平面內的9條直線相交于同?點時，交點數最少，即〃=1

則搟+〃=1+36=37

故選:B.

7.某公司員工分別在A、B、C三個住宅區，A區有30人，B區有15人，C區有10人，三個區在一條直

線上，位置如圖所示，該公司的接送車打算在此間只設一個停靠點，為使所有員工步行到停靠點的路程之

和最小，那么停靠點的位置應設在()

200米

A.A區B.B區

C.C區D.A、B兩區之間

【解答】解：???當停靠點在A區時，所有員工步行到停靠點路程和是：15X100+10X300=4500”

當停靠點在B區時，所有員工步行到停靠點路程和是：30X10010X200=5000//?,

當停靠點在C區時，所有員工步行到停靠點路程和是：30X30015X200=12000〃?，

當停靠點在A、B區之間時，

設在A區、B區之間時，設距離A區x米，

則所有員工步行路程之和=3Qr+15(100-x)+10(100+200-

=3O.v+l5OO-15x+30(X)-IOx,

=5廿4500,

也可以：利用人數越多，走的路程越少，總路程會越少，

???當x=0時，即在A區時，路程之和最小，為4500米；

綜上，當停靠點在A區時，所有員工步行到停靠點路程和最小，那么停靠點的位置應該在A區.

故選：A.

8.如圖，B,C,D是線段AE上的三個點，已知AE=9,BD=4,求圖中以A、B、C、D、E這5個點為

端點的所有線段的和為.

ABCDE

■…?■.I..1

【解答】解：???AE=9,BD=4,

AAB+DE=9-4=5.

???以A、B、C、D、E這5個點為端點的所有線段的和=AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE

=(BC+CD)+(AB+DE)+(AC+CE)+(AD+DE)+AE+BD

=BD+(AB+DE)+AE+AE+AE+BD

=4+5+9+9+9+4

=40.

故答案為：40.

9.已知線段AB=〃？(m為常數，點C