第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.5指數(shù)、對數(shù)均值不等式需注意的是，在實際解題過程中，凡涉及這兩個不等式的都需給出證明，以確保考試不被扣分.題型一對數(shù)均值不等式的應(yīng)用①若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(x1，x2)時，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增.證明法一由(1)知，f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于x1x2＝1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1.法二由(1)知，f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1.感悟提升關(guān)鍵是湊配出利用對數(shù)均值不等式的形式.訓(xùn)練1

若函數(shù)f(x)＝lnx－ax有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1x2＞e2.(注：此題用對數(shù)均值不等式證明)證明

借助a作為媒介，構(gòu)造對數(shù)均值不等式.依題意，lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0.兩式相加，得lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2).故欲證x1x2＞e2，即證lnx1＋lnx2＞2，由對數(shù)均值不等式知上式顯然成立.綜上，x1x2＞e2成立.題型二指數(shù)均值不等式例2

(2024·石家莊質(zhì)檢改編)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a>1)有兩個不同的零點x1，x2，x1<x2，求證：x1＋x2>2.感悟提升當(dāng)出現(xiàn)指數(shù)和、指數(shù)差時，考慮利用指數(shù)均值不等式進行放縮，進而得到所求不等式的范圍.訓(xùn)練2

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝2ln(x－2)＋a(x－2)2，若函數(shù)f(x)的兩個相異零點x1，x2，求證：x1x2＋4>2(x1＋x2)＋e.證明

x1x2＋4>2(x1＋x2)＋e?(x1－2)(x2－2)>e?ln(x1－2)＋ln(x2－2)>1.設(shè)t1＝ln(x1－2)，t2＝ln(x2－2)，故原命題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)g(t)＝2t＋ae2t有兩個相異零點t1，t2，設(shè)t1<t2，證明t1＋t2>1，課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN2.若m>0，x1，x2為函數(shù)f(x)＝ex－mx－a的兩個零點，且x1<x2，求證：2x1＋x2<

3lnm.證明由f′(x)＝ex－m，由f′(x)<0，得x<lnm；由f′(x)>0，得x>lnm，則f(x)在(－∞，lnm)上單調(diào)遞減，在(lnm，＋∞)上單調(diào)遞增，故x1<lnm<x2，①由①②得2x1＋x2<3lnm.當(dāng)x＞1時，h′(x)