第八章8.28.2.2第2課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．在回歸分析中，R2的值越大，說明殘差平方和()A．越大 B．越小C．可能大也可能小 D．以上均錯【答案】B2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表所示：學(xué)生甲乙丙丁R20.950.500.850.77則建立的回歸模型擬合效果最好的同學(xué)是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁【答案】A3．在線性回歸模型中，變量x與y的一組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的點均在直線y＝eq\f(1,4)x＋eq\f(1,2)上，則R2等于()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．2【答案】C4．甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對A，B兩變量進(jìn)行回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2如下表所示：學(xué)生甲乙丙丁散點圖殘差平方和115106124103試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高的同學(xué)是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁【答案】D【解析】根據(jù)線性相關(guān)的知識，散點圖中各樣本點條狀分布越均勻，同時保持殘差平方和越小，則由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好，由試驗結(jié)果知丁要好些．5．色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批該產(chǎn)品測得如下數(shù)據(jù)：色差x212325272931色度y151617212223已知該產(chǎn)品的色差和色度之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.25x＋eq\o(b,\s\up6(^))，現(xiàn)有一對測量數(shù)據(jù)為(32，21.25)，則該組數(shù)據(jù)的殘差(測量值與預(yù)測值的差)為()A．0.65 B．0.75C．－0.75 D．0.95【答案】B【解析】樣本中心點坐標(biāo)為(26，19)，代入經(jīng)驗回歸方程得到eq\o(b,\s\up6(^))＝12.5，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝0.25x＋12.5．將x＝32代入，求解得到對應(yīng)的預(yù)估值為20.5，因而其殘差為21.25－20.5＝0.75．故選B．6．(多選)下列說法錯誤的有()A．一組數(shù)據(jù)的預(yù)測值與真實值之間的誤差越大，殘差越小B．線性回歸方程對應(yīng)的直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回歸分析中，決定系數(shù)R2為0.98的模型比決定系數(shù)R2為0.80的模型擬合的效果差【答案】ABD【解析】對于A，一組數(shù)據(jù)的預(yù)測值與真實值之間的誤差越大，殘差越大，所以A錯誤；對于B，經(jīng)驗回歸方程對應(yīng)的直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可能不過任何一個樣本數(shù)據(jù)點，所以B錯誤；對于C，殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，所以C正確；對于D，回歸分析中，決定系數(shù)R2為0.98的模型比決定系數(shù)R2為0.80的模型擬合的效果好，所以D錯誤．故選ABD．7．某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表所示：商店名稱ABCDE銷售額x/千萬元35679利潤額y/百萬元23345已知y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x＋0.4，則當(dāng)銷售額為5千萬元時，殘差為________．【答案】0.1【解析】當(dāng)x＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5×5＋0.4＝2.9，表格中對應(yīng)y＝3，于是殘差為3－2.9＝0.1.8．以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝lny，其變換后得到經(jīng)驗回歸方程z＝0.3x＋4，則c＝________．【答案】e4【解析】由題意，得ln(cekx)＝0.3x＋4，所以lnc＋kx＝0.3x＋4，比較兩邊系數(shù)，得lnc＝4，所以c＝e4.9．對兩個具有非線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y進(jìn)行回歸分析，設(shè)μ＝lny，υ＝(x－4)2，利用二乘法得到μ關(guān)于υ的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(μ,\s\up6(^))＝－0.5υ＋2，則eq\o(y,\s\up6(^))的最大值是________．【答案】e2【解析】將μ＝lny，υ＝(x－4)2代入經(jīng)驗回歸方程eq\o(μ,\s\up6(^))＝－0.5υ＋2，得eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.5(x－4)2＋2．當(dāng)x＝4時，eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.5(4－4)2＋2＝e2，故eq\o(y,\s\up6(^))最大值為e2．10．(2024年福州期末)為了讓人民享受到更優(yōu)質(zhì)的教育服務(wù)，我國逐年加大對教育的投入．為了預(yù)測2025年全國普通本科招生數(shù)，建立了招生數(shù)y(單位：萬人)與時間變量t的三個回歸模型，其中根據(jù)2001年至2019年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次取1，2，3，…，19)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝166.9e0.058t(決定系數(shù)Req\o\al(2,1)≈0.88)和模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝152.4＋16.3t(樣本相關(guān)系數(shù)r1≈0.97，決定系數(shù)Req\o\al(2,2)≈0.94).根據(jù)2014年至2019年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次取1，2，3，…，6)建立模型③：eq\o(y,\s\up6(^))＝372.8＋9.8t(樣本相關(guān)系數(shù)r2≈0.99，決定系數(shù)Req\o\al(2,3)≈0.98).(1)可以根據(jù)模型①得到2025年全國普通本科招生數(shù)的預(yù)測值為597.88萬人，請你分別利用模型②③，求2025年全國普通本科招生數(shù)的預(yù)測值；(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？說明理由．(寫出一個即可)解：(1)利用模型②得2025年全國普通本科招生數(shù)的預(yù)測值為eq\o(y,\s\up6(^))＝152.4＋16.3×25＝559.9(萬人)，利用模型③得2025年全國普通本科招生數(shù)的預(yù)測值為eq\o(y,\s\up6(^))＝372.8＋9.8×12＝490.4(萬人).(2)利用模型③得到的預(yù)測值更可靠，理由如下：理由一：從計算結(jié)果可以看出，模型③的決定系數(shù)Req\o\al(2,3)≈0.98最大，說明其擬合效果最好，因此利用模型③得到的預(yù)測值更可靠．理由二：模型①的決定系數(shù)比模型②③小很多，說明其擬合效果最差．對于模型②③，模型③的樣本相關(guān)系數(shù)r2≈0.99比模型②的樣本相關(guān)系數(shù)r1≈0.97大，說明模型③的兩變量的線性相關(guān)性比模型②更強，因此利用模型③得到的預(yù)測值更可靠．B級——能力提升練11．(多選)某電子商務(wù)平臺每年都會舉行“年貨節(jié)”商業(yè)促銷狂歡活動，現(xiàn)統(tǒng)計了該平臺從2016年到2024年共9年“年貨節(jié)”期間的銷售額(單位：億元)并作出散點圖，將銷售額y看成以年份序號x(2016年作為第1年)的函數(shù)．運用excel軟件，分別選擇回歸直線和三次函數(shù)回歸曲線進(jìn)行擬合，效果如圖所示，則下列說法正確的有()A．銷售額y與年份序號x呈正相關(guān)關(guān)系B．三次函數(shù)回歸模型的殘差平方和大于直線回歸模型的殘差平方和C．三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果D．根據(jù)三次函數(shù)回歸曲線可以預(yù)測2025年“年貨節(jié)”期間的銷售額約為2125.78億元【答案】AC【解析】由散點圖的變化趨勢可知，銷售額y與年份序號x呈正相關(guān)關(guān)系，故選項A正確；由散點圖以及直線回歸模型和三次函數(shù)回歸模型的位置關(guān)系可知，三次函數(shù)回歸模型的殘差平方和小于直線回歸模型的殘差平方和，故選項B錯誤；因為0.999>0.936，所以三次函數(shù)回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果，故選項C正確；因為三次函數(shù)為y＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，則當(dāng)x＝10時，y＝2698.719億元，故選項D錯誤．故選AC．12．為了研究某種病毒在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖情況，得到了一些數(shù)據(jù)，繪制成散點圖，發(fā)現(xiàn)用模型y＝cekx擬合比較合適．令z＝lny，得到eq\o(z,\s\up6(^))＝1.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)x，z滿足下表，則k＝________，c＝________．天數(shù)x23456z1.54.55.56.57【答案】1.3e-0.2【解析】由表知，eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，eq\x\to(z)＝eq\f(1,5)×(1.5＋4.5＋5.5＋6.5＋7)＝5，由經(jīng)驗回歸直線eq\o(z,\s\up6(^))＝1.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))恒過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)，\x\to(z)))，知5＝1.3×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.2，∴eq\o(z,\s\up6(^))＝1.3x－0.2，即lny＝1.3x－0.2，∴y＝e1.3x-0.2＝e-0.2·e1.3x，∴k＝1.3，c＝e-0.2．13．某電視廠家準(zhǔn)備在元旦舉行促銷活動，現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費支出．廣告費支出x(單位：萬元)和銷售量y(單位：萬臺)的數(shù)據(jù)如下表所示：年份2016201720182019202020212022廣告費支出x1246111319銷售量y1.93.24.04.45.25.35.4(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(2)若用y＝c＋deq\r(x)模型擬合y與x的關(guān)系，可得經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)，經(jīng)計算線性回歸模型和該模型的R2分別約為0.75和0.88，請用R2說明選擇哪個回歸模型更好．解：(1)∵eq\x\to(x)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝4.2，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))xiyi＝279.4，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝708，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))xiyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，∴y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，∴選用eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)更好．C級——創(chuàng)新拓展練14．(2023年葫蘆島模擬)全球化時代，中國企業(yè)靠什么在激烈的競爭中成為世界一流企業(yè)？由人民日報社指導(dǎo)，《中國經(jīng)濟(jì)周刊》主辦的第十八屆中國經(jīng)濟(jì)論壇在人民日報社舉行，就中國企業(yè)如何提升全球行業(yè)競爭力進(jìn)行了研討．?dāng)?shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入x(單位：百萬元)與收益y(單位：百萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：科技投入x1234567收益y19202231405070根據(jù)數(shù)據(jù)特點，甲認(rèn)為樣本點分布在指數(shù)型曲線y＝2bx＋a的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理．如下表所示：eq\o(z,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))xizieq\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))(yi－eq\o(yi,\s\up6(^)))2514012391492134130其中zi＝log2yi，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do6(i＝1))zi．(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的非線性回歸方程．(系數(shù)精確到0.1)(2)①乙認(rèn)為樣本點分布在直線y＝mx＋n的周圍，并計算得經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝8.25x＋3，以及該回歸模型的決定系數(shù)Req\o\al(2,乙)＝0.893，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？②由①所得的結(jié)論，計算該企業(yè)欲使收益達(dá)到1億元，科技投入的費用至少要多少百萬元？(精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：log25≈2.3．解：(1)將y＝2bx＋a兩邊取對數(shù)