第一章集合與常用邏輯用語、不等式第4節(jié)基本不等式1.了解基本不等式的證明過程.2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.3.掌握基本不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點(diǎn)聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)________時取等號.a＝b2ab3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值________.(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最

大值________.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)××××3

3.(必修一P58T5改編)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，則ab的最小值為________.94.若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.25解析設(shè)矩形的一邊為xm，面積為ym2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時，等號成立，所以ymax＝25，即矩形場地的最大面積是25m2.考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一利用基本不等式求最值89解析由0<x<1，得1－x>0.角度3消元法例3

(2024·鄭州模擬)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為_______.6解析法一(換元消元法)即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，則t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值為6.法二(代入消元法)感悟提升A即x＝4，y＝8時，等號成立，則2x＋y的最小值為16.9解析因?yàn)閤＞－1，則x＋1＞0，考點(diǎn)二利用基本不等式求參數(shù)的值或范圍B(2)(2024·佛山模擬)若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.[－2，8]解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足4x＋y－xy＝0，當(dāng)且僅當(dāng)y＝4x時等號成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8.感悟提升對于不等式恒成立問題可利用分離參數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值.AC考點(diǎn)三利用基本不等式解決實(shí)際問題例5

為了美化校園環(huán)境，園藝師在花園中規(guī)劃出一個平行四邊形，建成一個小花圃，如圖，計(jì)劃以相距6米的M，N兩點(diǎn)為

AMBN一組相對的頂點(diǎn)，當(dāng)

AMBN的周長恒為20米時，小花圃占地面積(單位：平方米)最大為(

)D解析設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，則由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，A.6 B.12 C.18 D.24當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝5時等號成立，感悟提升利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題的思路(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.訓(xùn)練3

某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系式為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則每臺機(jī)器為該公司創(chuàng)造的最大年平均利潤是________萬元.8當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立，此時每臺機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤最大，最大為8萬元.微點(diǎn)突破

基本不等式鏈ACD拓展視野

三元基本不等式與柯西不等式B二、柯西不等式例2

(1)設(shè)x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為________.13解析(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)C解析由于a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以0<a<1，0<b<1，0<c<1.B課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANDB解析∵a2＋b2＝13，A4.(2023·長沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，則(1＋x)(2＋y)的最大值為(

) A.36 B.25 C.16 D.9B解析由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10，當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝2＋y，即x＝4，y＝3時等號成立，所以(1＋x)(2＋y)的最大值為25.C6.(2024·巴蜀中學(xué)模擬)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，則2x＋y的最小值是(

) A.4 B.5 C.7 D.9C解析法一因?yàn)閤y＋x－2y＝4，所以(y＋1)x＝4＋2y，法二由xy＋x－2y＝4，得(x－2)·(y＋1)＝2，因?yàn)閥＋1>0，所以x－2>0，當(dāng)且僅當(dāng)2(x－2)＝y(tǒng)＋1，即y＝1，x＝3時等號成立.AC解析因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，且x＋y＝1，所以y＝1－x，x∈(0，1)，19.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x＝________噸.20011.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求：(1)xy的最小值；當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y，即x＝16，y＝4時，等號成立，∴xy的最小值為64.(2)x＋y的最小值.12.某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙(記為矩形ABCD，如圖)上設(shè)計(jì)三個等高的宣傳欄(欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm.當(dāng)直角梯形的高為多少(cm)時，用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)?解設(shè)直角梯形的高為xcm，∵宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2，且海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm，D由題意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m對任意的x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6，所以－6≥－m，即m≥6.AB316.第十九屆亞運(yùn)會在浙江省舉辦，某公益團(tuán)隊(duì)聯(lián)系亞運(yùn)會組委會舉辦一場紀(jì)念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品(一個會徽和一個吉祥物)售價定為x元時，銷售量可達(dá)到(15－0.1x)萬套.為配合這個活動，生產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為50元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成