第3章勾股定理小結與思考一．基礎知識點：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形）。（定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）判斷直角三角形其他方法：（1）有一個角為的三角形是直角三角形.（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于。3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4：勾股數①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數式表示組勾股數：（為正整數）；（為正整數）（，為正整數）題型一：直接考查勾股定理例1在中，．⑴已知，．求的長⑵已知，，求的長題型二：利用勾股定理測量長度例題2如圖，水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.變式1、某樓梯的側面視圖如圖3所示，其中米，，，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應為

。題型三：勾股定理和逆定理并用例題3如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F是AB上一點，且那么△DEF是直角三角形嗎？為什么？題型四：關于翻折與方程問題例題4如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.變式：1.如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為___________．2.如圖，矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為__________。3、如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝3，BC＝4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段的長為()A.B.C.D.題型五：勾股定理與面積問題eq\a\vs4\al(◆)類型一直角三角形中，利用面積求斜邊上的高1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為點E，則DE的長為()A.eq\f(10,13)B.eq\f(15,13)C.eq\f(60,13)D.eq\f(75,13)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，則CD的長為________．3.在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB的垂直平分線交BC與點D，若AB=8，BD=5，則CD=_________．eq\a\vs4\al(◆)類型二結合乘法公式巧求面積或長度3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝7cm，c＝5cm，則Rt△ABC的面積是()A．6cm2B．9cm2C．12cm2D．15cm24．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC邊上除B，C點外的任意一點，則代數式AP2＋PB·PC等于(提示：過點A作AD⊥BC)()A．25B．15C．20D．30eq\a\vs4\al(◆)類型三巧妙割補求面積如圖所示是一塊地，已知AD＝8米，CD＝6米，∠D＝90°，AB＝26米，BC＝24米，求這塊地的面積．6．如圖，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四邊形ABCD的面積．eq\a\vs4\al(◆)類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積7．如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，則S＝()A．25B．31C．32D．408．“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個正方形拼成的大正方形．如圖，每一個直角三角形的兩條直角邊的長分別是3和6，則大正方形與小正方形的面積差是()A．9B．36C．27D．349．如圖所示的大正方形是由八個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2，則S1＋S2＋S3＝________．10．★五個正方形按如圖放置在直線l上，其中第1，2，4個正方形的面積分別為2，5，4，則第5個正方形的面積S5＝________．題型六：關于勾股定理在實際中的應用：例6、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？變式：有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？題型七：關于最短性問題例7、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發現在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊．結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結果保留1位小數，可以用計算器計算）變式1：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右側面的B點，最少要花幾秒鐘？3．課外小組的同學在學校的花園里觀察到一棵牽牛花的藤在一截