第十屆全國"華羅庚金杯"少年數學邀請賽決賽試題一、填空（每題10分，共80分）1．下表中每一列為同一年在不同歷法中的年號，請完成下表：公元歷200519851910希伯萊歷5746伊斯蘭歷1332印度歷1927第1小題：公元歷200519851910希伯萊歷576657465671伊斯蘭歷142714071332印度歷1927190718322．計算：①18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13=();②=()。答案：10.695；13.計算機中最小的存儲單位稱為“位”，每個“位”有兩種狀態：0和1。一個字節由8個“位”組成，記為B。常用KB，MB等記存儲空間的大小，其中1KB=1024B，1MB=1024KB。現將240MB的教育軟件從網上下載，已經下載了70%。如果當前的下載速度為每秒72KB，則下載完畢還需要（）分鐘。（精確到分鐘）答案：174．a，b和c都是二位的自然數，a，b的個位分別是7與5，c的十位是1。如果它們滿足等式ab+c=2005，則a+b+c=()。答案：1025.一個正方體的每個頂點都有三條棱以其為端點，沿這三條棱的三個中點，從這個正方體切下一個角，這樣一共切下八個角，則余下部分的體積（圖1中的陰影部分）和正方體體積的比是（）。答案：6．某種長方體形的集裝箱，它的長寬高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆噴涂它的表面，每平方米的費用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的費用降低為0.4元，一個集裝箱可以節省6.5元，則集裝箱總的表面積是（）平方米，體積是（）立方米。答案：13：37．一列自然數0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一個數是0，從第二個數開始，每一個都比它前一個大1，最后一個是2024。現在將這列自然數排成以下數表：03815…12714…45613…9101112………………規定橫排為行，豎排為列，則2005在數表中位于第（）行和第（）列。答案：20；458．圖2中，ABCD是長方形，E，F分別是AB，DA的中點，G是BF和DE的交點，四邊形BCDG的面積是40平方厘米，那么ABCD的面積是（）平方厘米。

圖2答案：60二、解答下列各題，要求寫出簡要過程（每題10分，共40分）9．圖3是由風箏形和鏢形兩種不同的磚鋪設而成。請仔細觀察這個美麗的圖案，并且回答風箏形磚的四個內角各是多少度？9．解：如圖案所示，，5個風箏形拼成一個正10邊形，所以，=（10-2）×180÷10=8×18=144度，5=360（度），=72（度）。風箏形是個四邊形，內角和是360度，并且（證明省略），所以，=（360-144-72）÷2=72（度）。答：在風箏形中，有一個是鈍角，是144度，其它三個角都是72度。【說明】在正式出版試題解答時將給出本題，5個風箏形拼成的圖形是一個正10邊形的嚴格的證明。【評分參考】角度正確，6分；理由正確，4分。10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10個自然數，①從這10個數中選出7個數，使這7個數中的任何3個數都不會兩兩互質；②說明從這10個數中最多可以選出多少個數，這些數兩兩互質。10．解答：①這7個數是2，3，4，6，8，9，10；②將這10個自然數分為三組：偶數2，4，6，8，10為第一組；3，9為第二組；5，7，11為第三組。顯然，第一和第二組每組至多只能選出1個數，第三組的3個自然數兩兩互質，最多能選3個。例如：2、3、5、7、11就兩兩互質。所以從2、3、4、5、6、7、8、9、10和11最多可以選出5個數，這5個自然數兩兩互質。【評分參考】①正確，給4分；②答案5正確，給4分，理由陳述正確，給2分。11．一個直角三角形的三條邊的長度是3、4、5，如果分別以各邊為軸旋轉一周，得到三個立體。求這三個立體中最大的體積和最小的體積的比。11．解：①以長為3的直角邊分為軸旋轉得到的是一個圓錐，體積；②以長為4的直角邊為軸旋轉得到的立體也是圓錐，體積；③以長為5的斜邊為軸旋轉得到的立體是由兩個圓錐底面上下疊合在一起組成的紡錐體。設兩個圓錐的高為,則有,設底面的半徑是h，它是直角三角形斜邊上的高，由直角三角形面積公式：，④再由圓錐的體積公式計算紡錐體的體積應當是：⑤既然∶。答：最大的體積和最小的體積的比是。【評分參考】每步2分。12．A碼頭在B碼頭的上游，“2005號”遙控艦模從A碼頭出發，在兩個碼頭之間往返航行。已知艦模在靜水中的速度是每分鐘200米，水流的速度是每分鐘40米。出發20分鐘后，艦模位于A碼頭下游960米處，并向B碼頭行駛。求A碼頭和B碼頭之間的距離。12．解：①艦模從A碼頭順流而下960米，航行時間=分，20-4=16（分）。因此，艦模出發后第16分鐘又回到A碼頭。②既然艦模出發后第16分鐘又回到A碼頭，所以，在這16分鐘中，艦模順流行駛的路程與逆流行駛的路程相同。設在16分鐘中，艦模順流航行的時間為t,逆流航行的時間16-t，順流航行的速度是200+40=240米/分，逆流航行的速度是200-40=160米/分，應當有：240×t=160×(16-t),t=6.4(分)。③因此，出發20分鐘后艦模的總的航程是：6.4×240+(16-6.4)×160+960=4032(米)④設兩個碼頭的距離是L米，則有，4032=2ml+960,m是整數，由于，L>960。所以，1≤，即m=1,L=1536米。答：兩個碼頭的距離是1536米。【評分參考】①能計算出艦模出發后第16分鐘又回到A碼頭，2分；②計算出順流航行的時間，4分；③計算出艦模總的航程，2分；④計算出兩個碼頭的距離，2分。三、解答下列各題，要求寫出詳細過程（每題15分，共30分）13．已知等式其中A，B是非零自然數，求A+B的最大值。13．解：設A=ka,B=kb,(a,b)=1,即有，因為（a,b）=1,所以有（a+b,b）=1和（a,a+b）=1,只能有a+b整除k。設k=m×(a+b)，則有因為上式意味著m,a,b必須是15的約數。考慮到交換a和b的取值，不改變A+B的值。所以m,a,b可能的取值和A+B的值是：m113515a31111b515531A+B642561088060答：A+B的最大值是256。【評分參考】答案正確，6分，推理正確，即能列出A+B的5種取值，給9分。14．兩條直線相交，四個交角中的一個銳角或一個直角稱為這兩條直線的“夾角”（見圖4）。如果在平面上畫L條直線，要求它們兩兩相交，并且“夾角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，問：（1）L的最大值是多少？（2）當L取最大值時，問所有的“夾角”的和是多少？14．解答：◆固定平面上一條直線,其它直線與此條固定直線的交角自這條固定直線起逆時針計算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一種角度之一，所以，平面上最多有12條直線。否則，必有兩條直線平行。◆如右下圖，將所有直線做平行移動，使它們交于同一個點，這樣的平行移動顯然不改變兩條直線的“夾角”。無妨設其中一條直線水平，從水平直線開始，逆時針將12條直線分別記為第一條、第二條、……和第十二條直線。（1）第二條至第十二條直線與第一條直線的“夾角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45+30+15=540（度）；（2）第三條至第十二條直線與第二條直線相交的“夾角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45+30=（540-15）（度）；（3）第四條至第十二條直線與第三條直線相交的“夾角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45=（540-15-30）（度）；……；（10）第十一條和第十二條直線與第十條直線相交的“夾角”和是（30+15）（度），（11）第十二條直線與第十一條直線相交的“夾角”和是：15（度）；◆將（2）和（11）、（3）和（10）、（4）和（9）、（5）和（8）、（6）和（7）配對，得到所有的“夾角”之和是6×540=3240（度）。【評分參考】第1問答案正確，給5分；第2問中，能完成②，給8分；能求出“夾角的總和，即完成③，給2分。第十一屆全國"華羅庚金杯"少年數學邀請賽決賽試題一、填空。1．計算：2．圖1a是一個長方形，其中陰影部分由一副面積為1的七巧板拼成（如圖1b），那么這個長方形的面積是（）。3．有甲、乙、丙、丁四支球隊參加的足球循環賽，每兩隊都要賽一場，勝者得3分，負者得0分，如果踢平，兩隊各得1分。現在甲、乙和丙分別得7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（）分。4．圖2中，小黑格表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相聯。連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量。現在從結點A向結點B傳遞信息，那么單位時間內傳遞的最大信息量是（）。5．先寫出一個兩位數62，接著在62右端寫這兩個數字的和為8，得到628，再寫末兩位數字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一個有2006位的整數：628101123……，則這個整數的數字之和是（）。6．智慧老人到小明的年級訪問，小明說他們年級共一百多同學。老人請同學們按三人一行排隊，結果多出一人，按五人一行排隊，結果多出二人，按七人一行排隊，結果多出一人，老人說我知道你們年級的人數應該是（）人。7．如圖3所示，點B是線段AD的中點，由A，B，C，D四個點所構成的所有線段的長度均為整數，若這些線段的長度之和為10500，則線段AB的長度是（）。8．100個非0自然數的和等于2006，那么它們的最大公約數最大可能值是（）。二、解答下列各題，要求寫出簡要過程。（每題10分，共40分）9．如圖4，圓O中直徑Ab與CD互相垂直，AB＝10厘米。以C為圓心，CA為半徑畫弧AEB。求月牙形ADBEA（陰影部分）的面積？10．甲、乙和丙三只螞蟻爬行的速度之比是8：6：5，它們沿一個圓圈從同一點同時同向爬行，當它們首次同時回到出發點時，就結束爬行。問螞蟻甲追上螞蟻乙一共多少次？（包括結束時刻）。11．如圖5，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，AC和BD是對角線。圖中的陰影部分以CD為軸旋轉一周，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（π取3.14）12．將一根長線對折后，再對折，共對折10次，得到一束線。用剪刀將這束線剪成10等份，問：可以得到不同長度的短線段各多少根？三、解答下列各題，要求寫出詳細過程。（每題15分，共30分）13．華羅庚爺爺在一首詩文中勉勵青少年：“猛攻苦戰是第一，熟練生成百巧來，勤能補拙是良訓，一分辛苦一分才。”現在將詩文中不同的漢字對應不同的自然數，相同的漢字對應相同的自然數，并且不同漢字所對應的自然數可以排列成一串連續的自然數。如果這28個自然數的平均值是23，問“分”字對應的自然數的最大可能值是多少？14．一根長為L的木棍，用紅色刻度線將它分成m等份，用黑色刻度線將它分成n等份（m>n）。（1）設X是紅色與黑色刻度線重合的條數，請說明：X＋1是m和n的公約數；（2）如果按刻度線將該木棍鋸成小段，一共可以得到170根長短不等的小棍，其中最長的小棍恰有100根。試確定m和n的值。第十二屆全國“華羅庚金杯”少年數學邀請賽決賽試卷（小學組）（時間2007年4月21日10︰00（市）、區________學校_____________姓名________考號_______一、填空（每題10分，共80分）1、“華”、“杯”、“賽”三個字的四角號碼分別是“2440”、“4199”和“3088”，將“華杯賽”的編碼取為“244041993088”。如果這個編碼從左起的奇數位的數碼不變，偶數位的數碼改變為關于9的補碼，例如：0變9，1變8等，那么“華杯賽”新的編碼是___________。2、計算：[20.75＋(3.74－2)9]41.75＝___________。3、如圖1所示，兩個正方形ABCD和DEFG的邊長都是整數厘米。點E在線段CD上，且CE＜DE。線段CF＝5厘米，則五邊形ABCFG的面積等于__________4、將、、、、從小到大排列，第三個數是_______。5、圖2a是一個密封水瓶的切面圖，上半部為圓錐狀，下半部為圓柱狀，底面直徑都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度為12厘米。將水瓶倒置后，如圖2b，瓶中液面的高度是16厘米，則水瓶的容積等于_______立方厘米。（取6、一列數是按以下條件確定的：第一個是3，第二個是6，第三個是18，以后每一個數是前面所有數的和的2倍，則第六個數等于________，從這列數的第________個數開始，每個都大于2007。7、一個自然數，它的最大的約數和次大的約數的和是111，這個自然數是______。8、用一些棱長是1的小正方體碼成一個立體，從上向下看這個立體，如圖3，從正面看這個立體，如圖4，則這個立體的表面積最多是_________。二、簡答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9、如圖5，在三角形ABC中，點D在BC上，且∠ABC＝∠ACB，∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，求∠ABC的度數；并且回答：圖中哪些三角形是銳角三角形。10、李云靠窗坐在一列時速60千米的火車里，看到一輛有30節車廂的貨車迎面駛來，當貨車車頭經過窗口時，他開始記時，直到最后一節車廂駛過窗口時，所記的時間是18秒。已知貨車車廂長15.8米，車廂間距1.2米11、圖6是一個99的方格圖，由粗線隔為9個橫豎各有3個格子的“小九宮”格，其中，有一些小方格填有1至9的數字。小青在第4列的空格中各填入了一個1至9的自然數，使每行、每列和每個“小九宮”格內的數字都不重復，然后小青將第4列的數字從上向下寫成一個9位數。請寫出這個9位數，并且簡單說明理由。12、某班一次數學考試，所有成績得優的同學的平均分數是95分，沒有得優的同學的平均分數是80分。已知全班同學的平均成績不少于90分，問得優的同學占全班同學的比例至少是多少？三、詳答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13、如圖7，連接一個正六邊形的各頂點。問圖中共有多少個等腰三角形（包括等邊三角形）？14、圓周上放置有7個空杯子，按順時針方向依次編號為1，2，3，4，5，6，7。小明首先將第1枚白色棋子放入1號盒子，然后將第2枚白色棋子放入3號盒子，再將第3枚白色棋子放入6號盒子，……，放置了第k－1枚白色棋子后，小明依順時針方向向前數了k－1個盒子，并將第k枚白色棋子放在下一個盒子中，小明按照這個規則共放置了200枚白色棋子。隨后，小青從1號盒子開始，按照逆時針方向和同樣的規則在這些盒子中放入了300枚紅色棋子。請回答：每個盒子各有多少枚白色棋子？每個盒子各有多少枚棋子？

答案一、填空1.解：偶數位自左至右依次為4、0、1、9、0、8，它們關于9的補碼自左至右依次為5、9、8、0、9、1，所以“華杯賽”新的編碼是：2549489039812.解：原式＝[20.75＋1.24×]÷41.75＝[20.75＋0.125]÷41.75＝20.875÷41.75＝0.53.解：CF＝5，又CD和DF都是整數，根據勾股定理可知CE＝3，DF＝4，CD＝7，所以五邊形ABCFG的面積為：＝16＋49＋6＝71（平方厘米）4.解：＝0.524，＝0.525，所以：，第三小的數是5.解：如果將瓶中的液體取出一部分，使正立時高度為11厘米，則倒立時高度為15厘米，這時瓶中的液體剛好為瓶的容積的一半，所以瓶的容積相當于一個高22厘米（底面積不變）的圓柱的體積，即瓶的容積是：3.14××22＝1727（立方厘米）6.解：這列數的第一個是3，第二個是6，第三個是18，第四個是（3＋6＋18）×2＝54，第五個是（3＋6＋18＋54）×2＝162，第六個是（3＋6＋18＋54＋162）×2＝486設這列數的第一個為a，則第二個為2a，第三個為6a＝2×3×a，第四個為18a＝2××a，第五個為54a＝第六個為162a＝2××a，第n個為2××a，因為a＝3，所以第n個數也可寫作2×，即從第三個數起，每個數是前一個數的3倍。2007÷486＞3，而2007÷3＜9，可知從第8個數起，每個數都大于2007.7.解：因為111是奇數，而奇數＝奇數＋偶數，所以所求數的最大約數與次大約數必為一奇一偶。而一個數的最大約數是其自身，而一個數如有偶約數此數必為偶數，而一個偶數的次大約數應為這個偶數的，設這個次大約數為a，則最大約數為2a，a＋2a＝111，求得a＝37，2a＝74，即所求數為74.8.解：根據所給視圖，可畫出這個立體的直觀圖如下：可知，上下面積為8×2＝16（平方厘米），前后面積為8×2＝16（平方厘米），左右面積為8×2＝16（平方厘米），此立體的表面積共48平方厘米.二、簡答下列各題9.解：∵∠DAC＋∠ADC＋∠C＝，而∠DAC＝∠ADC＝∠B＋21，∠B＝∠C，∴3×∠B＋21°＝180°,∴∠B＝46°∠DAC＝46°＋21°＝67°，∠BAC＝67°＋21°＝88°∴△ABC和△ADC都是銳角三角形.10.解：客車速度為60千米/小時，18秒鐘通過的路程為：＝300（米）貨車長為（15.8＋1.2）×30＋10＝520（米）18秒鐘貨車通過的距離為520－300＝220（米）貨車速度為＝44（千米/小時）11.解：用（a，b）表示第a行第b列的方格，第4列已有數字1、2、3、4、5，第6行已有數字6、7、9，所以方格（6，4）＝8；第3行和第5行都有數字9，所以（7，4）＝9；正中的“小九宮”中已有數字7，所以只能是（3，4）＝7；此時，第4列中只余（5，4），這一列只有數字6未填，所以（5，4）＝6。所以，第4列的數字從上向下寫成的9位數是：327468951.12.解：為使全班同學的平均分達到90分，需將2名得優的同學和1名沒得優的同學匹配為一組，即得優的同學至少應為沒得優同學的2倍，才能確保全班同學的平均分不低于90分，所以得優同學占全班同學的比例至少是.三、詳答下列各題13.解：首先按是否是等邊三角形分類，圖a、圖b、圖c中有3類等邊三角形，紅色的有6個，藍色的有6個，黃色的有2個，共14個等邊三角形。圖d中有3類非等邊的等腰三角形，綠色的有6個，紫色的有6個，棕色的有12個，共24個。所以共有等腰三角形（包括等邊三角形）為38個.14.解：依順時針方向不間斷地給這7個盒子編號，則1號盒子可有的號數為1、8、15、…7k+1；2號盒子可有的號數為2、9、16、…7k+2；…；7號盒子可有的號數為7、14、21、…7k+7（k為整數）。根據規則，小明將第1枚棋子放入1號盒子，將第2枚棋子放入3號盒子，將第3枚棋子放入6號盒子，將第4枚棋子放入10號即3號盒子，將第5枚棋子放入15號即1號盒子，將第6枚棋子放入21號即7號盒子，將第7枚棋子放入28號即7號盒子，按照這個規律，從第8枚棋子開始，將重復上述棋子放入的盒子，即第8枚放入1號盒子，第9枚放入3號盒子，…，也就是每7枚棋子為一個周期。并且這7枚棋子有2枚放入1號盒子，有2枚放入3號盒子，有2枚放入7號盒子，有1枚放入6號盒子，2、4、5號盒子未放入棋子。各盒子中的白子數目如下表。200＝7×28＋4，經過28次循環后，第197枚棋子放入1號盒子，第198枚棋子放入3號盒子，第199枚棋子放入6號盒子，第200枚棋子放入3號盒子。在小青逆時針放子時，我們依逆時針方向給盒子不間斷編號，同樣地每7枚棋子為一個周期，300＝7×42＋6，可以求出各盒子中的紅子數目如下表。盒子編號1234567白子57058002956紅子86854300860棋子總數143851010011556

第十三屆“華羅庚金杯”少年組數學邀請賽決賽試卷（小學組）姓名_________成績_______一．填空（每題體10分，共80分）1.計算：＝。2.林林倒滿一杯純牛奶，第一次喝了，然后加入豆漿，將杯子斟滿并攪拌均勻，第二次，林林又喝了，繼續用豆漿將杯子斟滿并攪拌均勻，重復上述過程，那么第四次后，林林共喝了一杯純牛奶總量的（用分數表示）。3.圖1是小明用一些半徑為1厘米，2厘米，4厘米，和8厘米鼠頭圖案，圖中陰影部分的總面積為平方厘米。4.悉尼與北京的時差是3小時，例如：悉尼時間12：00時，北京時間是9:00。某日，當悉尼時間9：15時，小馬和小楊分別乘機從悉尼和北京同時出發去對方所在地，小馬于北京時間19：33分到達北京。小馬和小楊路途上所用時間之比為7：6，那么小楊到達悉尼時，當地時間是。5.將六個自然數14，20，33，117，143，175分組，如果要求每組中的任意兩個數都互質，則至少需要將這些數分成組。6.對于大于零的分數，有如下4個結論：①兩個真分數的和是真分數；②兩個真分數的積是真分數；③一個真分數與一個假分數的和是一個假分數；④一個真分數與一個假分數的積是一個假分數。其中正確結論的編號是。7.記A=++++…+,那么比A小的最大自然數是。8.黑板上寫著1至2008共2008個自然數，小明每次擦去兩個奇偶性相同的數，再寫上它們的平均數，最后黑板上只剩下一個自然數，這個數可能的最大值和最小值的差是。二．解下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9.小李應聘某公司主任職位時，要根據下表回答主任的月薪是多少，請你回答這個問題。職位會計與出納出納與秘書秘書與主管主管與主任主任與會計月薪和3000元3200元4000元5200元4400元10.請將四個4用四則運算符號、括號組成五個算式，使它們的結果分別等于5，6，7，8，9。11.圖2中，ABCD和CGEF是兩個正方形，AG和CF相交與H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形ABGEF的面積。12.設六位數滿足-f，請寫出所有的這樣的六位數。三．解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13.甲乙兩人沿一個周長400米的環形跑道勻速前進，甲行走一圈需4分鐘，乙行走一圈需7分鐘，他們同時同地同向出發，甲走完10圈后，改為反向行走，出發后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇時，二人都擊掌示意。問：當二人第15次擊掌時，甲共走了多長時間？乙走了多少路程？14.右圖是一個分數等式：等式中的漢字代表數字1，2，3，4，5，6，7，8和9，不同的漢字代表不同的的數字。如果“北”和“京”分別代表1和9.請寫出“奧運會”所代表的所有的三位整數，并說明理由。一、填空題號12345678答案265/816420：393②③92005二、解答9----2900元10----911----49.512----111111.102564三、解答13----甲走了66又2/11分鐘，乙走了3781又7/11分鐘14----647、638、836

第十四屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題A（小學組）（時間：2009年4月11日10:00~11:30）填空題（每小題10分，共80分）圖1圖11．計算：__________2．如圖1所示，在邊長為1的小正方形組成的方格圖中，共有25個格點，在以格點為頂點的直角三角形中，兩條直角邊長分別是1和3的直角三角形共有__________個。EBAl3．將七位數“1357924”重復寫287次組成一個2009位數“13579241357924…”EBAlFF圖2DC4．如圖2所示，在由七個同樣的小正方形組成的圖形中，直線l將原圖形分為面積相等的兩部分，l與AB的交點為E，與CD的交點為F，若線段CF與線段AE的長度之和為91厘米，那么小正方形的邊長是__________厘米。DC5．某班學生要栽一批樹苗，若每個人分配k棵樹苗，則剩下38棵；若每個學生分配9棵樹苗，則還差3棵，那么這個班共有__________名學生。

○▽☆○○○☆

○☆

▽

365041?376．已知三個合數A，B，C兩兩互質，且，那么365041?377．方格中的圖形符號“

”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格內的數，相同的符號表示相同的數。如圖3所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四個數的和分別為36，50，41，37，則第三行的四個數的和是__________。8．已知1＋2＋3＋……＋n(n﹥2)的和的個位數為3，十位數為0，則n的最小值為__________。二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．六個分數的和在哪兩個連續自然數之間？10．2009年的元旦是星期四，問：在2009年，哪幾個月的第一天也是星期四？哪幾個月有5個星期日？11．已知a，b，c是三個自然數，且a與b的最小公倍數是60，a與c的最小公倍數是270。求ｂ與ｃ的最小公倍數。12．在51個連續的奇數1，3，5，…，101中選取k個數，使得他們的和為1949，那么k的最大值是多少？三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細解答過程）13．如圖4所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BC相交于點O。已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面積為4，求三角形OAB的面積。DDCOAB圖414．在圖5所示的乘法算式中，漢字代表1至9這9個數字，不同漢字代表不同的數字。若“祝”字和“賀”字分別代表數字“4”和“8”，求出“華杯賽圖5第十五屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題A（小學組）一、填空題（每小題10分，共80分）1．在10個盒子中放乒乓球，每個盒子中的球的個數不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數，且彼此不同，那么至少需要個乒乓球。2．有五種價格分別為2元、5元、8元、11元、14元的禮品以及五種價格分別為1元、3元、5元、7元、9元的包裝盒。一個禮品配一個包裝盒，共有種不同價格。3．汽車A從甲站出發開往乙站，同時汽車B、C從乙站出發與A相向而行開往甲站，途中A與B相遇20分鐘后再與C相遇。已知A、B、C的速度分別是每小時90km,80km,60km，那么甲乙兩站的路程是km。4．將和這6個分數的平均值從小到大排列，則這個平均值排在第位。5．將一個數的各位數字相加得到新的一個數稱為一次操作，經連續若干次這樣的操作后可以變為6的數稱為“好數”，那么不超過2012的“好數”的個數為，這些“好數”的最大公約數是。6．右圖所示的立體圖形由9個棱長為1的立方塊搭成，這個立體圖形的表面積為。7．數字卡片“3”、“4”、“5”各10張，任意選出8張使它們的數字和是33，則最多有張是卡片8．若將算式的值化為小數，則小數點后第1個數字是。二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．右圖中有5個由4個1×1的小正方格組成的不同形狀的硬紙板。問能用這5個硬紙板拼成右圖中4×5的長方形嗎？如果能，請畫出一種拼法；如果不能，請簡述理由。10．長度為L的一條木棍，分別用紅、藍、黑線將它等分為8，12和18段，在各劃分線處將木棍鋸開，問一共可以得到多少段？其中最短的一段的長是多少？11．足球隊A，B，C，D，E進行單循環賽（每兩隊賽一場），每場比賽勝隊得3分，負隊得0分，平局兩隊各得1分。若A，B，C，D隊總分分別是1，4，7，8，請問：E隊至多得幾分？至少得幾分？12．華羅庚爺爺出生于1910年11月12日。將這些數字排成一個整數，并且分解成19101112＝1163×16424，請問這兩個數1163和16424中有質數嗎？并說明理由。三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13．右圖中，六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米。已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面積都等于335平方厘米，6個陰影三角形面積之和為670平方厘米。求六邊形A1B1C1D1E1F14．已知兩位自然數能被它的數字之積整除，求出代表的兩位數。答案1．1732．193．4254．55．223；36．327．38．49．不能10．[8，12，18]=728+12+18-3-2-1+1=32除去重復的32-4=28段最長一段長為1，所以1/7211．7；512．有質數,1163；1163不能除以2,3,5……37內質數,1163＜37×4013．335×6=2010（2010-670）÷2=6702010-（670×2）=67014．11，12，15，24，36第十五屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽決賽（A卷）解答的詳細解析與答案填空題（每小題10分，共80分）1、【解答】（枚舉方法）至少需要11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173。

2、【解答】（列表方法）共有25-6=19(種)包裝盒價格禮品盒價格13579235791156810121489111315171112141618201415171921233、【解答】（相遇、追及綜合問題）A與C20分鐘相遇，共行（90+60）×(20÷60)=50(km),這50km即是A與B相遇過程中，在相同時間內，B比C多行的路程，顯然A與B相遇時間等于50÷（80-60）=2.5（小時）。所以，A與B相遇甲乙兩站的路程為（90+80）×2.5=425(km)4、【解答】平均數=【（++）+++】÷6≈0.265457，所以這個平均數從小到大排列在第5位。5、【解答】（余數問題或周期規律）題意中的好數實際是指小于或等于2012中除以9余6的數有多少個。即數列6、15、24、33、42、51…….1005、2004共（2004-6）÷9+1=223（個），最大公約數為36、【解答】（表面幾何問題）。(視圖方法)。俯視面積5，仰視面積5，前視面積5，后視面積5，左視面積6，右視面積6，表面積共327、【解答】（不定方程問題）設卡片3用X張，卡片4用Y張，卡片5用M張，則：X+Y+M=8①3X+4Y+5M=33②2X+Y=7X最大為38、【解答】（估算問題）根據分數數列運算符號的加減周期性，將分數數列分組求近似值，進行估算。-≈0.41，-≈0.01548，-≈0.00354，-≈0.001320.00063，……推理后面每兩個分數之差更接近0，而且是有限個求和,所以小數點后第一位為4。答下列各題(每題10分，共40分)9、【解答】（染色問題）將5塊硬紙板黑白間隔染色，可見黑色有11塊，白色9塊，或者黑色9塊，白色11塊。而右邊20個格子黑、白各10塊。顯然不能用左邊5個硬紙板拼成右邊的的4×5的長方形。