2023年高考全國乙卷數學（理）真題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意首先計算復數的值，然后利用共軛復數的定義確定其共軛復數即可.【詳解】由題意可得，則.故選：B.2．設集合，集合，，則（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或，選項C錯誤；或，則或，選項D錯誤；故選：A.3．如圖，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（

）

A．24B．26 C．28 D．30【答案】D【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結構特征求解其表面積即可.【詳解】如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.4．已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據偶函數的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.5．設O為平面坐標系的坐標原點，在區域內隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意分析區域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.【詳解】因為區域表示以圓心，外圓半徑，內圓半徑的圓環，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角，結合對稱性可得所求概率.故選：C.

6．已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區間單調遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.7．甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據分步乘法公式則共有種，故選：C.8．已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B9．已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C10．已知等差數列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數列中，，顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B11．設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.12．已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義可得，或然后結合三角函數的性質即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，則：，則當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.二、填空題13．已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為，最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.14．若x，y滿足約束條件，則的最大值為.【答案】8【分析】作出可行域，轉化為截距最值討論即可.【詳解】作出可行域如下圖所示：，移項得，聯立有，解得，設，顯然平移直線使其經過點，此時截距最小，則最大，代入得，故答案為：8.

15．已知為等比數列，，，則.【答案】【分析】根據等比數列公式對化簡得，聯立求出，最后得.【詳解】設的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.16．設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是.【答案】【分析】原問題等價于恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數的單調性可得實數的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數的取值范圍.【詳解】由函數的解析式可得在區間上恒成立，則，即在區間上恒成立，故，而，故，故即，故，結合題意可得實數的取值范圍是.故答案為：.三、解答題17．某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，．試驗結果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】(1)，；(2)認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.【分析】（1）直接利用平均數公式即可計算出，再得到所有的值，最后計算出方差即可；（2）根據公式計算出的值，和比較大小即可.【詳解】（1），，，的值分別為:，故（2）由（1）知:，，故有,所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.18．在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數基本關系可得；(2)由題意可得，則，據此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.19．如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）法一：由（1）的信息，結合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，所以由求出點坐標，再求出平面與平面BEF的法向量，由即可證明；（3）法一：由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）連接，設，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.法二：因為，過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，，在中，，在中，，設，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；（3）法一：過點作交于點，設，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因為分別為的中點，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.

法二：平面的法向量為，平面的法向量為，所以，因為，所以，故二面角的正弦值為.20．已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據題意列式求解，進而可得結果；（2）設直線的方程，進而可求點的坐標，結合韋達定理驗證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，聯立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數(某些變量)無關；也可令系數等于零，得出定值；（3）得出結論．21．已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導函數的解析式，然后由導數的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數的定義域，由函數的定義域可確定實數的值，進一步結合函數的對稱性利用特殊值法可得關于實數的方程，解方程可得實數的值，最后檢驗所得的是否正確即可；(3)原問題等價于導函數有變號的零點，據此構造新函數，然后對函數求導，利用切線放縮研究導函數的性質，分類討論，和三中情況即可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，，則，據此可得，函數在處的切線方程為，即.（2）令，函數的定義域滿足，即函數的定義域為，定義域關于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數的解析式可得，由在區間存在極值點，則在區間上存在變號零點;令，則，令，在區間存在極值點，等價于在區間上存在變號零點，當時，，在區間上單調遞減，此時，在區間上無零點，不合題意;當，時，由于，所以在區間上單調遞增，所以，在區間上單調遞增，，所以在區間上無零點，不符合題意；當時，由可得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故的最小值為，令，則，函數在定義域內單調遞增，，據此可得恒成立，則，令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據零點存在性定理可知:在區間上存在唯一零點.當時，，單調減，當時，，單調遞增，所以.令，則，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，所以，所以函數在區間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數得取值范圍是.【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導函數求切線的斜率，求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.(2)根據函數的極值(點)求參