章末復習課用樣本的頻率分布估計總體分布

總體分布中相應的統計圖表主要包括:頻率分布表、頻率分布直方圖等.通過這些統計圖表給出的相應統計信息可以估計總體.用頻率分布直方圖解決相關問題時,應正確理解圖中各個量的意義,識圖掌握信息是解決該類問題的關鍵.1.多選題統計某校n名學生的某次數學同步練習成績(滿分150分),根據成績依次分成六組:[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],并得到頻率分布直方圖如圖所示.若不低于140分的人數為110.下列說法正確的有()A.m=0.031B.n=800C.100分以下的人數為60D.分數在區間[120,140)上的人數占大半解析:由題意,根據頻率分布直方圖的性質,得10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,解得m=0.031.故A項正確;因為不低于140分的頻率為0.011×10=0.11,所以n=1100.由100分以下的頻率為0.006×10=0.06,所以100分以下的人數為1000×0.06=60,故C項正確;分數在區間[120,140)上的人數占0.031×10+0.016×10=0.47,占小半.故D項錯誤.答案:AC2.某電子商務公司對10000名網絡購物者在某年度的消費情況進行統計,發現消費金額(單位:萬元)都在區間[0.3,0.9]上,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)直方圖中的a=3;(2)在這些購物者中,消費金額在區間[0.5,0.9]上的購物者的人數為6000.

解析:(1)由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.(2)由(1)可得消費金額在區間[0.5,0.9]上的頻率為0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消費金額在區間[0.5,0.9]上的購物者的人數為0.6×10000=6000.3.某制造商生產一批直徑為40mm的乒乓球,現隨機抽樣檢查20個,測得每個球的直徑(單位:mm,保留兩位小數)如下:40.0340.0039.9840.0039.9940.0039.9840.0139.9839.9940.0039.9939.9540.0140.0239.9840.0039.9940.0039.96(1)完成下面的頻率分布表,并畫出頻率分布直方圖;分組頻數頻率頻率[39.95,39.97)[39.97,39.99)[39.99,40.01)[40.01,40.03]合計(2)假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02mm為合格品.若這批乒乓球的總數為10000,試根據抽樣檢查結果估計這批產品的合格個數.解:(1)頻率分布表如下:分組頻數頻率頻率[39.95,39.97)20.105[39.97,39.99)40.2010[39.99,40.01)100.5025[40.01,40.03]40.2010合計201.0050頻率分布直方圖如圖所示.(2)因為抽樣的20個產品中在區間[39.98,40.02]上的有17個,所以樣本合格率為1720×所以10000×85%=8500.所以估計這批產品的合格個數為8500.用樣本的分布規律估計總體的分布規律樣本的分布規律分為兩大類:一類是反映樣本數據集中趨勢的特征數,例如平均數;另一類是反映樣本數據波動大小的特征數,例如方差和標準差.通常我們用樣本的平均數和方差(標準差)來近似代替總體的平均數和方差(標準差),從而實現對總體的估計.平均數、中位數、眾數與方差、標準差都是重要的參數,利用它們可對總體進行一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數、中位數、眾數可描述總體的集中趨勢,方差和標準差可描述數據的離散程度.1.現有10個數,其平均數是4,且這10個數的平方和是200,那么這組數的標準差是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:設這10個數分別為a1,a2,…,a10,則有a12+a22+…+a102=200,且a1+a2所以(=a=200-8×40+16010=4,所以標準差為4答案:B2.從某企業生產的某批產品中隨機抽取10件,測量這些產品的一項質量指標,其頻率分布表如下:質量指標分組[10,30)[30,50)[50,70]頻率0.10.60.3則可估計這批產品的質量指標的眾數、中位數為()A.30,4313B.40,43C.40,4313D.30,43答案:C3.在某次高中學科競賽中,4000名考生的參賽成績的頻率分布直方圖如圖所示,若85%的學生不能參加復賽,則估計86.7分以上可以參加復賽.解析:由題圖可知,低于80分的考生所占的比例為:10×(0.01+0.015+0.02+0.03)×100%=75%.低于90分的考生所占的比例為:75%+0.015×10×100%=90%.因此,第85百分位數一定位于區間[80,90)上,80+10×0.85-0.754.某中學要從高一年級甲、乙兩個班級中選擇一個班參加市電視臺組織的“環保知識競賽”.該校對甲、乙兩班的參賽選手(每班7人)進行了一次環保知識測試,他們取得的成績(滿分100分)如下:甲班:75,78,80,89,85,92,96;乙班:75,80,80,85,90,90,95.求甲、乙兩班同學成績的方差的大小,并從統計學角度分析該校應選擇甲班還是乙班參賽.解:x甲=75+78+80+89+85+92+967x乙=75+80+80+85+90+90+957所以s甲2=17×[(75-85)2+(78-85)2+…+(96-85)2]s乙2=17×[(75-85)2+(80-85)2+…+(95-85)2]因為x甲=x乙,s甲所以該校應該選擇乙班參賽.抽樣方法

對抽樣方法的選擇:(1)當總體的量較小,樣本量也較小時,制簽簡單,號簽容易攪拌均勻,所以可以采用抽簽法.(2)當總體的量較大,樣本量小,可以采用隨機數法.(3)當總體由明顯差異的幾部分構成時,采用分層隨機抽樣.1.某中學高一年級有400人,高二年級有320人,高三年級有280人,若每人被抽到的可能性都為0.2,用隨機數法在該中學抽取樣本量為n的樣本,則n等于()A.80 B.160 C.200 D.280解析:由題意可知,n400+320+280=0.2,解得n=200答案:C2.某中學共有1400名學生,其中高一年級有540人,用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取樣本量為70的樣本,則高一年級抽取的人數為()A.18 B.21 C.26 D.27解析:因為從1400名學生中抽取樣本量為70的樣本,抽樣比為120,所以根據比例分配的分層隨機抽樣可知,高一年級抽取的人數為540×120=答案:D3.總體已經分成A、B、C三層,且A、B、C三層個體數之比為2∶3∶5,現要從總體中抽取一個樣本量為20的樣本,已知A層中用簡單隨機抽樣抽取樣本時,甲被抽到的可能性為14,則總體的個體數為()A.60 B.80 C.100 D.120解析:由已知條件知,在整個抽樣過程中每個個體被抽到的可能性為14,所以總體的個體數為20÷14=答案:B數形結合思想

數形結合思想是通過數與形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法.統計中常結合統計圖表對數據進行分析,解決問題.1.某地區對當地3000戶家庭的去年所得年收入情況調查統計,年收入(單位:萬元)的頻率分布直方圖如圖所示,數據的分組依次為[2,4),[4,6),[6,8),[8,10],則年收入不超過6萬元的家庭有()A.900戶B.600戶C.300戶 D.150戶答案:A2.多選題(2022·廣東模擬)下面是2017至2021年國內電影票房前十名影片中,國產影片(含合拍片)與進口影片數量統計圖,則下列說法中正確的是()A.2017至2021年國內電影票房前十名影片中,國產影片數量占比不低于50%B.2017至2021年國內電影票房前十名影片中,國產影片數量占比逐年提高C.2017至2021年國內電影票房前十名影片中,國產影片數量的平均數大于進口影片數量的平均數D.2017至2021年國內電影票房前十名影片中,國產影片數量的方差等于進口影片數量的方差答案:ACD3.某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,期中成績分組區間是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求圖中a的值;(2)根據頻率分布直方圖,估計這100名學生語文成績的平均數、眾數、中位數;(3)若這100名學生語文成績某些分數段的人數(x)與數學成績相應分數段的人數(y)之比如下表所示,求數學成績在區間[50,90)之外的人數.分數段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解:(1)由頻率分布直方圖可得10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1,所以a=0.005.(2)平均數55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73(分).眾數為65分.中位數為0.5-(0.005×10+0