圓的綜合證明壓軸題 觀察近幾年大連中考試卷，可以看出圓作為中考必考知識點，也是學生復習的重點部分。在選擇中一般考查圓周角定理等基礎知識點，難度相對較低，在壓軸解答題部分會結合全等三角形和相似三角形以及三角函數考查，涉及知識點更多也更復雜，需要學生掌握一定的輔助線做法和解題思路。【知識點1】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。圓的性質：圓內接四邊形對角互補。不在同一條直線上的三個點確定一個圓。例題1、如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB＝6cm，OD＝4cm，則DC的長為（）A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cm【答案】D； 【解析】連OA，由垂徑定理知AD=1所以在Rt△AOD中，AO=OD所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.【點評】主要是解由半徑、弦的一半和弦心距（圓心到弦的垂線段的長度）構成的直角三角形。變式練習1、AB為⊙O的弦，OC⊥AB，C為垂足，若OA＝2，OC＝l，則AB的長為()．A．B．C．D．【答案】D；【解析】先求AC=22?1變式練習2、如圖1，某公園的一座石拱橋是圓弧形(劣弧)，其跨度為24m，拱的半徑為13m，則拱高為（）A．5mB．8mC．7mD．m【答案】B；【解析】如圖2，AB表示橋拱，弦AB的長表示橋的跨度，C為AB的中點，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O為AB的圓心，根據垂徑定理的推論可知，C、D、O三點共線，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，則OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴OD＝5，∴CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高為8m．【點評】解決此題的關鍵是將這樣的實際問題抽象為數學問題，即能夠把題目中的已知條件和要求的問題轉化為數學問題中的已知條件和問題．【知識點2】弧長公式：l=nπr180扇形面積公式：圓錐側面展開扇形面積：S=πrR例題1、如圖所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中點E為圓心的MPN與AD相切于點P，則圖中陰影部分的面積是多少?【答案】13【解析】∵BC＝AD＝3，∴BE=32連接PE，∵AD切⊙E于P點，∴PE⊥AD．∵∠A＝∠B＝90°．∴四邊形ABEP為矩形，∴PE＝AB＝1．在Rt△BEM中，BEME=321同理∠CEN＝30°，∴∠MEN＝180°-30°×2＝120°．∴S扇形【點評】由MPN與AD相切，易求得扇形MEN的半徑，只要求出圓心角∠MEN就可以利用扇形面積公式求得扇形MEN的面積．變式練習1、如圖所示，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四邊形ABCD的周長為10cm，圖中陰影部分的面積為()．A．B．C．D．【答案】B；【解析】如圖，因為AD∥BC，∠ADC＝120°，所以∠BCD＝60°，因為AC平分∠BCD，所以∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝30°，所以∠BAC＝90°，BC為圓的直徑，所以AD＝DC＝AB．設BC的中點為O，連接OA、OD，由題意可知點A、D三等分半圓，則∠AOD＝60°，且OA＝OD＝AB＝AD＝CD，BC＝2AD，所以AB+AD+CD+BC＝10，所以半徑為2，則S陰影變式練習2、如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，，以A為圓心，AD長為半徑畫弧交BC于點E，將扇形AED剪下圍成一個圓錐，則該圓錐的底面半徑為．【答案】13【解析】在Rt△ABE中，BE=22?（3）2=1∴∠DAE=60°，∴圓錐的側面展開圖的弧長為：60π×2180=∴圓錐的底面半徑為23π÷2π=變式練習3、若一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則這個圓錐的側面展開圖的圓心角為______.【答案】180°【解析】設圓錐母線長為R，底面半徑為r， 則S側面積=2S底面積,所以πrR=2π 利用圓錐側面的弧長求解圓心角度數： 所以n×π×2r180【知識點3】切線：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。反證法：圓的切線垂直于過切點的半徑。切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。外接圓：經過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓；外心：外接圓圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓； 內心：內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心。切線的判定方法：例題1、如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,∠BAD=90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC=∠BAC.求證：DE是⊙O的切線。【答案】DE是⊙O的切線【解析】

連接BD，∵∠BAD=90°，∴點O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；變式練習1、如圖，△ABC中AB=AC，D是BC邊的中點，以點D為圓心的圓與AB相切于點E.求證：AC與D相切。【答案】AC是D的切線。【解析】證明：作DF⊥AC于F，連接AD、DE.∵AB是D的切線，∴DE⊥AB，∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD平分∠BAC又∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DF=DE，∴AC是D的切線。變式練習2、如圖1，AB為半圓O的直徑，D為BA的延長線上一點，點C在半圓上，且∠ACD=∠B；求證：DC為⊙O切線；【答案】DC為⊙O切線【解析】證明：如圖所示，鏈接OC，因為OB=OC,所以∠OCB=∠B，因為∠ACD=∠B，所以∠ACD=∠OCB因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，所以∠ACO+∠ACD=90°=∠OCD所以DC為⊙O切線。變式練習3、如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,∠BAD=90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC=∠BAC.求證：DE是⊙O的切線。【答案】DE是⊙O的切線【解析】

連接BD，∵∠BAD=90°，∴點O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；【模型練習】圓與角平分線：已知AB是直徑，E、C是圓上的點，連接AC。AC平分∠BAE；AD⊥CD； （知二推一）DC是圓O的切線；如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切線，AD與BC相交于點E。求證：BD=BE；若DE=2，BD=，求CE的長。【答案】（2）【解析】（1）設∠BAD=α∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠BAD=α∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=90°∴∠ABC=90°-2α∵BD是⊙O的切線∴BD⊥AB∴∠DBE=2α∠BED=∠BAD+∠ABC=90°-α∴∠D=180°-∠DBE-∠BED=90°-α∴∠D=∠BED∴BD=BE（2）設AD交⊙O于點F，CE=，連接BF∵AB是⊙O的直徑∴∠AFB=90°∵BD=BE,DE=2∴FE=FD=1∵BD=∴∴AC=2∴AB==2在Rt△ABC中有勾股定理可知：∴解得：或∴2、如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，弦AD與OC相交于點E，與BC相交于點F，AE=DE。求證：∠CBD=∠OCB若⊙O的半徑為2，BC=8，求DF的長【答案】（2）DF=6【解析】（1）證明：∵AE=DE∴OE⊥AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°∴BD⊥AD∴OE∥BD∴∠CBD=∠OCB（2）連接AC、CD，如圖∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=∠ACB=90°∵⊙O的半徑為,BC=8∴AB=∴AC==4∵OB=OC∴∠ABC=∠OCB∴∠ABC=∠CBD∴CD=AC=4∵∠CDA=∠ABC∴∠CDA=∠CBD∵∠DCF=∠BCD∴△DCF∽△BCD∴∴∴BF=BC-CF=6∵∠ACB=∠ADB=90°,∠ABC=∠CBD∴△ABC∽△FBD∴∴3、如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線CE交AB于D，交⊙O于E，EF為⊙O的切線，交CB的延長線于F.求證：EF∥AB；求BF的長。【答案】（2）BF=【解析】（1）證明：連接OE∵∠ACE=∠BCE∴弧AE=弧BE∴OE⊥AB∵EF是切線∴OE⊥EF∴EF∥AB（2）作CH⊥AB于H∵AB是直徑∴∠ACB=90°∴BC=∵∴∵CH∥OE∴△CDH∽△EDO∴∵DB∥EF∴∴BF=4、如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E（1）求證：AC平分∠DAB；（2）連接BE交AC于點F，若AB=10，AC=8，求EF的長。【答案】（2）EF=2.1【解析】（1）證明：連接OC，則∠ACO=∠CAO∵CD切⊙O于C∴CO⊥CD又∵AD⊥CD∴AD∥CO∴∠DAC=∠CAO∴AC平分∠BAD（2）如圖，BE、OC交于G∵AB是⊙O的直徑∴BE⊥AD∵CD是⊙O的切線∴CD⊥OC∴四邊形EGCD是矩形∴DE=CG，CD=EG∴OC⊥BE設DC=EG=BG=，OG=，則AE=在Rt△ADC中，，即①在Rt△OGB中，，即②①-②得，解得：，即AE=21.4=2.8，DC=4.8∵AB為直徑，AD⊥DC∴∠D=∠AEF=90°∵∠EAF=∠DAC∴△AEF∽△ADC∴∴∴EF=2.1圓與等腰三角形：1、如圖，AB是O的直徑，點C在O上，∠ABC的平分線與AC相交于點D，與O過點A的切線相交于點E.(1)∠ACB=___°，理由是： ；(2)猜想△EAD的形狀，并證明你的猜想；(3)若AB=8，AD=6，求BD.【答案】（1）90°，直徑所對的圓周角是直角；（2）△EAD是等腰三角形；（3）【解析】(1)∵AB是O的直徑，點C在O上，∴∠ACB=90°(直徑所對的圓周角是直角)(2)△EAD是等腰三角形。證明：∵∠ABC的平分線與AC相交于點D，∴∠CBD=∠ABE∵AE是O的切線,∴∠EAB=90°∴∠AEB+∠EBA=90°，∵∠EDA=∠CDB,∠CDB+∠CBD=90°，∵∠CBE=∠ABE，∴∠AED=∠EDA，∴AE=AD∴△EAD是等腰三角形。（3）∵AE=ADAD=6∴AE=AD=6∵AB=8∴在直角三角形AEB中,EB=10∵∠CDB=∠E,∠CBD=∠ABE∴△CDB∽△AEB,∴設CB=4x,CD=3x則BD=5x∴CA=CD+DA=3x+6 在直角三角形ACB中即:解得:x=-2(舍去)或x=∴BD=5x=2、如圖，△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點E，延長BC到點D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF.（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長。【答案】（1）略；（2）【解析】(1)∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切線；(2)連接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△DCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴，∴EF=.3、如圖，AB是⊙O直徑，點C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切線，AD與BC相交于點E．（1）求證：BD=BE；（2）若DE=2，BD=，求CE的長．【答案】（1）略；（2）【解析】（1）設∠BAD=，∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠BAD=，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-2，∵BD是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴∠DBE=2，∠BED=∠BAD+∠ABC=，∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=，∴∠D=∠BED，∴BD=BE（2）設AD交⊙O于點F，CE=x，則AC=2x，連接BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∵BD=BE，DE=2，∴FE=FD=1，∵BD=，∴，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，∴解得：或,∴CE=.1、已知三角形ABC，以AB為直徑的圓O分別交AC與D，BC于E，連接ED，若ED=EC（1）求證：AB=AC（2）若AB=4，BC=23，求CD的長【答案】（2）CD=3【解析】解:(1)證明:因為ED=EC, 所以∠CDE=∠C,又因為四邊形ABED是O的內接四邊形,所以∠CDE=∠B,所以∠B=∠C,以AB=AC;(2)連接AE,則易知AE⊥BC,所以BE=EC=12在△ABC與△EDC中,因為∠C=∠C,∠CDE=∠B,所以△ABC∽△EDC,所以2、如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的圓O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線與圓O的切線AF交于點F.(1)求證：∠ABC=2∠CAF；(2)若AC=2，CE:EB=1:4，求CE的長。【答案】（2）CE=2.【解析】(1)證明：如圖，連接BD.∵AB為O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°.∵AF是O的切線，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°.∴∠CAF=∠ABD.∵BA=BC,∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD.∴∠ABC=2∠CAF.(2)如圖，連接AE，∴∠AEB=90°，設CE=x，∵CE:EB=1:4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2，即（2)2=x2+(3x)2，∴x=2.∴CE=2.3、AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC，垂足為D，過點A作⊙O的切線，與DO的延長線相交于點E．（1）如圖1，求證∠B＝∠E；（2）如圖2，連接AD，若⊙O的半徑為2，OE＝3，求AD的長．【答案】(2)CD=221【解析】（1）證明：∵AE與⊙O相切于點A∴AB⊥AE，∴∠A＝90°，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝∠A＝90°，∵∠BOD＝∠AOE，∴∠B＝∠E．（2）如圖2，連接AC，∵OA＝2，OE＝3，∴根據勾股定理得AE＝5，∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，∴△BOD∽△EOA，∴BDAE∴BD5∴BD＝25∴CD＝BD＝25∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，根據勾股定理得AC＝83在Rt△ACD中，根據勾股定理得AD＝AC＝649+2094、如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過點A的切線與CD的延長線相交于點P．且∠APC＝∠BCP（1）求證：∠BAC＝2∠ACD；（2）過圖1中的點D作DE⊥AC，垂足為E（如圖2），當BC＝6，AE＝2時，求⊙O的半徑．【答案】（2）半徑為13【分析】（1）作DF⊥BC于F，連接DB，根據切線的性質得到∠PAC＝90°，根據圓周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根據線段垂直平分線的性質、圓周角定理證明即可；（2）根據垂徑定理求出F