中央財經大學微積分課件課程概述1課程目標幫助學生理解微積分的基本概念、方法和應用，為后續課程學習打下堅實基礎。2課程內容包括極限、連續、導數、微分、積分、級數、多元微積分等內容。3學習方法建議學生認真預習教材，積極參與課堂討論，勤于練習，并適時進行總結回顧。實數系的基本性質實數系是完備的，即任何有界的實數序列都存在極限。實數系是有序的，即實數之間存在大小關系。實數系是無限的，即實數的數量是無限多的。絕對值及其性質定義一個實數的絕對值是該數到原點的距離，用符號|x|表示。性質非負性：|x|≥0對稱性：|-x|=|x|三角不等式：|x+y|≤|x|+|y|區間與不等式區間區間是實數軸上的一段連續的點集，通常用兩個端點表示，例如(a,b)表示大于a且小于b的所有實數。不等式不等式是描述兩個數或表達式之間大小關系的數學表達式，例如x>2表示x大于2。基本初等函數冪函數形如y=x^n的函數，其中n為實數。指數函數形如y=a^x的函數，其中a為大于0且不等于1的常數。對數函數形如y=log_ax的函數，其中a為大于0且不等于1的常數。三角函數包括正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數和余割函數。函數的基本性質1單調性函數在某個區間內，當自變量的值增大時，函數值也隨之增大，則該函數在這個區間內是單調遞增的。反之，若函數值隨之減小，則該函數在這個區間內是單調遞減的。2奇偶性函數在定義域內滿足f(-x)=f(x)則為偶函數；滿足f(-x)=-f(x)則為奇函數。3周期性若存在一個非零常數T，使得對定義域內的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱函數f(x)為周期函數，T稱為函數的周期。極限概念及基本性質1極限定義當自變量無限接近某一值時，函數值無限接近一個確定的數值，這個數值稱為函數的極限。2極限性質極限具有唯一性、有界性、保號性等性質。3極限運算法則極限的加減乘除運算。極限運算法則1和差法則lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)2積法則lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)3商法則lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x),g(x)≠04常數倍法則lim(c*f(x))=c*limf(x)無窮小與連續無窮小無窮小是指當自變量趨于某個極限時，函數的值也趨于零。連續性連續性是指當自變量在一個區間內變化時，函數的值也連續變化，沒有間斷點。導數概念及基本性質1導數定義函數在某點處的導數定義為該點處的切線的斜率.2導數性質導數的性質包括導數的線性性質，乘積法則，商法則和鏈式法則.3導數應用導數的應用包括求函數的極值，拐點，單調性，凹凸性，以及求函數的最值.導數計算法則和差法則兩個函數的和或差的導數等于它們各自導數的和或差。乘積法則兩個函數乘積的導數等于第一個函數的導數乘以第二個函數加上第一個函數乘以第二個函數的導數。商法則兩個函數商的導數等于分母的平方除以分子導數乘以分母減去分子乘以分母導數。鏈式法則復合函數的導數等于外函數對內函數的導數乘以內函數的導數。導數的應用求極值使用導數可以找到函數的最大值和最小值，用于優化問題.求切線方程導數可以用來確定函數在某一點的切線斜率.研究函數的單調性導數可以幫助確定函數在不同區間的增長或減少趨勢.研究函數的凹凸性使用二階導數可以判斷函數的凹凸性，并找到拐點.微分概念及微分法則微分定義微分是函數在某一點的變化率的線性近似。微分法則微分法則用于計算函數的微分，包括基本函數的微分法則和復合函數的微分法則。應用微分應用于求解函數的極值、拐點、漸近線等問題。不定積分概念及性質1定義導數為已知函數的函數稱為原函數2性質原函數存在性,不定積分的線性性質,不定積分的求解方法3應用求解微分方程,計算面積和體積基本積分公式常數積分∫kdx=kx+C，其中k為常數冪函數積分∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n≠-1指數函數積分∫a^xdx=(a^x)/ln(a)+C，其中a>0且a≠1定積分概念及定積分的性質1積分的定義定積分是用來計算曲線下方區域的面積。它由一個函數和兩個端點定義，并表示該區域的大小。2線性性質定積分具有線性性質，這意味著我們可以將兩個函數的積分相加，等于這兩個函數分別積分后的和。3積分上限的改變如果積分上限改變，則積分值也會相應地改變。我們可以利用積分的上限和下限來計算積分值。定積分計算1積分公式基本積分公式，如冪函數、三角函數、指數函數的積分2換元積分法通過變量替換簡化積分3分部積分法適用于兩函數乘積的積分4數值積分法用近似方法計算定積分定積分的應用面積定積分可以用來計算平面圖形的面積。體積定積分可以用來計算旋轉體和立體圖形的體積。弧長定積分可以用來計算曲線弧長。物理量定積分可以用來計算物理量，如功、力矩、重心等。級數概念及基本性質1定義無窮多個數相加2收斂性級數是否收斂到一個有限值3基本性質線性性質，收斂級數的性質常數項級數的斂散性1基本概念定義常數項級數及其收斂與發散的定義.2判別方法介紹常用的判別方法，例如比值判別法，根式判別法，萊布尼茨判別法等.3應用實例通過實例展示常數項級數判別方法的應用，并說明其在實際問題中的應用.冪級數及其性質定義冪級數是形如的無窮級數。收斂半徑冪級數的收斂半徑決定了冪級數收斂的區間。微分性質在收斂區間內，冪級數可以逐項微分。積分性質在收斂區間內，冪級數可以逐項積分。函數的冪級數展開泰勒公式泰勒公式是將函數在某一點展開成冪級數的形式，它提供了近似函數值的方法。麥克勞林公式麥克勞林公式是泰勒公式的特例，將函數在x=0點展開成冪級數的形式，它可以用于計算函數值和近似值。收斂半徑冪級數展開的收斂半徑決定了冪級數在哪個區間內收斂，對于不同的函數，收斂半徑可能不同。函數的冪級數逼近1逼近使用多項式函數來近似表示函數2泰勒級數展開為無窮級數3收斂性在某個區間內收斂4應用數值計算，求解方程函數的微分法則1和差法則兩個可微函數的和或差的導數等于這兩個函數導數的和或差。2積法則兩個可微函數的積的導數等于第一個函數的導數乘以第二個函數加上第一個函數乘以第二個函數的導數。3商法則兩個可微函數的商的導數等于分母的平方乘以分子導數減去分子乘以分母導數。4鏈式法則復合函數的導數等于外函數對內函數的導數乘以內函數的導數。函數的積分法則1積分性質積分的線性性質、積分的加法性、積分的積分變量替換2基本積分公式三角函數、指數函數、對數函數等基本函數的積分公式3換元積分法利用換元法將復雜積分化簡為基本積分4分部積分法將積分式分解為兩個函數的積，利用分部積分法進行計算偏導數與全微分1偏導數多變量函數對單個變量的導數2全微分多變量函數對所有變量的微小變化3應用優化問題，誤差分析重積分概念與性質1定義重積分是用來計算多維空間中曲面或體積的積分2性質重積分具有線性、可加性、積分區域可拆分性等性質3應用重積分可以用于求解體積、面積、質量、重心等物理問題重積分的計算方法累次積分將二重積分或三重積分轉化為多次一元積分進行計算。極坐標系對于某些積分區域，采用極坐標系可以簡化積分的計算。其他坐標系根據積分區域的形狀，還可以使用柱坐標系、球坐標系等進行計算。曲面積分與體積分1曲面積分曲面積分是微積分中的