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文檔簡介

第七章

Ch7.6一、二元函數的極值(無條件)二、最值應用問題三、條件極值多元函數的極值及最值一、二元函數的極值

定義:

若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內有二元函數極值也是局部性的概念即定理1反之不真!在(0,0)處兩個偏導數均為0,(2).偏導數不存在的點也可能取得極值.說明:(1).使一階偏導數都為0的點稱為駐點或穩定點.

但駐點不一定是極值點，例如,在(0,0)取得極大值.

定理1(極值存在的必要條件)且在該點取得極值,則有函數偏導數,存在極值點必在駐點和一階偏導數不存在的點中取得.定理1：一階偏導數存在的極值點必為駐點。但(0,0)無極值.如何判斷一個駐點是否為極值點？二元函數求極值的步驟:例1.求函數的極值.解:例2.求函數得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在點(1,0)處為極小值;1.解的極值.2.求二階偏導數,即A,B,C解:在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;二、最大值,最小值函數f在有界閉域上連續函數f在有界閉域上可達到最值

最值可疑點駐點及偏導數不存在的點邊界上的最值點依據--有界閉域上的最值問題得駐點:(2,0),(0,0)(舍去）在點(2,0)處f(2,0)=4解:特別,在求解實際問題的最值時,如果從實際意義知道所求函數最值存在,且只有一個駐點P時,

則該駐點就是函數所求的最值點。為極小值為最小值(大)(大)例4.求最大利潤.某企業生產兩種商品的產量分別為x單位和y單位,利潤函數為最大利潤為1650單位.解:三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制方法1無條件化.基本思想是把條件極值問題化為無條件極值問題方法2拉格朗日乘數法.模型:推廣拉格朗日乘數法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組例如,

求函數下的極值.在條件可得到的可能的極值點.

解:解:一、二元函數求極值的步驟:二、最大值,最小值—實際問題的應用三、條

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