隱圓問題的十大類型隱圓問題是高中數學中難度較大的一個跨單元主題，它承接于初中的圓，融入了高中的平面向量，解三角形，解析幾何等內容，綜合性很高，更是學生學習的難點之一！當然，這部分內容在課本上也多有涉及，比如阿波羅尼斯圓，圓的參數方程等，基于此，本節將系統梳理相關內容，力爭做成一份全面，完整的隱圓資料.類型1.用的義到定的離于長點的跡確隱例如圓上存個點原的為則數與圓有兩個交點，求的取值范圍問題，由兩圓相交的條件可知：.已知點在圓：上，點，，滿足的點的個數為（

）A．3 B．2 C．1 D．0解析：設點，則，且，由，得，即，故點P的軌跡為一個圓心為，半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點P有2個.故選B.例3.已知點在動直線上的投影為點M，若點，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．解析：由動直線方程得，所以該直線過定點Q（1,3），所以動點M在以PQ為直徑的圓上，所以圓的半徑為圓心的坐標為，所以點N到圓心的距離為，所以的最大值為.故選：D.4．已知點P是圓C：的動點，直線l：上存在兩點A，B，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．解析：圓，圓心為，半徑為.依題意，是圓上任意一點，直線上存在兩點，使得恒成立，故以為直徑的圓始終與圓相切，即圓的半徑的最小值是到直線距離的最大值，即，所以的最小值是.故選：A5．已知是圓的一條弦，且，是的中點，當弦在圓上運動時，直線上存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．解析：由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點，所以，所以點的軌跡方程，圓心為點，半徑為，若直線上存在兩點，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點到直線的距離為，所以長度的最小值為，故選：B．6．若對于圓上任意的點，直線上總存在不同兩點，，使得，則的最小值為______.解析：由題設圓，故圓心，半徑為，所以到的距離，故直線與圓相離，故圓上點到直線的距離范圍為，圓上任意的點，直線上總存在不同兩點、，使，即以為直徑的圓包含圓，至少要保證直線上與圓最近的點，與圓上點距離最大值為半徑的圓包含圓，所以.故答案為：107.（2020年全國2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2）由余弦定理得：，即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.類型4.8．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別在邊AD，BC上，且，．點P在正方形ABCD的邊AD或BC上運動，若，則滿足條件的點P的個數是（

）A．0 B．2 C．4 D．6解析：由上述分析可知，所以，共有4個點滿足條件.故選：C類型5.解析：由于類型6.定義：已知平面上兩點，則所有滿足的動點的軌跡是一個以定比為內分和外分定線段的兩個分點的連線為\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"直徑的圓.若,則圓的半徑為，圓心為.解析：設．因為且由兩點間距離公式得，化簡得．所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．9.中，，，則的面積最大值為_______.解析：由，見系代入得．設圓心為，顯然當軸時，面積最大，此時．所以．類型7.“從動點圓”，若為定點，點在圓上運動，則線段的中點也在一個圓上.本例證明見人教版選擇性必修教材87頁，例5.10.已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，則線段AB的中點M的軌跡方程是__________.解析：設點的坐標為，點，M為AB的中點，B的坐標為，，解得，點滿足，即，故點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，點的軌跡方程為：．類型8.圓的內接四邊形與托勒密定理若四邊形對角互補，或者，則四點共圓.11．在平面四邊形ABCD中，，AD=3，BD=則CD的最小值為（）解析：如圖，可設，則，則由托勒密不等式可得：，代值可得：，等號成立當且僅當四點共圓. B． C． D．類型9.向量隱圓12.已知向量滿足，且向量的夾角為，則的最大值為_________.解析：依題夾角為，而向量的夾角為，故由四點共圓結論可知，向量的終點與四點共圓，則的最大值即為圓的直徑，由于則由正弦定理：.13.（2018年浙江高考）已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．解析：設，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.14已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．解析：在平面內一點，作，，，則，則，因為，則，故為等腰直角三角形，則，取的中點，則，所以，，所以，，因為，所以，，則，所以，.當且僅當、同向時，等號成立，故的最大值為.故選：B.類型10.米勒圓與最大視角米勒定理1：已知點是的邊上的兩個定點，點是邊上的動點，則當且僅當的外接圓與邊相切于點時，最大.13.（2022南昌一模）已知點.點為圓上一個動點，則的最大值為__________.解析：如圖，設D是圓上不同于點