第4章計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4.1計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立4.2計算機控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型4.3計算機控制系統(tǒng)的時域模型4.4

計算機控制系統(tǒng)的頻域模型4.5MATLAB實例仿真小結(jié)

4.1計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

數(shù)學(xué)建模通常有兩種不同的方法:分析法和實驗法。分析法是系統(tǒng)地應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)理論與定律,對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析,并進一步按照系統(tǒng)中各組成部分之間的相互關(guān)系來獲得數(shù)學(xué)模型的方法。各種物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律以及其他科學(xué)理論的合理應(yīng)用是分析法建模的基礎(chǔ)。實驗法則是在一組假想或假設(shè)的模型中,需要人為地施加某種測試信號,并記錄基本輸出響應(yīng),才能求得與系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)吻合最好的模型的建模方法,因此也稱系統(tǒng)辨識。

1.分析法

分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟如下:

(1)建立物理模型。

(2)列寫原始方程,利用適當(dāng)?shù)奈锢矶?例如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。

(3)選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量(僅在建立狀態(tài)模型時要求),消去中間變量,建立適當(dāng)?shù)妮斎?輸出模型或狀態(tài)空間模型。

2.實驗法

實驗法即基于系統(tǒng)辨識的建模方法,其步驟如下:

(1)已知知識和辨識目的。

(2)實驗設(shè)計:選擇實驗條件。

(3)模型階次選擇:選擇適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次。

(4)參數(shù)估計:常采用最小二乘法進行參數(shù)估計。

(5)模型驗證:將實際輸出與模型的計算輸出進行比較,系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上接近。

4.2計算機控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

1.狀態(tài)變量足以完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量為狀態(tài)變量。一個n階微分方程描述的系統(tǒng)就有n個獨立變量。當(dāng)這n個獨立變量的時間響應(yīng)都求得時,系統(tǒng)的運動狀態(tài)也就揭示無遺了。因此,可以說該系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是n階系統(tǒng)的n個獨立變量。

同一個系統(tǒng),究竟選取哪些變量作為獨立變量,這是不唯一的,重要的是這些變量應(yīng)該是相互獨立的,且其個數(shù)應(yīng)等于微分方程的階數(shù);又由于微分方程的階數(shù)唯一地取決于系統(tǒng)中獨立儲能元件的個數(shù),因此狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)等于系統(tǒng)獨立儲能元件的個數(shù)。

眾所周知,n階微分方程式要有唯一確定的解,必須要知道n個獨立的初始條件。很明顯,這n個獨立變量的初始條件就是一組狀態(tài)變量在初始時刻t0的值。

綜上所述,狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)而且個數(shù)又是最小的一組變量,當(dāng)其在t=t0時刻的值已知時,則在給定t≥t0時刻的輸入作用下,便能完全確定系統(tǒng)在任何時刻的行為。

2.狀態(tài)矢量

如果n個狀態(tài)變量用x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t)表示,并把這些狀態(tài)變量看作是矢量x(t)的分量,則x(t)就被稱為狀態(tài)矢量,記作:

3.狀態(tài)空間

以狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的n維空間稱為狀態(tài)空間。在特定時刻t,狀態(tài)矢量x(t)是狀態(tài)空間中的一點。已知初始時刻t0的狀態(tài)為x(t0),就可得到狀態(tài)空間中的一個初始點。隨著時間的推移,x(t)將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡,稱為狀態(tài)軌線。狀態(tài)矢量的狀態(tài)空間表示,將矢量的代數(shù)表示和幾何概念聯(lián)系起來了。

4.狀態(tài)方程

由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組被稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

以圖4-1所示的RLC電路網(wǎng)絡(luò)為例,說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。

圖4-1RLC電路網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)電學(xué)原理,可寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程:

即

式(4-1)就是圖4-1系統(tǒng)的狀態(tài)方程,式中若將狀態(tài)變量用一般符號xi表示,即令x1=uC,x2=i,并寫成矢量矩陣形式,則狀態(tài)方程為

或

式中

5.輸出方程

在指定系統(tǒng)輸出的情況下,該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式被稱為系統(tǒng)的輸出方程。例如在圖4-1系統(tǒng)中,指定x1=uC作為輸出,輸出一般用y表示,則有

或

式(4-3)就是圖4-1系統(tǒng)的輸出方程,它的矩陣表達(dá)式為

或

式中

6.狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)方程和輸出方程綜和起來構(gòu)成對系統(tǒng)動態(tài)行為的完整描述,被稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,式(4-2)和式(4-4)就是圖4-1系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

在經(jīng)典控制理論中,通常用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統(tǒng)的動態(tài)方程。如圖4-1所示的系統(tǒng),在以uC

作輸出時,從式(4-1)消去中間變量i,得到的二階微分方程為

其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

因而多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的矢量矩陣形式為

式中,x和A為同單輸入系統(tǒng),分別為n維狀態(tài)矢量和n×n系統(tǒng)矩陣;

4.3計算機控制系統(tǒng)的時域模型

計算機控制系統(tǒng)的時域模型主要以微(差)分方程的形式表達(dá),建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)之上,也稱輸入/輸出描述法。其中,微分方程是連續(xù)時間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的最基本表達(dá)形式,N階線性常系數(shù)微分方程的基本形式為

相應(yīng)地,差分方程是離散時間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的最基本表達(dá)形式,N階線性常系數(shù)差分方程的基本形式為

4.3.1線性常系數(shù)微分方程

在計算機控制系統(tǒng)中往往存在儲能元件(電容、電感)、慣性元件(質(zhì)量、電感)、容性元件(電容、熱容)等,考慮到物理系統(tǒng)輸入/輸出間的因果關(guān)系,其數(shù)學(xué)模型的階次等于系統(tǒng)

中獨立儲能元件的個數(shù)。組成系統(tǒng)的元件或多或少地存在著非線性特性,實際意義上純粹的線性系統(tǒng)是不存在的,對非本質(zhì)的非線性特性需要進行線性化處理,即線性近似。比較簡單常用的線性近似法就是小偏差線性化:若系統(tǒng)在工作點A附近很小的范圍內(nèi)工作,就以A點處的切線來代替該范圍內(nèi)很小一段曲線。

工作點不同,則線性化方程的系數(shù)不同,因此線性化必須在某一個工作點處進行;工作點不同則線性化的結(jié)果也不一樣。線性化的條件是在工作點附近的小范圍內(nèi)滿足小偏差的條件。線性化只能針對非本質(zhì)非線性特性進行,線性化的結(jié)果是得到工作點附近(鄰域)變量增量Δx、Δy的線性方程式,習(xí)慣上仍寫成x、y。

在圖4-1中,根據(jù)電學(xué)原理,可以寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程:

4.3.2線性常系數(shù)差分方程

如果系統(tǒng)的輸入、輸出特性是線性的,則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。其基本特性滿足疊加原理:L(c1u1+c2u2)=c1L(u1)+c2L(u2),也就是說,滿足疊加原理的系統(tǒng)即為線性系統(tǒng),有下面的關(guān)系表達(dá)式:

4.4計算機控制系統(tǒng)的頻域模型

系統(tǒng)的微分方程或差分方程是在時間域里描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。在給定輸入及初始條件下,對方程求解即可得到系統(tǒng)的輸出。這種方法比較直觀,但卻難以得到方程中的系數(shù)(對應(yīng)于系統(tǒng)中元件的參數(shù))對系統(tǒng)輸出(系統(tǒng)被控量)的影響,因此不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計。

4.4.1Z變換法解差分方程

計算機控制系統(tǒng)是線性離散系統(tǒng)或近似當(dāng)做線性離散系統(tǒng)。研究一個物理系統(tǒng),必須建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,解決數(shù)學(xué)描述和分析工具的問題。Z變換及其反變換就是分析和設(shè)計計算機控制系統(tǒng)的重要工具之一。在離散系統(tǒng)中用Z變換求解差分方程,也使得求解運算變成了代數(shù)運算,大大簡化和方便了離散系統(tǒng)的分析和綜合。用Z變換求解差分方程,主要用到了Z變換的實數(shù)位移定理。

求解差分方程的一般方法可以歸結(jié)如下:

(1)差分方程兩端同時取Z變換。

(2)用初始條件化簡Z變換式。

(3)Z變換式改寫成以下形式:

(4)解X(z)的Z反變換,即可得到差分方程的解。

4.4.2連續(xù)時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

微分方程反映了連續(xù)時間系統(tǒng)輸入信號和輸出信號之間的聯(lián)系,是系統(tǒng)的最基本表達(dá)形式。尤其是線性常系數(shù)微分方程,常用來表達(dá)線性定常系統(tǒng)。拉普拉斯變換是通過變換的方式對線性常系數(shù)微分方程進行分析求解的一種重要方法。

傅里葉變換對:

拉普拉斯變換對:

如圖4-2所示,經(jīng)過拉普拉斯變換可以將連續(xù)時間系統(tǒng)從時域轉(zhuǎn)移到頻域進行分析。連續(xù)時間系統(tǒng)的3種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系如圖4-3所示,比如同一個系統(tǒng)可以在時域和頻域分別用式(4-19)、式(4-20)、式(4-21)來分析。圖4-2時域到頻域的變換圖4-33種數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

4.4.3離散時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1.離散時間系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本概念

對于離散系統(tǒng),一般用差分方程來描述,其形式為

定義該離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:初始條件為零時,系統(tǒng)輸出、輸入序列的Z變換的比值:

2.離散時間系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

在圖4-4(a)所示的開環(huán)系統(tǒng)中,兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)存在,這時

在圖4-4(b)所示的系統(tǒng)中,兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)隔離,這時系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

式(4-22)和式(4-23)中的G1G2(z)≠G1(z)G2(z)

圖4-4-兩種開環(huán)串聯(lián)結(jié)構(gòu)

3.離散時間系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

由圖4-5所示的閉環(huán)系統(tǒng)可得

圖4-5閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)

閉環(huán)離散系統(tǒng)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)為

與線性連續(xù)系統(tǒng)類似,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的分母1+GH(z)=0即為閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征多項式。

計算機控制系統(tǒng)中往往有數(shù)字控制器環(huán)節(jié),如圖4-6所示,具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖4-6具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)

例4-3判斷圖4-7所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s時的穩(wěn)定性。圖4-7采樣系統(tǒng)

解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

4.5MATLAB實例仿真

基于MATLAB的Z變換使用ztrans、iztrans函數(shù)分別求出離散時間信號的Z變換和逆Z變換(也稱Z反變換)的結(jié)果,并用pretty函數(shù)對結(jié)果進行變換。

2.求x(n)=n4-的Z變換

3.求x(n)=sin(an+b)的Z變換

小結(jié)計算機控制系