試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）黃金卷04（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數滿足（為虛數單位），則（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，則（

）A． B．2 C． D．64．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．若函數在區間上不單調，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．方程在內根的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．38．已知函數，且滿足，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某社區醫院工作人員在社區內開展了“如何護理患有黃疸的新生兒”的知識講座，并向參與講座的每人發放了一份相關的知識問卷．該講座結束后，共收回問卷100份．據統計，這100份問卷的得分（滿分為100分）近似服從正態分布，下列說法正確的是（

）附：若，則，，．A．這100份問卷得分數據的期望是80，標準差是25B．這100份問卷中得分超過85分的約有16份C．D．若在其他社區開展該知識講座并發放知識問卷，得到的問卷得分數據也服從正態分布10．已知函數的極值點，則（

）A．是的極小值點 B．有三個零點C． D．11．平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現的.已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，其軌跡為一條連續的封閉曲線C.則下列結論正確的是（

）A．曲線C與y軸的交點為， B．曲線C關于x軸對稱C．面積的最大值為2 D．的取值范圍是第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為．13．若直線與曲線和圓，都相切，則a的值為．14．編號為1、2、3、4的四名學生隨機入座編號為1、2、3、4的座位，每個座位坐1人，座位編號和學生編號一致時稱為一個“配對”，用X表示“配對”數，則X的期望．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．(本小題滿分13分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面積為，求的周長.16．(本小題滿分15分）已知橢圓C：（）的一個焦點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線l：與橢圓C交于A，B兩點，若面積為，求直線的方程.17．(本小題滿分15分）如圖，AB是圓的直徑，MA與圓所在的平面垂直，C是圓上不同于A、B的一點.(1)求證：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值.18．(本小題滿分17分）已知函數，其中.(1)證明：當時，；(2)若時，有極小值，求實數的取值范圍；(3)對任意的恒成立，求實數的取值范圍.19．(本小題滿分17分）定義：已知數列為有窮數列，①對任意（），總存在，使得，則稱數列為“乘法封閉數列”；②對任意（），總存在，使得，則稱數列為“除法封閉數列”，(1)若，判斷數列是否為“乘法封閉數列”.(2)已知遞增數列，為“除法封閉數列"，求和.(3)已知數列是以1為首項的遞增數列，共有項，，且為“除法封閉數列”，探究：數列是否為等比數列，若是，請給出說明過程；若不是，請寫出一個滿足條件的數列的通項公式.

【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）黃金卷04（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678CBBBCBDC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011BCABDABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．413．414．1四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．(本小題滿分13分）【解】（1），由正弦定理得：，………2分整理得：，………3分∵在中，，∴，即，………4分∴，即；………5分（2）由余弦定理得：，………7分∴，………8分∵，∴，………10分∴，∴，………12分∴的周長為.………13分16．(本小題滿分15分）【解】（1）由焦點為得………1分又離心率，得到，………2分所以，………3分所以橢圓C的方程為.………4分（2）設聯立，消y得，……5分，得到，由韋達定理得，，，……7分又因為，………9分又原點到直線的距離為，………10分所以，………………13分所以，所以，即，滿足，……14分所以直線l的方程為.……15分17．(本小題滿分15分）【解】（1）∵平面，平面，∴，…1分∵是圓的直徑，∴，………2分∵，、平面，∴平面，………4分∵平面，∴平面平面；……5分（2）法一：如圖，建立空間直角坐標系，則，………7分，………8分設平面的法向量，則有，令，得，………10分設平面的法向量，則有，令，得，………12分則，，二面角的正弦值為.……15分法二：作于，作于，連接，……6分∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，……7分∵平面，∴，又∵，、平面，∴平面，………8分∵平面，∴，∴為二面角的平面角，………10分，………11分∵平面，平面，∴，，∵平面，平面，∴，，…13分則，二面角的正弦值為.……15分18．(本小題滿分17分）【解】（1）因為，則對任意恒成立，………1分可知在內單調遞減，……2分則，………3分所以當時，.……4分（2）因為，則，………5分令，則對任意恒成立，………6分可知在內單調遞增，則，………7分當，即時，則對任意恒成立，即，可知在內單調遞增，無極值，不合題意；………8分當，即時，則在內存在唯一零點，當時，，即；當時，，即；可知在內單調遞減，在內單調遞增，………10分可知存在極小值，符合題意；綜上所述：實數的取值范圍為.………11分（3）令，則，………12分原題意等價于對任意恒成立，且，則，解得，………14分若，因為，則，則，可知在內單調遞增，則，即符合題意；……………16分綜上所述：實數的取值范圍為.……17分19．(本小題滿分17分）【解】（1）由題意知，數列為：.……1分由，不是數列中的項，………3分故數列不是“乘法封閉數列”；………4分（2）由題意數列遞增可知，則，且，………5分又數列為“除法封閉數列”，則都是數列中的項，………7分所以，即①；且，即②，聯立①②解得，；………9分（3）數列是等比數列………10分證明：當時，設數列為，由題意數列遞增可知，則有，由數列為“除法封閉數列”，………12分則這個數都是數列中的項，所以有，則有，③；同理由，可得，則有，即④；由③④可得，，故是等比數列.………14分當時，由題意數列遞增可知，則有，………15分由數列為“除法封閉數列”，則這個數都是數列中的項.所以有.所以有，即⑤；同理由，可得，所以.則，即⑥，聯立⑤⑥得，，則，所以有，所以，故數列是等比數列.綜上所述，數列是等比數列.………17分【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）黃金卷04（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知集合為正奇數組成的集合，且，則，故選C.2．已知復數滿足（為虛數單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以．故選B3．已知向量，若，則（

）A． B．2 C． D．6【答案】B【解析】由題意可得

，因為，所以，解得，故選：B4．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，.，，，.故選：.5．已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設圓錐PO的底面圓半徑為，由母線長為2，側面積等于，得，解得，因此圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選：C6．若函數在區間上不單調，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數在上單調遞減，在上單調遞增．又函數在區間上不單調，所以，故選：B．7．方程在內根的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題意，，即，可得或，解得或又因為，所以，故選：D.8．已知函數，且滿足，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以為奇函數，又因為，所以為上的增函數.因為，為奇函數，所以，又為上的增函數，所以，即，解得或，所以實數的取值范圍為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某社區醫院工作人員在社區內開展了“如何護理患有黃疸的新生兒”的知識講座，并向參與講座的每人發放了一份相關的知識問卷．該講座結束后，共收回問卷100份．據統計，這100份問卷的得分（滿分為100分）近似服從正態分布，下列說法正確的是（

）附：若，則，，．A．這100份問卷得分數據的期望是80，標準差是25B．這100份問卷中得分超過85分的約有16份C．D．若在其他社區開展該知識講座并發放知識問卷，得到的問卷得分數據也服從正態分布【答案】BC【解析】由題意得，該問卷得分數據服從正態分布，可得數據的期望是，方差是，標準差是，所以A錯誤；由，可得，所以該問卷中得分超過85分的約有16份，所以B正確；由正態分布概率密度曲線的對稱性，可得，所以C正確；由同一份問卷發放到不同社區，得到的數據不一定相同，所以D錯誤．故選：BC.10．已知函數的極值點，則（

）A．是的極小值點 B．有三個零點C． D．【答案】ABD【解析】由，得，由是函數的極值點，得，解得，故函數，，令，解得或，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，故為極小值點，A選項正確；又，，，，所以函數分別在，，上各有一個零點，共三個零點，B選項正確；又在上單調遞減，且，所以，又，故，C選項錯誤；同理，且，，D選項正確；故選：ABD.11．平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現的.已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，其軌跡為一條連續的封閉曲線C.則下列結論正確的是（

）A．曲線C與y軸的交點為， B．曲線C關于x軸對稱C．面積的最大值為2 D．的取值范圍是【答案】ABD【解析】設點，依題意，，整理得：，對于A，當時，解得，即曲線C與y軸的交點為，，A正確；對于B，因，由換方程不變，曲線C關于x軸對稱，B正確；對于C，當時，，即點在曲線C上，，C不正確；對于D，由得：，解得，于是得，解得，D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為．【答案】【解析】因為，即，解得，所以的虛軸長為13．若直線與曲線和圓，都相切，則a的值為．【答案】【解析】設直線與曲線相切的切點坐標為，由曲線，可得，則，解得，所以切線方程為，因為直線與圓相切，所以，解得或（舍）．14．編號為1、2、3、4的四名學生隨機入座編號為1、2、3、4的座位，每個座位坐1人，座位編號和學生編號一致時稱為一個“配對”，用X表示“配對”數，則X的期望．【答案】1【解析】X的可能取值為0,1,2,4，全排列為，當X=0時，先安排的第一人由3種選擇，比如說先安排“1”號人，可以選擇2,3,4座位，如果安排在2號位，則“2”號人也可以由3種選擇，比如是安排在1號位，則“3”號人只能在4號位，“4”號人只能在3號位；如果是安排在3號位，則“3

”號人只能在4號位，“4”號人只能在1號位，如果安排在4號位也是類似，所以有種排法，；當X=1時，先從4人中選一人安排在對應的位置上，由種選法，比如選“1”號人安排在1號位，則“2”號人有2種選法，如果選3，則“3”號人只能選4，“4”號人只能2,；如果選4，則“4”號人只能只能選3，“3”號人只能選2；所以有種排法，；當X=2時，先從4人中選2人安排在對應的位置，有種選法，比如先安排“1”號人和“2”號人，分別安排在1號和2號位置，則“3”號人和“4”號人只能由1種排法，所以總共有6種排法，；當X=4時，只有1種排法，；其數學期望為四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．(本小題滿分13分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面積為，求的周長.【解】（1），由正弦定理得：，………2分整理得：，………3分∵在中，，∴，即，………4分∴，即；………5分（2）由余弦定理得：，………7分∴，………8分∵，∴，………10分∴，∴，………12分∴的周長為.………13分16．(本小題滿分15分）已知橢圓C：（）的一個焦點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線l：與橢圓C交于A，B兩點，若面積為，求直線的方程.【解】（1）由焦點為得………1分又離心率，得到，………2分所以，………3分所以橢圓C的方程為.………4分（2）設聯立，消y得，……5分，得到，由韋達定理得，，，……7分又因為，………9分又原點到直線的距離為，………10分所以，………………13分所以，所以，即，滿足，……14分所以直線l的方程為.……15分17．(本小題滿分15分）如圖，AB是圓的直徑，MA與圓所在的平面垂直，C是圓上不同于A、B的一點.(1)求證：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值.【解】（1）∵平面，平面，∴，…1分∵是圓的直徑，∴，………2分∵，、平面，∴平面，………4分∵平面，∴平面平面；……5分（2）法一：如圖，建立空間直角坐標系，則，………7分，………8分設平面的法向量，則有，令，得，………10分設平面的法向量，則有，令，得，………12分則，，二面角的正弦值為.……15分法二：作于，作于，連接，……6分∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，……7分∵平面，∴，又∵，、平面，∴平面，………8分∵平面，∴，∴為二面角的平面角，………10分，………11分∵平面，平面，∴，，∵平面，平面，∴，，…13分則，二面角的正弦值為.……15分18．(本小題滿分17分）已知函數，其中.(1)證明：當時，；(2)若時，有極小值，求實數的取值范圍；(3)對任意的恒成立，求實數的取值范圍.【解】（1）因為，則對任意恒成立，………1分可知在內單調遞減，……2分則，………3分所以當時，.……4分（2）因為，則，………5分令，則對任意恒成立，………6分可知在內單調遞增，則，………7分當，即時，則對任意恒成立，即，可知在內單調遞增，無極值，不合題意；………8分當，即時，則在內存在唯一零點，當時，，即；當時，，即；可知在內單調遞減，在內單調遞增，………10分可知存在極小值，符合題意；