新湘教版數學七年級下冊全冊教學課件2025年春季新版教材1.1整式的乘法第一章整式的乘法1.1.1同底數冪的乘法1.1.2冪的乘方1.1.3積的乘方逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2同底數冪的乘法冪的乘方積的乘方知1－講感悟新知知識點同底數冪的乘法11.同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加

.用字母表示為am·an=am+n(

m，n都是正整數)

.(

m，n都是正整數)

.同底數冪的乘法公式運用的前提是底數相同.感悟新知知1－講特別解讀1.運用此法則需要注意兩點：一是底數相同；二是指數相加.2.指數相加的和作為積中冪的指數，即運算結果仍然是冪的形式.3.單個字母或數字可以看成指數為1的冪，運算時易漏掉.感悟新知2.法則的拓展運用：(1)同底數冪的乘法法則對于三個及三個以上同底數冪相乘同樣適用，即am·an·…·ap=am+n+…+p

(

m，n，…，p

都是正整數)

.(2)同底數冪的乘法法則既可正用也可逆用，即am+n=am·an

(

m，n

都是正整數)

.知1－講知1－練感悟新知計算：(1)108×102；(2)

x7·x；

(3)an+2·an－1

(其中n>2，且n

是正整數)；(4)－x2·(－x

)

8；(5)(x+3y

)

3·(x+3y

)2·(

x+3y

)；(6)(

x

－y

)

3·(

y

－x

)

4.例1解題秘方：緊扣同底數冪的乘法法則進行計算.考向：利用同底數冪的乘法法則進行冪的計算題型1同底數冪的乘法法則在計算中的應用知1－練感悟新知解：(1)108×102=108+2=1010.(2)

x7·x=x7+1=x8.(3)

an+2·an－1=an+2+n

－

1=a2n+1.(4)－x2·(－x

)

8=－x2·x8=(－1

)·x2+8=－x10.(5)(x+3y

)

3·(x+3y

)2·(

x+3y

)=

(

x+3y

)

3+2+1=

(

x+3y

)

6.(6)(

x

－y

)

3·(

y

－x

)

4=

(

x

－

y

)

3·(

x－y)

4=(

x

－y)

7.知1－練感悟新知特別提醒：運用同底數冪的乘法法則計算時應注意以下幾點：(1)底數既可以是單項式也可以是多項式，當底數是多項式時，應將多項式看成一個整體進行計算.(2)底數不同時，若能化成相同底數，則先轉化為同底數冪，再按法則計算.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知(1)若am=3，an=5，求am+n

的值.(2)已知2x=3，求2x+3

的值.例2

題型2同底數冪的乘法法則在求值中的逆用知1－練感悟新知解：(1)因為am=3，an=5，所以am+n=am·an=3×5=15.(2)因為2x=3，所以2x+3=2x·23=3×8=24.解題秘方：逆用同底數冪的乘法法則，即am+n=am·an.知1－練感悟新知特別解讀此題逆用同底數冪的乘法法則，將冪am+n，2x+3轉化為同底數冪的乘法，然后把已知條件整體代入求值，體現了整體思想的應用.感悟新知知2－講知識點冪的乘方21.冪的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘.用字母表示為(

am

)

n=amn

(

m，n

都是正整數)

.示例：感悟新知知2－講2.法則的拓展運用：(1)冪的乘方法則的推廣：［(

am

)

n］p=amnp

(

m，n，p都是正整數)；(2)冪的乘方法則既可以正用，也可以逆用，逆用時amn=

(

am

)

n=

(

an

)

m

(

m，n

都是正整數)

.知2－講感悟新知特別解讀◆“底數不變”是指冪的底數a不變，“指數相乘”是指冪的指數m與乘方的指數n相乘.◆底數可以是一個單項式，也可以是一個多項式.感悟新知知2－練計算：(1)(

103

)

4；(2)－(am

)

3

(m

是正整數)；(3)［(

x

－2y

)

3］4；(4)

x4

·(

x3

)

3.例3解題秘方：緊扣冪的乘方法則進行計算.考向：利用冪的乘方法則進行乘方計算題型1冪的乘方法則在計算中的應用知2－練感悟新知解：(1)

(10

3)

2=10

3×4=106.

(2)－(am)

3=－am·3=－a

3m.(3)［(x-2y)3］4=(x-2y)3×4=(x-2y)12.(4)x4·（x3）3=x4·x3×3=x4+9=x13.知2－練感悟新知解法提醒?用冪的乘方法則計算時，不要把冪的乘方與同底數冪的乘法混淆，其相同點都是底數不變，不同點是同底數冪的乘法為指數相加，而冪的乘方為指數相乘.感悟新知知2－練題型2冪的乘方法則在求整式值中的逆用已知a2n=3，求a4n

－a6n

的值.例4

知2－練感悟新知解題秘方：此題已知a2n=3，需逆用冪的乘方法則把a4n

－a6n用a2n表示，再把a2n=3整體代入求值.解：a4n

－a6n=

(a2n)

2

－

(

a2n)

3=32

－33=9－27=－18.知2－練感悟新知方法提醒逆用冪的乘方法則求式子值的方法：把指數是積的形式的冪寫成冪的乘方，如amn=

(am

)

n=(am)n==

(an

)

m

(

m，n

都是正整數)，然后整體代入，求式子的值.感悟新知知3－講知識點積的乘方31.積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘

.用字母表示為(

ab

)

n=anbn

(

n為正整數)

.示例：感悟新知知3－講2.法則的拓展運用：(1)積的乘方法則的推廣：(

abc

)

n=anbncn

(

n

為正整數)；(2)積的乘方法則既可以正用，也可以逆用，逆用時anbn=(ab

)

n

(

n

為正整數)

.知3－講感悟新知特別提醒?1.積的乘方的前提是底數是乘積的形式，每個因數(式)可以項是單式，也可以是多項式.2.在進行積的乘方運算時，要把底數中的每個因數(式)分別乘方，不要漏掉任何一項.知3－練感悟新知

例5解題秘方：運用積的乘方、冪的乘方的運算法則進行計算.考向：利用積的乘方法則進行積的乘方計算題型1積的乘方法則在計算中的應用知3－練感悟新知

知3－練感悟新知解法提醒?◆利用積的乘方法則計算時，要先確定積中的因式，然后將每個因式都乘方，最后求出所有冪的積.◆科學記數法形式的數乘方最后的結果應該用科學記數法形式表示.系數乘方時，要帶前面的符號，特別是系數為負數時，不要漏掉.知3－練感悟新知

例6

解題秘方：緊扣“兩底數互為倒數（或負倒數），而指數又是相同的”這一特征，逆用積的乘方法則進行計算.題型2積的乘方法則在計算中的逆用知3－練感悟新知

知3－練感悟新知方法技巧求指數相同的幾個冪相乘的方法：當指數相同的兩個或幾個冪相乘時，如果底數的積容易求出，利用anbn=(

ab)

n可先把底數相乘再進行乘方運算，從而使運算簡便.整式的乘法關鍵點冪的乘方底數與指數的變化冪的運算同底數冪的乘法積的乘方1.1整式的乘法第一章整式的乘法1.1.4單項式的乘法1.1.5多項式的乘法逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2單項式乘單項式單項式乘多項式多項式乘多項式知1－講感悟新知知識點單項式與單項式相乘11.單項式乘單項式法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式.感悟新知知1－講特別提醒?1.單項式與單項式相乘的結果仍為單項式；2.只在一個單項式里含有的字母，寫積時不要遺漏；3.單項式乘單項式法則對于三個及三個以上的單項式相乘同樣適用.精心制作

必出良品樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上。“蹲下身子和學生說話，走下講臺給學生講課”;關心學生情感體驗，讓學生感受到被關懷的溫暖;自覺接受學生的評價，努力做學生喜歡的老師。教師要學會寬容，寬容學生的錯誤和過失，寬容學生一時沒有取得很大的進步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強烈。每當想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己職責的神圣和一言一行的重要。善待每一個學生，做學生喜歡的老師，師生雙方才會有愉快的情感體驗。一個教師，只有當他受到學生喜愛時，才能真正實現自己的最大價值。義務教育課程方案和課程標準（2022年版）簡介新課標的全名叫做《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，文件包括義務教育課程方案和16個課程標準（2022年版），不僅有語文數學等主要科目，連勞動、道德這些，也有非常詳細的課程標準。現行義務教育課程標準，是2011年制定的，離現在已經十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經二十多年沒更新過了，很多內容，確實需要根據現實情況更新。所以這次新標準的實施，首先是對老課標的一次升級完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現出，國家對未來教育改革方向的規劃。課程方案課程標準是啥？課程方案是對某一學科課程的總體設計，或者說，是對教學過程的計劃安排。簡單說，每個年級上什么課，每周上幾節，老師上課怎么講，課程方案就是依據。課程標準是規定某一學科的課程性質、課程目標、內容目標、實施建議的教學指導性文件，也就是說，它規定了，老師上課都要講什么內容。課程方案和課程標準，就像是一面旗幟，學校里所有具體的課程設計，都要朝它無限靠近。所以，這份文件的出臺，其實給學校教育定了一個總基調，決定了我們孩子成長的走向。各門課程基于培養目標，將黨的教育方針具體化細化為學生核心素養發展要求，明確本課程應著力培養的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。進一步優化了課程設置，九年一體化設計，注重幼小銜接、小學初中銜接，獨立設置勞動課程。與時俱進，更新課程內容，改進課程內容組織與呈現形式，注重學科內知識關聯、學科間關聯。結合課程內容，依據核心素養發展水平，提出學業質量標準，引導和幫助教師把握教學深度與廣度。通過增加學業要求、教學提示、評價案例等，增強了指導性。教育部將組織宣傳解讀、培訓等工作，指導地方和學校細化課程實施要求，部署教材修訂工作，啟動一批課程改革項目，推動新修訂的義務教育課程有效落實。

本教學課件是采用MicrosoftPowerPoint軟件平臺精心設計與開發的，可在Windows操作系統環境下流暢運行。作為一款現代化的多媒體教學輔助工具，本課件充分整合了多種媒體元素，包括文字、符號、圖形、圖像、動畫及聲音等，形成了一個內容豐富、形式多樣的數字化教學資源。部分內容取材于網絡，如有侵權，請聯系刪除！感悟新知2.單項式與單項式相乘的步驟：(1)確定積的系數，積的系數等于各項系數的積；(2)同底數冪相乘，底數不變，指數相加；(3)只在一個單項式里出現的字母，要連同它的指數寫在積里.知1－講感悟新知3.單項式乘單項式法則的實質是乘法交換律、乘法結合律和同底數冪的乘法法則的綜合運用.知1－講知1－練感悟新知

例1考向：利用單項式與單項式相乘的法則解決問題題型1單項式與單項式相乘的法則在計算中的應用知1－練感悟新知解題秘方：緊扣單項式乘單項式的法則，并按步驟進行計算.

知1－練感悟新知(2)(2a)3·

(-3a2b

)=［23×(-3)］·(a3·a2

)·b=-24a5b.知1－練感悟新知

(3)5a3b·(－3b)

2+

(－6ab)

2·

(－ab)－ab3·(－4a)

2=5a3b·9b2+36a2b2·

(－ab

)－ab3·16a2=45a3b3

－36a3b3

－16a3b3=－7a3b3.知1－練感悟新知解法提醒◆(1)(2)(3)可按單項式與單項式相乘的法則直接進行計算.(4)是混合運算，要注意運算順序，應先算乘方，再算乘法，最后算加減．◆單項式與單項式相乘時，要依據其法則依次運算，特別要注意積的符號，凡是在單項式里出現過的字母，在其結果里也應全都有，不能漏掉．知1－練感悟新知一頭非洲大象質量的最高記錄為7.5×103kg，則1.1×102

頭這樣的大象的質量為()A.8.25×105kg B.8.25×104kgC.7.75×104kg D.7.75×105kg例2題型2單項式與單項式相乘的法則在實際中的應用知1－練感悟新知解題秘方：利用單項式與單項式相乘的法則計算，結果要寫成科學記數法的形式.解：7.5×103×1.1×102=(7.5×1.1)×(103×102)=8.25×105

(kg).答案：A知1－練感悟新知思路用科學記數法表示的數相乘時，可以看成單項式與單項式相乘，利用單項式與單項式相乘的法則計算.感悟新知知2－講知識點單項式與多項式相乘21.單項式乘多項式法則：一般地，單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加.用字母表示為m

(

a+b+c

)

=ma+mb+mc.感悟新知知2－講2.單項式與多項式相乘的幾何解釋：如圖1.1－1，大長方形的面積可以表示為m

(

a+b+c

)，也可以視為三個小長方形的面積之和，所以大長方形的面積也可以表示為ma+mb+mc.所以m

(

a+b+c

)

=ma+mb+mc.知2－講感悟新知警示誤區1.單項式與多項式相乘，實質上是利用乘法分配律將其轉化為單項式與單項式相乘.2.單項式與多項式相乘的結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同.3.單項式與多項式相乘時，要把單項式和多項式里的每一項都相乘，不要漏乘、多乘.感悟新知知2－練

例3

解題秘方：用單項式乘多項式的法則進行計算.考向：利用單項式乘多項式法則進行計算題型1單項式乘多項式法則在簡單計算中的應用知2－練感悟新知

解：(1)(－3x

)(－2x2+1

)=(－3x)·(－2x2)+(－3x)·1=6x3－3x.知2－練感悟新知

感悟新知知2－練(1)計算：(-2ab2)2-2ab3·(ab+1)；(2)當a

取2，b

取-1時，求(1)中多項式的值.例4

解題秘方：先化簡原式，再代入求值.題型2單項式乘多項式法則在化簡求值中的應用知2－練解：(1)(-2ab2)2-2ab3·(ab+1)=4a2b4-2a2b4-2ab3=2a2b4-2ab3.(2)將a用2代入，b

用-1代入，(1)中多項式的值為2×22×(-1)4-2×2×(-1)3=8–(-4)=12.感悟新知知3－講知識點多項式與多項式相乘31.多項式乘多項式法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.用字母表示為感悟新知知3－講2.多項式與多項式相乘的幾何解釋：如圖1.1－2，大長方形的面積可以表示為(

a+b

)(

m+n

)，也可以將大長方形的面積視為4個小長方形的面積之和，即am+bm+an+bn.所以(a+b

)

(

m+n

)

=am+bm+an+bn.知3－講感悟新知特別解讀1.多項式乘多項式法則的實質是將多項式與多項式相乘轉化為幾個單項式相乘的和的形式.2.多項式與多項式相乘的結果仍為多項式，在合并同類項之前，積的項數應該是兩個多項式的項數之積.3.計算結果中一定要注意合并同類項.知3－練感悟新知考向：利用多項式乘多項式法則進行計算計算：(1)(

x

－4

)(

x+1

)；(2)(3x+2

)(2x

－3

)；(3)(x+2

)(

x2

－2x+4

)

.例3知3－練感悟新知方法?(x+a

)(x+b

)型的多項式乘法，直接用(x+a

)(x+b

)=x2+

(a+b

)x+ab計算更簡便.知3－練感悟新知解題秘方：緊扣多項式乘多項式法則，用“箭頭法”進行計算.解：(1)(x

－4)(

x+1

)=x2+x

－4x

－4=x2

－3x

－4.知3－練感悟新知(2)(3x+2

)(2x

－3

)=3x·2x+3x×

(－3

)

+2×2x+2×(－3

)

=6x2

－9x+4x

－6=6x2

－5x

－6.(3)(x+2

)(

x2

－2x+4

)

=x·x2+x·(－2x

)

+x×4+2·x2+2×

(－2x

)

+2×4=x3－2x2+4x+2x2

－4x+8=x3+8.知3－練感悟新知另解可以將x2

－2x+4看成一個整體，利用分配律計算：(x+2

)

(

x2

－2x+4

)=x

(

x2

－2x+4

)+2

(

x2

－2x+4

)=x3

－2x2+4x+2x2

－4x+8=x3+8.知3－練感悟新知教你一招：用“箭頭法”解多項式乘多項式的問題。多項式與多項式相乘，為了做到不重不漏，可以用“箭頭法”標注求解，如計算(

x－2y)

(

5a－3b)時，可進行標注：，根據箭頭指示，即可得到x·5a，x·(－3b)，(－2y)

·5a，(－2y)

·(－3b)，把各項相加，繼續計算即可.整式的乘法單項式與多項式相乘整式的乘法單項式與單項式相乘多項式與多項式相乘1.2乘法公式第一章整式的乘法逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2平方差公式完全平方公式應用乘法公式進行計算知1－講感悟新知知識點平方差公式11.平方差公式：(x+y)(x－y)

=x2－y2.即多項式x+y

與x-y

的乘積，等于多項式x2-y2.感悟新知知1－講特別解讀?公式的特征：1.等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數.2.等號右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方減去相反項的平方.3.理解字母x，y的意義，平方差公式中的x，y既可代表一個單項式，也可代表一個多項式.感悟新知2.平方差公式的推導(1)代數運算證明法：(a+b)(a–b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.知1－講感悟新知(2)幾何圖形證明法：圖1.2-1①中陰影部分的面積為a2-b2，把它分割并拼接成圖1.2-1②中的長方形，長為(a+b)，寬為(a–b)，故陰影部分的面積為(a+b)(a–b).故(a+b)(a–b)=a2-b2.知1－講感悟新知3.平方差公式的幾種常見變化形式及應用：知1－講變化形式應用舉例位置變化(b+a)(－b+a)=(a+b)(a－b)=a2－b2符號變化(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b)2－a2=b2－a2感悟新知知1－講系數變化(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2指數變化(a3+b2)(a3－b2)=(a3)2－(b2)2=a6－b4增項變化(a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2連用公式(a+b)(a－b)(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4知1－練感悟新知易錯警示1.平方差公式的右邊是平方差，不是差的平方，不要把x2-y2

與(x-y)2混淆.2.只要多項式的乘法符合公式的結構特征，就可以運用這一公式簡化計算.知1－練感悟新知

例1考向：利用平方差公式進行乘法計算題型1平方差公式在整式運算中的應用知1－練感悟新知解：(1)

(5m－3n)

(5m+3n)=

(

5m

)

2－(3n

)

2=25m2

－9n2.(2)

(－2a2+5b)

(－2a2－5b)=

(－2a2

)

2

－(

5b

)

2=4a4

－25b2.解題秘方：先確定公式中的“x”和“y”，然后根據平方差公式(x+y)(

x－y)

=x2－y2

進行計算.知1－練感悟新知

先把原式調整為(x+y

)

(x－

y)的形式，再用平方差公式進行計算.知1－練感悟新知解法提醒運用平方差公式計算的三個關鍵步驟：第1步：利用加法的交換律調整兩個二項式中項的位置，使之與公式左邊相對應，已對應的就不需調整，如(3)(4)就必須調整.第2步：找準哪個單項式或多項式分別代表公式中的“x”和“y”.第3步：套用公式計算，注意將底數帶上括號.如(1)中(5m

)2不能寫成5m2.知1－練感悟新知計算：(1)10.3×9.7；(2)2024×2026－20252.例2

解題秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式進行計算.題型2平方差公式在數的巧算中的應用知1－練感悟新知解：(1)

10.3×9.7=

(

10+0.3

)×

(

10－0.3

)=102

－0.32=100－0.09=99.91.(2)2024×2026－20252=

(

2025－1

)×

(2025+1

)－20252=20252

－1－20252=－1.知1－練感悟新知方法運用平方差公式計算兩數乘積時，關鍵是找到這兩個的平均數，再將原數與這個平均數進行比較，變成兩數的和與差的積的形式.感悟新知知2－講知識點完全平方公式21.完全平方公式：完全平方公式1：(

x+y

)

2=x2+2xy+y2.即多項式x+y的平方等于x與y的平方和加上x與y的積的2倍.完全平方公式2：(x－y)

2=x2

－2xy+y2.即多項式x-y的平方等于x與y的平方和減去x與y的積的2倍.感悟新知知2－講2.完全平方公式的推導：(1)代數運算證明法(a+b)

2=(a+b)

(a+b)

=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)

2=(a-b)

(a-b)

=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2感悟新知知2－講(2)幾何圖形證明法（數形結合思想）圖1.2-2①：大正方形的面積為(a+b)

2=

a2+b2+2ab；圖1.2-2②：左下角正方形的面積為(a-b)

2=a2+b2-2ab.感悟新知知2－講3.完全平方公式的幾種常見變形公式：(1)a2+b2=(a+b)

2

－2ab=(

a－b)

2+2ab；(2)(a+b)

2=(a－b)

2+4ab；(3)(a-b)

2=(a+b)

2

－4ab；(4)(a+b)

2+(a－b)

2=2(

a2+b2)；(5)(a+b)

2

－(a－b)

2=4ab；感悟新知知2－講

知2－講感悟新知特別解讀?1.弄清公式的特征：公式的左邊是一個二項式的平方，公式的右邊是一個三項式，包括左邊二項式的各項的平方和，另一項是這兩項的乘積的2倍.2.理解字母x，y的意義：公式中的字母x，y可以表示具體的數，也可以表示含字母的單項式或多項式.3.口訣記憶：頭平方和尾平方，頭(乘)尾兩倍在中央，中間符號照原樣.感悟新知知2－練計算：(1)(x+7y

)

2；(2)(－4a+5b

)

2；(3)(－2m

－n

)

2；(4)(2x+3y

)(－2x

－3y

)

.例3兩個二項式相乘，若有一項相同，另一項相反，則用平方差公式計算；若兩項都相同或都相反，則用完全平方公式計算.考向：利用完全平方公式進行計算題型1完全平方公式在整式運算中的應用知2－練感悟新知解：(1)原式=x2+2·x·(

7y

)

+

(

7y

)

2=x2+14xy+49y2.(2)原式=

(

5b

－4a

)

2=

(

5b

)

2

－2·(

5b

)

·(

4a

)

+

(

4a

)

2=25b2

－40ab+16a2.解題秘方：先確定公式中的“x”和“y”，再利用完全平方公式進行計算即可.知2－練感悟新知(3)原式=

(2m+n

)

2=

(

2m

)

2+2·(

2m

)

·n+n2=4m2+4mn+n2.(4)原式=－(

2x+3y

)

2=－［(

2x

)

2+2·(

2x

)

·(

3y

)

+

(

3y

)

2］=－(

4x2+12xy+9y2

)=－4x2

－12xy

－9y2.知2－練感悟新知方法?1.利用完全平方公式進行整式運算的基本步驟：(1)確定公式中的“x”和“y”；(2)確定和差關系；(3)選擇公式；(4)計算結果.2.兩個易錯點：(1)套用公式時千萬不能漏掉“2xy”

這一項；(2)兩個平方項的底數要帶上括號.感悟新知知2－練

例4解題秘方：將原數轉化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展開計算即可.題型2完全平方公式在數的巧算中的應用知2－練感悟新知

解：(1)

9992=(

1000－1)

2=10002－2×1000×1+12=1000000－2000+1=998001.知2－練感悟新知方法?利用完全平方公式進行數值運算時，主要是將底數拆成兩個數的和或差，拆分時主要有兩種形式：一是將與整十、整百或整千接近的數拆分成整十、整百或整千的數與相差的數的和或差；二是將帶分數拆分成整數與真分數的和或差.感悟新知知3－講知識點運用乘法公式進行計算和推理3遇到多項式與多項式相乘時，要先觀察式子的特征，看能否運用乘法公式.對于一些題目，雖然原題不符合公式的結構特點，不能直接運用乘法公式進行計算，但經過整理后能夠運用乘法公式.有的可以連續運用公式，有的可部分運用公式，但都能起到由繁化簡、迅速解題的作用.運用乘法公式還可以解決代數推理問題，多為數學問題.知3－講感悟新知特別解讀為了體現乘法公式的結構特征，常運用交換律和結合律進行轉化.知3－練感悟新知計算：(1)(

b

－3

)(

b2+9

)(

b+3

)；(2)(x+2y

－3

)(x

－2y+3

)；

(3)(

a+2b+c

)2.例5考向：利用乘法公式計算和推理題型1乘法公式在計算中的應用知3－講感悟新知方法?三招利用乘法公式簡化計算:1.移位置:有時交換位置，改變運算順序，可利用乘法公式簡化計算.2.整體

:有時將其中幾項看成一個整體，從而構造出特殊的結構，利用乘法公式簡化計算.3.轉化

:將較復雜的未知問題，經過變形，轉化為可輕易解決或已解決的問題.知3－練感悟新知解：(1)原式=

(b

－3

)(

b+3

)(

b2+9

)

=(b2

－9

)(

b2+9

)

=b4

－81.解題秘方：緊扣多項式之間的特征，運用移位置、整體或轉化的方法尋找乘法公式，進行計算.知3－練感悟新知(2)原式=［x+

(2y

－3

)］［x

－(

2y

－3

)］=x2

－(

2y

－3

)

2=x2

－(4y2

－12y+9

)

=x2

－4y2+12y

－9.(3)原式=［(

a+2b

)+c］2=

(

a+2b

)2+2

(

a+2b

)

c+c2=a2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2.知3－練感悟新知觀察：(2+3)2-22=7×3；(4+3)2-42=11×3.嘉嘉發現規律：比任意一個偶數大3的數與此偶數的平方差能被3整除.驗證：(1)(6+3)2-62

的結果是3的_______倍；(2)設偶數為2n，試說明比2n

大3的數與2n

的平方差能被3整除.例6題型2乘法公式在整除問題中的應用知3－講感悟新知思路

乘法公式在整除問題中的應用，關鍵在于通過公式將復雜的表達式轉化為易于判斷整除性的形式，熟練掌握各種乘法公式及其變形，并靈活運用在整除問題中是求解此類題的關鍵.知3－練感悟新知解：(1)因為(6+3)2-62=81-36=45=3×15，所以(6+3)2-62的結果是3的15倍.答案：15解題秘方：(1)計算出(6+3)2-62

的結果即可；(2)由題意得偶數為2n，比2n

大3的數為(2n+3)，再利用平方差公式計算即可.知3－練感悟新知(2)由題意得偶數為2n，比2n

大3的數為(2n+3)，所以(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3).因為4n+3為整數，所以3(4n+3)能被3整除.乘法公式應用乘法公式進行計算乘法公式平方差公式完全平方公式2.1平方根第二章實數逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2平方根及其性質算術平方根及其性質無理數算術平方根的估算知識點平方根及其性質感悟新知11.平方根的定義：如果有一個數r，使得r2=a，那么r叫作a

的一個平方根，也叫作二次方根.這就是說，若r2=a，則r

是a

的一個平方根.表示方法：正數a的平方根記作±a

，讀作“正、負根號a”.知1－練感悟新知2.平方根的性質：(1)正數有兩個平方根，且它們互為相反數；(2)0的平方根就是0本身；(3)負數沒有平方根.3.開平方：求一個非負數的平方根的運算，叫作開平方.這個非負數叫作被開方數.知1－練特別解讀1.平方根的定義中a是非負數，即a≥0.2.平方與開平方是互逆運算，平方的結果叫做冪，而開平方的結果叫做平方根.3.一般地，如果r是正數a的一個平方根，那么a的平方根有且只有兩個：r與-r.知1－練感悟新知

例1解題秘方：先根據平方運算找出平方等于這個數的數，然后根據平方根和算術平方根的定義確定.題型1利用平方根的定義求一個正數的平方根知1－練感悟新知

帶分數要先化成假分數，再求平方根.知1－練感悟新知

知1－練

知1－練感悟新知

例2

題型2利用平方根的定義解方程知1－練感悟新知

知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法利用平方根的定義解方程的一般步驟：1.移項，使含未知數的項在等號的一邊，常數項在等號的另一邊；2.系數化為1，將方程化為“x2=a”的形式；3.根據平方根的性質求出未知數x的值.知1－練感悟新知(1)若a+1和a+3是正數m

的平方根，求m的值；(2)已知2a+3的平方根是±3，5a+2b-1的平方根是±4，求3a+2b

的平方根.解題秘方：根據平方根的性質列方程（組）求解.例3題型3利用平方根的性質求字母的值知1－練解：(1)因為a+1和a+3是正數m

的平方根，且a+1≠a+3,所以a+1+a+3=0，解得a=-2.所以a+1=-1，a+3=1.因為1和-1是1的平方根，所以m=1.知1－練

知1－練解法提醒一個正數的平方根有兩個，這兩個平方根互為相反數.知1－練知識點算術平方根及其性質感悟新知2

知2－練感悟新知特別提醒●求一個正數的算術平方根與求一個正數的平方剛好是互逆的兩個運算；●任何一個數的平方都是非負數，所以求算術平方根時，被開方數必須是非負數，算術平方根也一定是非負數.▲▲知2－練感悟新知2.性質：(1)正數的算術平方根是一個正數；(2)0的算術平方根是0；(3)負數沒有算術平方根；(4)被開方數越大，對應的算術平方根也越大.知2－練感悟新知3.平方根與算術平方根的區別與聯系：平方根算術平方根區別定義不同如果有一個數r，使得r2=a，那么r

叫作a

的一個平方根，也叫作二次方根正數a

的正平方根叫作a的算術平方根個數不同一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數一個正數的算術平方根只有一個感悟新知平方根算術平方根區別表示方法不同取值范圍不同正數的平方根是一正一負正數的算術平方根一定是正數知2－練感悟新知平方根算術平方根聯系具有包含關系平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根中正的那個(0除外)存在條件相同只有非負數才有平方根和算術平方根，0的平方根與算術平方根都是0知2－練感悟新知

a(a≥0)，－a(a

＜0).知2－練感悟新知

區別運算順序先開方再求平方先求平方再開方a

的取值圍a≥0全體數聯系知2－練感悟新知

例4解題秘方：先根據平方運算找出平方等于這個數的非負數，然后根據算術平方根的定義求出算術平方根.考向：利用算術平方根的定義及性質解決問題題型1求一個數的算術平方根知2－練知識儲備1.求帶分數的算術平方根時，先將帶分數化成假分數，再求算術平方根.2.求一個數的算術平方根必須明確兩點：(1)這個數是非負數；(2)求出的算術平方根（結果）必須是非負數.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知(6)0的算術平方根是0，即0=0.

不要誤認為是求81的算術平方根.知2－練

知2－練精心制作

必出良品樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上。“蹲下身子和學生說話，走下講臺給學生講課”;關心學生情感體驗，讓學生感受到被關懷的溫暖;自覺接受學生的評價，努力做學生喜歡的老師。教師要學會寬容，寬容學生的錯誤和過失，寬容學生一時沒有取得很大的進步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強烈。每當想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己職責的神圣和一言一行的重要。善待每一個學生，做學生喜歡的老師，師生雙方才會有愉快的情感體驗。一個教師，只有當他受到學生喜愛時，才能真正實現自己的最大價值。義務教育課程方案和課程標準（2022年版）簡介新課標的全名叫做《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，文件包括義務教育課程方案和16個課程標準（2022年版），不僅有語文數學等主要科目，連勞動、道德這些，也有非常詳細的課程標準。現行義務教育課程標準，是2011年制定的，離現在已經十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經二十多年沒更新過了，很多內容，確實需要根據現實情況更新。所以這次新標準的實施，首先是對老課標的一次升級完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現出，國家對未來教育改革方向的規劃。課程方案課程標準是啥？課程方案是對某一學科課程的總體設計，或者說，是對教學過程的計劃安排。簡單說，每個年級上什么課，每周上幾節，老師上課怎么講，課程方案就是依據。課程標準是規定某一學科的課程性質、課程目標、內容目標、實施建議的教學指導性文件，也就是說，它規定了，老師上課都要講什么內容。課程方案和課程標準，就像是一面旗幟，學校里所有具體的課程設計，都要朝它無限靠近。所以，這份文件的出臺，其實給學校教育定了一個總基調，決定了我們孩子成長的走向。各門課程基于培養目標，將黨的教育方針具體化細化為學生核心素養發展要求，明確本課程應著力培養的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。進一步優化了課程設置，九年一體化設計，注重幼小銜接、小學初中銜接，獨立設置勞動課程。與時俱進，更新課程內容，改進課程內容組織與呈現形式，注重學科內知識關聯、學科間關聯。結合課程內容，依據核心素養發展水平，提出學業質量標準，引導和幫助教師把握教學深度與廣度。通過增加學業要求、教學提示、評價案例等，增強了指導性。教育部將組織宣傳解讀、培訓等工作，指導地方和學校細化課程實施要求，部署教材修訂工作，啟動一批課程改革項目，推動新修訂的義務教育課程有效落實。

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的值，最后根據算術平方根的定義得出結果.知2－練感悟新知已知m-3的算術平方根是3，n+1=2，求m-n

的算術平方根.解題秘方：根據已知條件求出m，n

的值，然后求m-n

的算術平方根.例5題型2已知一個數的算術平方根求這個數知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

解題秘方：首先觀察式子的結構特點，弄清式子所表示的意義，即要明確是求算術平方根還是求平方根，然后根據算術平方根或平方根的定義求解.例6題型3利用平方根或算術平方根的定義求值知2－練

知2－練

知2－練

412-402

是一個整體，首先要將412-402

化簡，再去計算化簡后結果的算術平方根.知2－練知識點無理數感悟新知31.定義：若一個數是一個無限不循環小數或可以表示成一個無限不循環小數，則把這個數叫作無理數.判斷標準：小數位數無限，小數部分的數字不循環.知3－練感悟新知

知3－練

知3－練3.無理數與有理數的區別(1)有理數是有限小數或無限循環小數，而無理數是無限不循環小數；(2)所有的有理數都可以寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數不能寫成分數的形式.知3－練感悟新知

解題秘方：根據無理數的定義進行辨析.例7考向：利用無理數的定義識別無理數知3－練感悟新知

知3－練感悟新知由于0.1212212221…（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）是無限不循環小數，因此0.1212212221…（相鄰兩個1之間2的個數逐次加1）是無理數.因此無理數有3個.答案：3知3－練知識點算術平方根的估算感悟新知41.求一個正數(非平方數)的算術平方根的近似值，一般采用夾逼法.“夾”就是從兩邊確定取值范圍；“逼”就是一點一點加強限制，使其所處范圍越來越小，從而達到理想的精確程度.???知4－練感悟新知2.大多數計算器都有鍵，用它可以求出一個正有理數的算術平方根(或其近似值).按鍵順序：先按鍵，再輸入被開方數，最后按

鍵.計算器上就會顯示這個數的算術平方根(或其近似值).知4－練感悟新知特別解讀計算器顯示屏顯示的數值中，許多都是近似值.知4－練感悟新知

例8解題秘方：找出與2026接近的兩個平方數，從而確定2026的算術平方根的取值范圍.考向：利用估算解決算術平方根問題題型1利用估算法求算術平方根的取值范圍知4－練感悟新知

答案：D知4－練教你一招確定a的整數部分的方法：根據算術平方根的定義，有m2<a<n2,其中m，n是連續的非負整數，則m<a<n，則a

的整數部分為m.知4－練感悟新知

例9題型2利用計算器探究算術平方根的規律解題秘方：可利用計算器求出各個算術平方根，對照根號內的數和算術平方根尋找小數點移動的規律.知4－練感悟新知知4－練解：利用計算器探究發現：根號內的數的小數點每向左（或向右）移動兩位，其算術平方根的小數點就相應地向左（或向右）移動一位.答案：(1)0.2676；26.76(2)0.8462；84.62平方根平方根算術平方根性質正數有兩個互為相反數的平方根0的平方根是0負數沒有平方根2.2立方根第二章實數逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2立方根立方根的性質用計算器求一個數的立方根知識點立方根知1－講感悟新知11.定義：如果有一個數b，使得b3=a，那么b

叫作a

的一個立方根，也叫作三次方根.表示方法：a的立方根記作a

3

，讀作“立方根號a”或“三次根號a”..知1－講感悟新知

??????感悟新知知1－練

例1解題秘方：利用立方根的定義求解.

考向：利用立方根的定義解題題型1利用立方根的定義求立方根感悟新知知1－練

先化成假分數，再求立方根.

知1－練特別解讀：開立方與立方互為逆運算，根據這種關系，可以求一個數的立方根.感悟新知感悟新知知1－練[月考·衡陽蒸湘區]已知5a+2的立方根是3，3a+b-1的算術平方根是4，求ab

的平方根.解題秘方：一個數等于它的算術平方根的平方，一個數等于它的立方根的立方.例2題型2利用立方根的定義求值感悟新知知1－練

思路：根據立方根和算術平方根的定義列出關于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，再根據平方根的定義求出ab

的平方根．感悟新知知識點立方根的性質知2－講感悟新知2

???

??知2－講感悟新知2.平方根與立方根的比較：平方根立方根區別定義如果有一個數r，使得r2=a，那么r

叫作a

的一個平方根，也叫作二次方根如果有一個數b，使得b3=a，那么b

叫作a

的一個立方根，也叫作三次方根性質正數有兩個平方根，它們互為相反數正數有一個立方根，仍為正數負數沒有平方根負數有一個立方根，仍為負數知2－講感悟新知平方根立方根區別表示方法聯系①開平方與開立方都與相應的乘方運算互為逆運算②0的平方根和立方根都是0感悟新知知2－練

例3考向：利用立方根的性質解題題型1利用立方根的性質計算感悟新知知2－練

解題秘方：根據立方根的性質進行化簡計算.

先化成假分數，再開平方.感悟新知知2－練解法提醒進行開平方或開立方運算時，若根號內不是單獨的一個數，則需先化簡，再進行運算.感悟新知知2－練

解題秘方：根據兩個數的立方根互為相反數，則這兩個數互為相反數求解.例4題型2利用立方根的性質求字母的值感悟新知知2－練

感悟新知知2－練知識儲備正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.互為相反數的兩個數的立方根互為相反數.知識點用計算器求一個數的立方根知3－講感悟新知3用計算器可以求一個數的立方根或它的近似值，按鍵順序為先按鍵，再按數字鍵，最后按

鍵，根據顯示結果寫出立方根或它的近似值.知3－講感悟新知特別警示不同型號的計算器按鍵的順序可能不同，使用計算器時，一定要按說明書操作.感悟新知知3－練[母題教材P36例2、例3]用計算器求下列各數的立方根：(1)216；(2)100(結果精確到0.01)；(3)-13.27

(結果精確到0.001).解題秘方：根據用計算器求立方根的步驟進行按鍵操作.例5考向：利用計算器求立方根題型1利用計算器求立方根感悟新知知3－練

知3－練

感悟新知感悟新知知3－練解法提醒利用互為相反數的兩個數的立方根互為相反數這一關系，可以在求一個負數的立方根時，用計算器先求這個負數的絕對值的立方根，再在這個負數的絕對值的立方根前面加負號，從而得這個負數的立方根.感悟新知知3－練

解題秘方：可以用計算器求出各個數的近似值進行比較，也可以借助中間值進行比較，還可以用立方法進行比較，根據實際情況采用適當的方法即可.例6題型2用適當的方法比較大小感悟新知知3－練

感悟新知知3－練

立方根立方根定義性質正數的立方根是正數0的立方根是0負數的立方根是負數2.3實數第二章實數逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2實數實數與數軸實數的性質實數的運算知識點實數知1－講感悟新知11.定義：有理數和無理數統稱實數.在實數范圍內，一個數不是有理數，那么它一定是無理數，反之亦成立.感悟新知2.分類：(1)按定義分類：有限小數或無限循環小數.無限不循環小數.知1－講感悟新知(2)按性質分類：0既不是正實數，也不是負實數.知1－講感悟新知特別解讀1.實數的分類有不同的方法，但不論用哪一種分類的方法，都要按同一標準，做到不重復不遺漏.2.對實數進行分類時，應先對某些數進行計算或化簡，然后根據最后結果進行分類.不能看到帶根號的數，就認為是無理數，也不能看到有分數線的數，就認為是有理數.知1－講感悟新知

例1考向：利用實數中各類數的特征進行分類知1－講感悟新知有理數：{…}；無理數：{…}；分數：{…}；負實數：{…}.

知1－講感悟新知解：有理數：{③④⑤⑦⑧…}；無理數：{①②⑥⑨⑩…}；分數：{③⑦⑧…}；負實數：{②⑤⑥⑧⑩…}.知1－講解法提醒判斷一個實數的類別（如有理數、無理數）應遵循：一化簡，二辨析，三判斷.所有的有理數都可以化成有限小數或無限循環小數，而無理數只能化成無限不循環小數．知1－講知識點實數與數軸感悟新知21.實數與數軸上的點的關系：實數和數軸上的點一一對應.?????特別提醒1.在數軸上表示無理數時，一般只能通過估算標出其對應點的大致位置.2.借助數軸上的點可以把實數直觀地表示出來，數軸上的任意一點表示的數，不是有理數就是無理數.知2－講感悟新知(1)“一一對應”包含著兩層含義：①每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；②數軸上的每一個點都表示一個實數.(2)數軸上兩點間的距離可用兩點所表示的實數來表示.即若點A，點B

在數軸上表示的數為x1，x2，則AB=|x1－x2|.知2－講感悟新知2.利用數軸比較實數的大小：對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大.?????知2－講感悟新知

解題秘方：比較一組實數的大小和比較一組有理數的大小一樣，可先將這些數在數軸上表示出來，然后根據“在數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大”進行比較.例2考向：利用數軸比較實數的大小知2－講感悟新知解：將表示各數的點的大致位置在數軸上表示出來，如圖2.3-1所示.

知2－講方法根據“實數和數軸上的點一一對應”，并且“在數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大”，我們可以利用數形結合思想比較實數的大小.知2－講感悟新知知識點實數的性質感悟新知3

知3－講感悟新知

知3－講特別提醒1.在有理數范圍內的一些基本概念(如相反數、倒數、絕對值)和性質在實數范圍內依然適用.2.對實數的有關概念進行辨析時，錯誤的說法只需舉一個反例即可.感悟新知知3－講感悟新知

解題秘方：利用實數的性質求相反數、倒數和絕對值.例3考向：利用實數的性質解決相關問題知3－講感悟新知

感悟新知特別提醒1.求一個數的相反數，就是在這個數前面添上“-”.2.求一個數的絕對值時，首先要判斷所求數的符號，然后根據“正數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值等于0”寫出這個數的絕對值.知3－講知識點實數的運算感悟新知41.在實數范圍內，進行加、減、乘、除、乘方和開方運算時，有理數的運算法則和運算律仍然適用；實數混合運算的運算順序與有理數混合運算的運算順序一樣，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，同級運算按照自左向右的順序進行，有括號先算括號里面的.知4－講感悟新知2.實數的運算律：(1)加法交換律：a＋b=b＋a；(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)；(3)乘法交換律：ab=ba；(4)乘法結合律：(ab)c=a(bc)；(5)乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ab+ac；知4－講感悟新知

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知4－講感悟新知4.實數也可以比較大小，對于實數a，b：若a-b>0，則稱a大于b(或者b

小于a)，記作a>b

(或b<a)

；若a-b<0，則稱a

小于b(或者b大于a)，記作a<b(或b>a)；若a-b=0，則稱a等于b，記作a=b.知4－講感悟新知要注意的是，對于任何實數a，b，在a>b，a=b，a<b

這三種關系中，有且只有一種成立，對于實數有：正實數大于一切負實數；兩個負實數，絕對值大的數反而小；數軸上右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大.知4－講感悟新知

知4－講感悟新知特別提醒有理數的運算律在實數范圍內仍然適用，在進行實數運算的過程中，要做到：一“看”——看算式的結構特點，能否運用運算律或公式；二“用”——運用運算律或公式；三“查”——檢查過程和結果是否正確.▲▲▲▲▲▲知4－講感悟新知考向：利用實數的運算法則及運算律進行計算題型1實數大小的比較解題秘方：先求出這兩個數的差，再與0比較大小.例4

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知4－講方法實數大小比較的方法：（1）估算法；（2）作差法；（3）分析法；（4）平方法；（5）開方法；（6）特殊值法；（7）作商法.知4－講感悟新知題型2實數的估算

例5

知5－講感悟新知知5－練

答案：B思路先根據平方根和立方根估算出a，b的范圍，再確定a，b的最小整數值，即可解答.知5－講感悟新知題型3實數的運算解題秘方：在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算律同樣適用.例6

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知5－講特別提醒實數的運算順序和有理數的運算順序相同.實數運算中無理數可取近似值轉化為有理數參與計算，中間結果所取的近似值要比結果要求的近似值多一位小數.知5－講實數實數有理數數軸性質運算定義無理數3.1不等式第三章一元一次不等式(組)逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2不等式的概念列不等式知識點不等式知1－講感悟新知11.定義：用不等號(>，<，≥，≤)連接而成的式子叫作不等式.特別提醒●判斷一個式子是否為不等式，關鍵是看所給式子是否含不等號；●不等號具有方向性，不等號兩邊的數(或式子)不能隨意交換.▲▲▲▲▲▲▲▲▲知1－講感悟新知2.基本的表達形式：(1)常見的不等號：符號名稱實際意義讀法舉例<小于號