2.1電荷及電荷守恒定律2.2電流及電流連續性方程2.3庫侖定律與電場強度2.4電通量密度和高斯定理2.5歐姆定律和焦耳定律的微分形式2.6電介質中的電場及電位移矢量2.7畢奧薩伐定律及磁感應強度2.1電荷及電荷守恒定律2.1.1電荷及電荷密度自然界中存在正電荷和負電荷?任何物體所帶的電荷量總是以電子或質子電荷量的整數倍出現的?電子帶負電荷，質子帶正電荷，因此電荷量是不連續的，即電荷在空間的分布是離散的?但從宏觀電磁學觀點看，大量帶電粒子密集出現在某個空間體積內時，電荷量可以視為連續分布?根據電荷分布的特點，常用體電荷密度?面電荷密度和線電荷密度來描述電荷的空間分布?1.體電荷密度體電荷密度定義為單位體積中的電荷量，即體電荷密度的單位為庫侖每立方米(C/m3)?式中ΔV→0，物理上理解為宏觀上它足夠小，小到能夠反映空間電荷密度分布的不均勻性?不難得到，有限區域V內的總電荷量q為2.面電荷密度實際應用中常會遇到電荷分布在某一個幾何曲面上，此時可用面電荷密度表示?面電荷密度定義為單位面積上的電荷量，即3.線電荷密度線電荷密度定義為單位長度中的電荷量，即當已知面電荷和線電荷密度分布后，任意曲面或曲線上的電荷總量就可用相應的面積分或線積分來表示?在實際應用中經常用到點電荷的概念，點電荷可以理解為一個體積很小而密度很大的帶電球體的極限，可用電荷體積分布的概念來衡量?2.1.2電荷守恒定律實驗表明，一個孤立系統的電荷總量是保持不變的，即在任何時刻，不論發生什么變化，系統中的正電荷與負電荷的代數和保持不變?這就是電磁現象中基本規律之一的電荷守恒定律?定律表明，如果孤立系統中某處在一個物理過程中產生或消滅了某種符號的電荷，那么必有等量的異種電荷伴隨產生或消滅;如果孤立系統中電荷總量增加或減少，那么必有等量的電荷進入或離開該孤立系統?2.2電流及電流連續性方程2.2.1電流及電流密度電流是電荷定向運動產生的，其強弱可以用電流強度來描述，即單位時間內通過導體任一橫截面的電荷量，數學表達式為若電荷運動的速度不隨時間變化，則形成的電流也不隨時間變化，稱為恒定電流，所以恒定電流的電流強度定義為1.體電流密度在通常情況下，電路中的電流只考慮某段導線中的總電流(體電流)?但在某些情況下，導體內部空間不同位置上單位時間內流過單位橫截面的電荷量可能不同，甚至其流動的方向也不同?為此，特引入電流密度矢量J來描述電流在空間的分布情況，它表示導體中某點的電流特性，即電流的分布特性?空間任一點的電流密度矢量J的方向為該點處正電荷的運動方向，其大小等于通過在該點垂直于J的單位面積的電流強度，如圖2.2.1(a)所示，即如果所取的面積元的法線方向與電流方向不平行，而成任意角θ，如圖2.2.1(b)所示，則通過該面積的電流為故通過導體中任意橫截面S的電流強度與電流密度矢量的關系是2.面電流密度假如電荷只在導體表面一個小薄層內流動，為了方便分析，經常忽略薄層的厚度，認為電荷在一個幾何曲面上流動，從而形成面電流?通常用面電流密度Js來描述面電流的分布情況，如圖2.2.2所示，即Js在某點的方向為該點電流的流動方向，大小為單位時間內垂直通過包括該點的單位長度的電量?面電流密度的單位為安培每米(A/m)?3.線電流密度電荷沿橫截面可以忽略的曲線流動所形成的電流稱為線電流?長度元為dl的電流Idl稱為電流元，若電荷以速度v運動，則2.2.2電流連續性方程由電荷守恒定律可知，電荷既不能被創造，也不能被消滅，電荷是守恒的?它只能從一個物體轉移到另一個物體，或從一個地方轉移到另一個地方?一個物體帶電量為零只說明它所攜帶的正?負電荷的電荷量相等?物體的帶電過程實質上是電荷的遷移過程?在導電區域內任取一個閉合面S，設閉合面S包圍的區域內體電荷密度為ρ，穿出曲面的電流可用體電流密度J來描述，則流出閉合面S的總電流為根據電荷守恒定律，單位時間內由閉合面S流出的電荷應等于單位時間內閉合面S內電荷的減少量，故有式中，Q為t時刻閉合面S內包圍的總電荷量，即從而有式(2.2.11)稱為電流連續性方程的積分形式，是電荷守恒定律的數學表述?它表明區域內電荷的任何變化都必然伴隨著穿越區域表面的電荷流動，也說明了電荷既不能憑空產生，也不能憑空消失，只能轉移?利用散度定理可將式(2.2.11)左邊的閉合面積分轉換為體積分，即上式對任意選擇的體積均成立，故有式(2.2.13)稱為電流連續性方程的微分形式?在恒定電場中，激發電場的源是恒定的電流，導體內部電荷保持恒定，即不隨時間變化，故dQ/dt=0，所以有式(2.2.14)稱為恒定電流連續性方程的積分形式?同理，恒定電流連續性方程的微分形式為式(2.2.15)說明恒定電流激發的恒定電場是一個無散場(或稱管型場)?如果收縮閉合面S成一個點(即包含幾個導線分支的節點)，則式(2.2.14)可解釋為這就是電路理論中的基爾霍夫電流定律，即在任意時刻流入一個節點的電流的代數和為零?2.3庫侖定律與電場強度2.3.1庫侖定律庫侖定律是1784年至1785年間法國物理學家庫侖通過扭秤實驗總結出來的，是關于一個帶電粒子與另一個帶電粒子之間作用力的定量描述，闡明了帶電體相互作用的規律?庫侖定律可表述為:真空中任意兩個靜止點電荷q1和q2之間作用力的大小與兩個電荷的電荷量成正比，與兩個電荷距離的平方成反比;作用力的方向沿兩個電荷的連線方向，同性電荷相斥，異性電荷相吸，如圖2.3.1所示?其數學表達式為2.3.2電場強度庫侖定律表明，即使電荷相距很遠，一個電荷也要對另一個電荷施加作用力，即任何電荷在其所處空間內都能激發出電場?人們正是通過電場中電荷受力的特性認識和研究電場的，電荷之間的作用力是通過電場來傳遞和施加的?電場對電荷的作用力大小及方向可用電場強度矢量來描述?靜止的電荷會在其周圍空間激發出靜電場，場內某點處一個靜止的試驗電荷q受到的靜電場力為F，則該點的電場強度定義為即單位試驗電荷受到的電場力?q→0的意義是試驗電荷的引入不至于影響空間電場的分布,或者說試驗電荷本身產生的電場可忽略不計?由庫侖定律可得真空中靜止點電荷q激發的電場強度為如果電荷在某空間以體密度ρ連續分布,則在空間任意點產生的電場強度為如果電荷在某空間以體密度ρ連續分布,則在空間任意點產生的電場強度為2.3.3電位函數如果在電場強度為E的電場中放置一個試驗電荷q,則在該電荷上將作用一個電場力F,電場力將使電荷q移動一段距離dl,電荷移動過程中電場力會做功,即如圖2.3.2所示,當電荷q沿電場中任意一個閉合路徑l移動一周時,電場力所做的功為對單位正電荷,做功為所以可見,電荷從場中的點a移到點c,不論經過何種路徑,電場力所做的功都相等,即與路徑無關?所以靜電場是保守場,又稱位場,可用位函數來描述?式(2.3.9)表示把單位正電荷從電場中的點a移到點c電場力所做的功,又稱為從點a到點c的電位差其中,φa和φc分別為標量場中點a和點c相對于某一個參考點的電位值?即設m為參考點,令其電位為零,則場中任意一點a的電位可寫為在電場中,將電位相等的各點連接起來構成曲線或曲面,將這些線或面稱為等位線或等位面?等位線或等位面不相交,電荷在其上移動時,電場力不做功?2.4電通量密度和高斯定理2.4.1電通量密度電場強度是描述電場強弱的矢量?相同的電荷源在不同媒質中激發的電場強度不同,也就是說,電場強度是一個與媒質有關的場量?為分析方便,這里引入另一個描述電場的基本量,即電通量密度D?在簡單媒質中,電通量密度定義為對真空中的點電荷q激發的電場,電通量密度為可見,電通量密度與媒質的介電常數無關,僅與電荷?距離有關?實際上,對于簡單媒質中的點電荷,式(2.4.2)均成立而不管其介電常數如何,這正是引入電通量密度的一個方便之處?電通量密度又稱為電位移矢量?2.4.2高斯定理高斯定理把穿過一個封閉面的電通量與這個封閉面內的點電荷聯系起來?如果封閉面內有一點電荷q,且此封閉面就是以點電荷為球心的球面,則球面上各點的電通量密度是相等的,其方向就是球面上任意面元的外法線方向,因而電通量為可見,電通量僅取決于點電荷的電荷量q,而與球的半徑無關?當所取封閉面為非球面時,可利用立體角的概念得出穿過它的電通量仍為q?如果在封閉面內有若干個電荷,則穿出封閉面的電通量等于此面所包圍的總電荷量Q,即進行積分的面稱為高斯面?式(2.4.4)即為高斯定理的積分形式,即穿過任意封閉面的電通量等于封閉面所包圍的自由電荷總電量?對于簡單的電荷分布,可方便地利用此關系來求出電通量密度?高斯定理也可用真空中的電場強度表示為若封閉面所包圍的體積內的電荷以體密度ρ分布,則式(2.4.4)可寫為應用散度定理,式(2.4.6)可寫為上式對任意封閉面所包圍的體積都成立,因此等式兩邊被積函數必定相等,于是有式(2.4.8)是高斯定理的微分形式,即空間任意點電通量密度的散度等于該點自由電荷的體密度,這是靜電場的一個基本方程?公式說明,空間任意存在正電荷密度的點都發出電力線;有負的電荷密度時,則有電力線流向該點?電荷是電通量的源,也是電場的源?2.5

歐姆定律和焦耳定律的微分形式2.5.1歐姆定律的微分形式實驗表明,當導體溫度恒定不變時,導體兩端的電壓與通過這段導體的電流成正比,這就是歐姆定律,即若設l為導體長度,S為導體橫截面積,γ為導體的電導率(由導體的材料決定,單位為1/(Ω·m)=S/m),則計算電阻的表達式為

或實驗表明,通常情況下的金屬導體非常準確地遵從歐姆定律,只有在電流密度達到1010A/m2數量級時,才有1%的偏差,所以在電流密度小于1010A/m2的金屬導體中可認為U和I之間是線性關系?由計算電阻的表達式可導出歐姆定律的微分形式?如圖2.5.1所示,在電導率為γ的導體內沿電流方向取一個微小的圓柱形體積元,其長度為Δl,橫截面積為ΔS,則圓柱體兩端面之間的電阻為R=Δl/(γΔS),通過截面ΔS的電流ΔI=J·ΔS?

由于圓柱體兩端間的電壓可由電場強度表示為ΔU=E·Δl,則由式(2.5.1)得整理得式(2.5.5)就是歐姆定律的微分形式,描述了導體每一點上的導電規律,它表明通過導體中任意一點的體電流密度矢量與電場強度成正比,且兩者方向相同,大小等于該點的電場強度矢量與導體電導率的乘積?2.5.2電阻工程上經常需要計算兩個電極之間填充的導電媒質的電阻?在導電媒質中,電流從一個電極流向另一個電極,兩個電極之間導電媒質中的電流I與兩極間的電壓U比值稱為導電媒質的電導G,即電導的單位是西門子(S),其倒數即為電阻R,即由歐姆定律可知,電阻值由導電媒質的材料和結構確定?對于形狀較為規則的導電媒質,可按下列步驟計算電阻:假設導電媒質兩極間通過的電流為I,求出體電流密度J;利用J=γE求電場強度E;求兩極間的電位差U,利用R=1/G=U/I求電阻R?2.5.3焦耳定律的微分形式在金屬導體中,自由電子在電場力作用下的定向運動形成電流?在這個運動中電場力不斷地對自由電子做功,自由電子獲得能量?當電子與金屬晶格點陣上原子碰撞時,此能量轉變為焦耳熱,所以導體也稱導電媒質?設導電媒質中通有電流I,其兩端的電壓為U,則單位時間內電場對電荷所做的功(即功率)是在導電媒質中仍以一個微小的圓柱體積元來推導焦耳定律的微分形式?在電場中體積元的體積為ΔV=ΔSΔl,它的熱損耗功率是ΔP=ΔUΔI=EΔl·JΔS=EJΔV,當所取體積元的體積ΔV趨近于零時,ΔP/ΔV的極限就是導體中任意一點的熱功率密度,它是單位時間內電流在導體任意一點的單位體積中所產生的熱量,單位是W/m3,其數學表達式為也可表示為式(2.5.10)是焦耳定律的微分形式,在恒定電流和時變電流的情況下都成立?它表明由電場提供的單位體積的功率是電場強度和體電流密度的點積?2.6

電介質中的電場及電位移矢量2.6.1電介質的極化1.極化強度電介質的分子一般有兩種類型:一種分子的正?負電荷作用中心是重合的,沒有電偶極矩,稱為無極分子;另一種分子的正?負電荷中心不重合,形成固有的電偶極矩,稱為有極分子?當無外加電場時,分子做無規則熱運動,宏觀上呈現電中性?在宏觀電場的作用下,無極分子正?負電荷的中心相對位移形成電偶極矩,而有極分子固有電偶極矩的取向將趨向與電場方向一致,這種現象稱為電介質的極化?總之,不論無極性介質還是有極性介質,在外電場作用下,分子內部的束縛電荷都將形成電偶極子,對外呈現帶電現象(如圖2.6.1所示),使介質中的場強為場源電荷(或稱自由電荷)與介質中的束縛電荷產生的場強相疊加,因而改變了原來的電場分布?所以,可以認為電介質對電場的影響歸結為束縛電荷產生的影響,在計算電場時,如果考慮了電介質表面和體內的束縛電荷,原來的電介質所占的空間可視為真空,而束縛電荷所產生的電場賦有抵消作用,使得總合成電場減弱?束縛電荷產生的電場是極化后的電介質內部所有電偶極子的宏觀效應?為了分析介質極化的宏觀效應,描述介質的極化程度,引入極化強度矢量P,它定義為單位體積內的電偶極矩的矢量和,即由式(2.6.1)可見,極化強度P是電偶極矩的體密度,單位為庫侖每平方米(C/m2)?2.極化電荷在介質沒有極化的條件下,由于無規則運動,不會出現宏觀的電荷分布?在介質產生極化之后,由于電偶極矩的有序排列,導致介質表面和內部可能出現極化電荷分布,如果外加電場隨時間變化,則極化強度矢量P和極化電荷也隨時間變化,并在一定范圍內發生運動,從而形成極化電流?這種由極化引起的宏觀電荷稱為極化電荷?介質中的極化電荷不能離開分子移動,所以又稱為束縛電荷?極化電荷的分布用極化電荷密度ρ或極化電荷面密度σ來表示?在極化介質中,設每一個分子的正負電荷間的平均相對位移為l,則分子電偶極矩p=ql?在曲面S上任取一個面元dS,計算從它穿出去的電荷?為方便計算,假定極化過程中負電荷不動,而正電荷有一位移l?顯然,處于體積元l·dS中的正電荷將從面元dS穿出?設單位體積中的分子數為n,則穿過面元dS的電荷量為所以閉合曲面S穿出體積的正電荷量為

?由電中性可知,留在閉合曲面S內的極化電荷量為由此可得介質體內的電荷體密度為式(2.6.4)表示介質內一點的束縛體電荷密度等于這點上極化強度散度的負值,反映了介質內部某點的極化電荷分布與極化強度之間的關系?現在計算極化電荷面密度σp?在介質體內緊貼表面取一個閉曲面,從這個閉曲面上穿出的極化電荷是電介質表面上的極化面電荷?由式(2.6.2)可知,從面元dS上穿出的極化電荷量Δqp=P·dS=P·ndS,故極化電荷面密度為該式表示介質表面上一點的束縛面電荷密度等于該點的極化強度在面元外法線方向上的分量,反映了極化電荷面密度與極化強度的關系?2.6.2電位移矢量當介質在外加電場E0的作用下極化時,因為有極化電荷產生,所以在空間中會產生附加電場E′?此附加電場有減弱電介質極化的趨勢,常稱為退極化場?這時空間中的電場應為外加電場與附加電場的合成場,即實驗表明,在均勻?線性和各向同性的電介質中,極化強度矢量P與電介質中的合成電場強度成正比,它們的關系是在分析電介質中的電場時,引入一個輔助矢量D,其定義為矢量D稱為電位移矢量,單位為庫侖每平方米(C/m2)?對于線性?各向同性的電介質,將式(2.6.7)代入式(2.6.8)得式中:ε=ε0εr,稱為電