PAGE1-3.1.1函數的平均變更率學習目標核心素養1.了解導數概念的實際背景，理解平均變更率和瞬時速度．(易混點)2.會求函數f(x)在x＝x0處的導數f′(x)．(重點)3.會利用導數的定義求函數在f(x)的導函數f′(x)．(難點)1.由實際背景變更率到導數的概念，培育學生的數學抽象素養.2.通過利用定義求函數在某點處導數的學習提升學生的數學運算素養.1．函數的平均變更率函數y＝f(x)從x1到x2的平均變更率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)實質：函數值的增量與自變量的增量之比．(3)作用：刻畫函數值在區間[x1，x2]上變更的快慢．(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．思索1：視察函數y＝f(x)的圖象，平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示什么？[提示]eq\f(Δy,Δx)表示曲線y＝f(x)上兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率．2．瞬時變更率(1)物體運動的瞬時速度設物體運動的路程與時間的關系是s＝f(t)，當t0到t0＋Δt時，當Δt趨近于0時，函數f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變更率為eq\f(ft0＋Δt－ft0,Δt)趨近于常數，這個常數稱為t0時刻的瞬時速度．(2)函數的瞬時變更率設函數y＝f(x)在x0旁邊有定義，當自變量在x＝x0旁邊變更Δx時，函數值相應地變更Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，假如當Δx趨近于0時，平均變更率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趨近于一個常數l，則常數l稱為函數f(x)在點x0處的瞬時變更率．3．函數在某一點處的導數與導函數(1)函數f(x)在x＝x0處的導數函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變更率稱為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|eq\s\do5(x＝x0)，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)導函數定義假如f(x)在開區間(a，b)內每一點x導數都存在，則稱f(x)在區間(a，b)可導，這樣，對開區間(a，b)內每個值x，都對應一個確定的導數f(x)，于是在區間(a，b)內f′(x)構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數y＝f(x)的導函數．記為f′(x)(或y′x、y′)．(3)函數y＝f(x)在點x0處的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在點x＝x0處的函數值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.思索2：f′(x0)與f′(x)表示的意義一樣嗎？[提示]f′(x0)表示f(x)在x＝x0處的導數，是一個確定的值．f′(x)是f(x)的導函數，它是一個函數．f′(x0)是導函數f′(x)在x＝x0處的函數值．1．已知函數f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44B[由Δy＝f(Δx＋2)－f(2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知選B.]2．已知函數f(x)＝2x2－4的圖象上一點(1，－2)及鄰近一點(1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2C[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2,Δx)＝4＋2Δx.]3．質點按規律s(t)＝at＋1運動，若t＝2時刻的瞬時速度為eq\f(1,2)，則a的值為________．eq\f(1,2)[eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝a＝eq\f(1,2)]函數的平均變更率【例1】(1)已知函數f(x)＝2x2＋3x－5.①求：當x1＝4，x2＝5時，函數增量Δy和平均變更率eq\f(Δy,Δx)；②求：當x1＝4，x2＝4.1時，函數增量Δy和平均變更率eq\f(Δy,Δx).(2)求函數y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3旁邊的平均變更率，取Δx都為eq\f(1,3)，哪一點旁邊的平均變更率最大？[解](1)因為f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2xeq\o\al(2,1)＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋4x1＋3Δx,Δx)＝2Δx＋4x1＋3.①當x1＝4，x2＝5時，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，eq\f(Δy,Δx)＝21.②當x1＝4，x2＝4.1時，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.(2)在x＝1旁邊的平均變更率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2旁邊的平均變更率為k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3旁邊的平均變更率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.當Δx＝eq\f(1,3)時，k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1<k2<k3，所以在x＝3旁邊的平均變更率最大．求平均變更率的主要步驟1先計算函數值的變更量Δy＝fx2－fx1；2再計算自變量的變更量Δx＝x2－x1；3得平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).1．(1)已知函數f(x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點A(－1，－6)及鄰近一點B(－1＋Δx，－6＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)＝________.(2)如圖所示是函數y＝f(x)的圖象，則函數f(x)在區間[－1,1]上的平均變更率為________；函數f(x)在區間[0,2]上的平均變更率為________．(1)Δx(2)eq\f(1,2)eq\f(3,4)[(1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\f(－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6,Δx)＝Δx.(2)函數f(x)在區間[－1,1]上的平均變更率為eq\f(f1－f－1,1－－1)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).由函數f(x)的圖象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1＜x≤3.))所以函數f(x)在區間[0,2]上的平均變更率為eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).]導數的定義及求函數在某點處的導數【例2】(1)若eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k，則eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)等于()A．2kB．kC．eq\f(1,2)kD．以上都不是(2)求函數y＝eq\r(x)在x＝1處的導數．[思路探究](1)嚴格根據導數定義推導求解．(2)(1)A[∵eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k，∴eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)))，＝2eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2k.](2)法一：(定義法)Δy＝eq\r(1＋Δx)－1，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，∴當Δx無限趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)趨近于eq\f(1,2)，即y＝eq\r(x)在x＝1處的導數是eq\f(1,2).∴y′|x＝1＝eq\f(1,2).法二：(求導函數的函數值法)Δy＝eq\r(x＋Δx)－eq\r(x)＝eq\f(Δx,\r(x＋Δx)＋\r(x))，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))，∴當Δx無限趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))趨近于eq\f(1,2\r(x))，∴當x＝1時導函數值為eq\f(1,2)，即y′|x＝1＝eq\f(1,2).1用導數定義求函數y＝fx在點x0處的導數的步驟：①求函數的增量Δy＝fx0＋Δx－fx0；②求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；,③取極限，得導數f′x0＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).2求函數在某點處的導數，還可以先求出函數的導數，再計算此點處的導數值.提示：可以簡記為：一差、二比、三極限.2．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.[解]∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(3x0＋Δx2－3x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(6x0＋3Δx)＝6x0，又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.求物體運動的瞬時速度[探究問題]1．平均變更率與瞬時變更率有什么聯系？[提示]①區分：平均變更率刻畫函數值在區間x1到x2這一段上變更的快慢，瞬時變更率刻畫函數值在x0點處變更的快慢．②聯系：當Δx趨于0時，平均變更率eq\f(Δy,Δx)趨于一個常數，這個常數即為函數在x0處的瞬時變更率，它是一個固定值．2．Δx趨近于0的含義是什么？[提示]Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的隨意小的正數，且始終Δx≠0.3．導數與瞬時變更率有什么關系？提示：導數是函數在x0及其旁邊函數的變更量Δy與自變量的變更量Δx之比的極限，它是一個局部性的概念，若eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)存在，則函數y＝f(x)在x0處有導數，否則不存在導數．【例3】某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時的瞬時速度．[思路探究]eq\x(求函數增量Δs)→eq\x(求\f(Δs,Δt))→eq\x(求極限)[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物體在t＝1s處的瞬時變更率為3，即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.1．(變結論)若本例條件不變，試求物體的初速度．[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物體在t＝0處的瞬時變更率為1，即物體的初速度為1m/s.2．(變結論)若本例的條件不變，試問物體在哪一時刻瞬時速度為9m/s.[解]設物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝2t0＋1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時的瞬時速度為9m/s.1不能將物體的瞬時速度轉化為函數的瞬時變更率是導致無從下手解答本題的常見問題.2求運動物體瞬時速度的三個步驟①求時間變更量Δt和位移變更量Δs＝st0＋Δt－st0.②求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).③求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于的常數v即為瞬時速度，即v＝s′t0.1．思索辨析(1)函數在某一點的導數與Δx的正、負無關． ()(2)瞬時變更率是刻畫某函數值在區間[x1，x2]上變更快慢的物理量． ()(3)在導數的定義中，Δx，Δy都不行能為零． ()[提示](1)√(2)×(3)×2．一質點的運動方程是s＝4－2t2，則在時間段[1,1＋Δt]內相應的平均速度為()A．2Δt＋4 B．－2Δt－4C．4 D．－2Δt2－4ΔtB[eq\x\to(v)＝e