高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2023-2024學年高一上學期期末學業水平測試數學試題一、單選題.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，所以.故選：C.2.若，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，，則，即由推不出且，故充分性不成立；若且，則，即由且推得出，即必要性成立，所以“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.3.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由且.故選：C.4.為了得到函數的圖象，只需把函數圖象上的所有的點（）A.向左平移1個長度單位 B.向右平移1個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向右平移個長度單位【答案】D【解析】由于，為了得到函數的圖象，只需把函數圖象上的所有的點向右平移個長度單位.故選：D.5.若函數是奇函數，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由于函數是奇函數，故時，，則，故.故選：B.6.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故，即，得，則，且，所以，所以，則，故.故選：B.7.已知，，且，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】D【解析】由得，其中，，所以，當且僅當，即，則，時，等號成立，故的最小值為9.故選：D.8.已函數，若對于定義域內任意一個自變量都有，則的最大值為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】若，則恒成立，故符合題意；若.①當即時，，此時函數的定義域為，所以恒成立，所以：符合題意；②當即時，，此時函數的定義域為，則，所以恒成立，所以：符合題意；③當即時，函數的定義域為且，則取，則，令，當時，，可以取得負值，故不符合題意，若，則函數定義域為且，令，則，當且時，，可以取得負值，故不符合題意；綜上，，即的最大值為.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的或不選的得0分．9.下列各式的值為的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】對于A，，A正確；對于B，，B正確，對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：ABD.10.下列函數的值域為且在定義域上單調遞增的函數是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根據冪函數的性質及函數圖象的平移變換可知：在上單調遞增且值域為，故A符合題意；根據指數函數的圖象和性質可得：的值域為，故B不符合題意；根據對數函數的圖象和性質可得：在上單調遞增，值域為，故C符合題意；根據反比例函數的圖象和性質可知：，在和上單調遞增，但在定義域上不單調，故D不符合題意.故選：AC.11.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數”：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，也叫取整函數，則下列敘述正確的是（）A.B.函數有3個零點C.的最小正周期為D.的值域為【答案】ACD【解析】對于A，，A正確；對于B，當時，，則，此時為的零點，有無數個，B錯誤；對于C，在區間上，，結合的最小正周期為，由此可得的最小正周期為，C正確；對于D，結合C的分析可知的值域為，D正確.故選：ACD.12.已知函數在區間上單調遞增，則下列判斷中正確的是（）A.的最大值為2B.若，則C.若，則D.若函數兩個零點間的最小距離為，則【答案】ABD【解析】函數在區間上單調遞增，所以該函數的最小正周期T滿足,所以，當時，成立，所以的最大值為2，A正確；因為在區間上單調遞增，故有：，當時，，所以，所以，，所以，又，故，可得，故B正確；由于，故當時，，故C錯誤；令，兩個零點分別設為，，則：，因為，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.的值為_______．【答案】10【解析】原式.14.已知函數的定義域為，且滿足，，則可以是_______．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由題意：函數的定義域為，且，所以為奇函數；又，所以是以2為周期的周期函數；所以的解析式可以為：（答案不唯一）.15.已知，，則的值為_______．【答案】【解析】因為，又，所以且，所以；.所以：.16.已知下列五個函數，從中選出兩個函數分別記為和，若的圖象如圖所示，則_________．【答案】【解析】如圖可知，的定義域為，可知一定包含這一函數，且一定不包含這一函數，又函數不是奇函數，所以不成立；所以只有兩種可能：或.若，當時，，，所以，與圖象不符，故不成立；若，當時，單調遞減，單調遞減，所以在上遞減；當時，，當且僅當即時取“”.所以上遞減，在上遞增，符合題意.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）當時，求；（2）若，求實數a的值．解：（1）依題意解得：，當時，或，此時或，.（2）由可知．因為，；當，即時，，符合題意，當，即時，或，則或，此時不存在；當，即時，或，則或，此時不存在，所以．18.如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，角和角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于點A、B兩點，點A的橫坐標為，點C與點B關于x軸對稱．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）因為點的橫坐標為，且，點在第一象限，所以點縱坐標為，所以，.所以.（2）因為，由圖可知：.而，故（）（），所以.19.已知函數（，且）是定義在R上的奇函數．（1）求a的值；（2）若關于t方程在有且僅有一個根，求實數k的取值范圍．解：（1）因為函數是上的奇函數，所以恒成立.所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以.（2），設，則，因為在上單調遞增，所以，又，所以即，所以是上的增函數.在上只有一解.問題轉化為：關于的一元二次方程在只有一解.設.①若或.當時，，故符合題意；當時，，故不符合題意；②若，或，在只有一解，故符合題意；若，方程或，在上有兩解，故不符合題意；③若，此時方程在上只有一解.綜上可知：.20.設函數.（1）求函數的對稱中心；（2）若函數在區間上有最小值，求實數m的最小值．解：（1）令，則，故函數的對稱中心為.（2），函數在區間上有最小值，即區間上有最小值，而，即需，則，即實數m的最小值為.21.為了進一步增強市場競爭力，某公司計劃在2024年利用新技術生產某款運動手表，經過市場調研，生產此款運動手表全年需投入固定成本100萬，每生產（單位：千只）手表，需另投入可變成本萬元，且，由市場調研知，每部手機售價萬元，且全年生產的手機當年能全部銷售完.（利潤=銷售額-固定成本-可變成本）（1）求2024年的利潤（單位：萬元）關于年產量（單位：千只）的函數關系式．（2）2024年的年產量為多少（單位：千只）時，企業所獲利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）依題意，當時，，當時，，故.（2）若，，當時，，若，，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，，又，故年的年產量為千只時，企業所獲利潤最大，最大利潤是萬元．22.已知函數.（1）若函數有4個零點，求證：；（2）是否存在非零實數m．使得函數在區間上的取值范圍為？若存在，求出m的取值范圍．若不存在，請說明理由．解：（1）證明：因為函數有4個零點，所以方程有4個不同的解，于是方程，都各有兩個不同的解，即