高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市鄠邑區2024屆高三上學期期末考試文科數學試題一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為集合，，所以，故選：B2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，故選：C3.拋物線的準線方程是（）A B.C. D.【答案】C【解析】因為拋物線方程為，即，所以，即，所以拋物線的準線為故選：C4.跑步是一項健康的運動，可以讓我們的身體更加強壯.某跑步愛好者堅持每天跑步，如圖，這是該跑步愛好者某周跑步時長的折線圖.該跑步愛好者這周跑步時長的中位數是（）A.25 B.35 C.37.5 D.39【答案】B【解析】將該跑步愛好者這周的跑步時長按從小到大的順序排列為，則該跑步愛好者這周跑步時長的中位數是35.故選：B.5.某企業舉辦職工技能大賽，經過層層選拔，最終進入決賽.假設這3名職工水平相當，則沒有獲得這次職工技能大賽第一名的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知最終的排名情況有，共6種，其中符合條件的情況有，共4種，故所求概率.故選：B.6.已知函數，若，則（）A. B.1 C.-5 D.5【答案】A【解析】設，則，所以，即，所以.因為，所以.故選：A7.設數列是遞增的等比數列，公比為，前項和為.若，則（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】A【解析】由題意可得，整理得，解得或，而，且數列是遞增的等比數列，所以不符合題意，所以，則1，故.故選：A.8.如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，交于點，取的中點，連接.因為，所以與所成的角為（或其補角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故選：C9.已知函數，對任意的，關于的方程有兩個不同實根，則整數的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由，即，得，設，則，顯然是上的增函數.因為，所以存在，使得，即；當時，，當時，0，則；令，則，當時，，在上單調遞減，因為，所以，則，又為整數，所以.故選：A10.已知為第一象限角，若函數的最大值是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得：，則，解得，且為第一象限角，則，故.故選：D.11.已知是邊長為8的正三角形，是的中點，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在三棱錐中，平面，由二面角為，，得是正三角形，令其外接圓圓心為，則，令三棱錐外接球的球心為，球半徑為，則平面，即有，顯然球心在線段的中垂面上，令線段的中垂面交于，則，顯然，于，四邊形是平行四邊形，且是矩形，而，因此，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C12.已知雙曲線的左頂點為是雙曲線的右焦點，點在直線上，且的最大值是，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，直線與軸交于點，設，則.因為，所以,.因為，當且僅當時，等號成立，所以，整理得，則，解得.故選：B二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實數滿足則的最小值是__________.【答案】【解析】畫出可行域如圖：且，，由，故表示斜率為的直線在軸上的截距，所以當直線經過時，取得最大值，所以取得最小值，最小值為.故答案為：14.設公差不為零的等差數列的前項和為，若，則__________.【答案】【解析】由等差數列性質可得，則，又.故答案為：15.在中，在上，且，在上，且.若，則__________.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，因為，所以，則，因為，所以，則.故答案為：16.已知函數，若，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】如圖，做出函數的圖象，設，則，不妨設：.則，，從而.因為，且，所以，所以，則.故答案為：三?解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，內角的對邊分別是，且.（1）求的值；（2）若的周長為18，求的面積.解：（1）因為，，所以因為，所以，則.（2）因為，所以.因為，所以，解得.因為的周長為18，所以，解得，則.故的面積為.18.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將20只小鼠均分為兩組：對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.測得20只小鼠體重（單位：）如下：對照組：實驗組：對照組和實驗組的小鼠體重的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為和.（1）求；（2）判斷該藥物對小鼠的生長是否有顯著的抑制作用（若，則認為該藥物對小鼠的生長有顯著的抑制作用，否則不認為有顯著的抑制作用）.解：（1），（2）依題意，，，所以該藥物對小鼠的生長沒有顯著的抑制作用.19.如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點.（1）證明：平面.（2）求點到平面的距離.證明：（1）取的中點，連接.因為為圓弧的兩個三等分點，所以.因為分別為的中點，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因為平面平面，所以平面.解：（2）作，垂足為，連接.由平面，平面，所以，又平面，所以平面.因為為圓弧的兩個三等分點，所以，則.因為是邊長為4的等邊三角形，所以.因為是的中點，所以，則三棱錐的體積.因為，所以，則.設點到平面的距離為，則三棱錐的體積.因為，所以，解得，即點到平面的距離為.20.已知橢圓的離心率是，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程.（2）直線與橢圓交于（異于點）兩點，記直線的斜率分別為，且，試問直線是否恒過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.解：（1）由題意可得，解得，，，則橢圓的標準方程為.（2）當直線的斜率為時，設，因為，則，從而，因為在橢圓上，所以，所以，則，不符合題意;當直線的斜率不為0時，設直線，聯立，整理得，由題意可知，則，因為，所以，則，因為，所以，所以，將代入上式，得，則，整理得，即，因為，所以，故直線過定點.21.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：.解：（1），則，因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.證明：（2）的定義域為，要證明，只需證.設函數，則.當時，；當時，.所以.設函數，則，所以恒成立，從而，故（二）選考題：共10分.請考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分.[選修坐標系與參數方程]（10分）22.在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程是.（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）是圓上的動點，求點到直線的距離的最大值.解：（1）由（為參數），得，即，則直線的普通方程為.由，得，即，則圓的直角坐標方程為.（2）由（1）可知圓的圓心坐標為，半徑為2，則圓心到直線的距離，故點到直線的距離的最大