專題38中考最值難點突破胡不歸問題（原卷版）模塊一典例剖析+針對訓練類型一有輔助角(隱含輔助角)典例1點P在直線上運動“胡不歸“問題【數學故事】從前，有一個小伙子在外地學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路．由于思鄉心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所心以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭．鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？何以歸”．這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風靡千百年的“胡不歸問題”．針對訓練1．（2022春?江漢區月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的邊AC上的高，點P是BD上動點，則32BP+CP的最小值是2．（2021春?麗水期中）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點．求：（1）當PD＝時，PB最短；（2）PB+12PD的最小值等于3．（2017春?農安縣校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，?3），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標；（2）點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，求點M的坐標；（3）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求12PB+PD類型二構造輔助角典例2（2021春?金牛區期末）如圖，長方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，點P是線段AD上一動點，連接BP，則BP+12DP的最小值為針對訓練1．（2019?灞橋區校級一模）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E為線段AB上一動點，連接CE，則12AE+CE的最小值為

2．（2020秋?宜興市期中）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（25，0），點B為（0，1），若C為線段OA上一動點，則BC+23AC的最小值是3．（2016?隨州中考）如圖所示，已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經過點A的直線y=?3x+b與拋物線的另一個交點為D（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數解析式；（2）若在第三象限內的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標；（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B出發，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒233個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點

類型三求PA＋kPB＋PC最短問題典例3（2022秋?雨花臺區校級月考）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小．這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當△ABC三個內角均小于120°時，費馬點P在△ABC內部，當∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°時，則PA+PB+PC取得最小值．（1）如圖2，等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數，為了解決本題，我們可以將△APB繞頂點A旋轉到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；知識生成：怎樣找三個內角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點．請同學們探索以下問題．（2）如圖3，△ABC三個內角均小于120°，在△ABC外側作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過△ABC的費馬點．（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．針對訓練1．（2021春?郫都區校級期中）如圖，已知邊長為2的等邊△ABC，平面內存在點P，則PA+3PB+PC的取值范圍為

2．（2018秋?江岸區校級月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為22，則BC＝．模塊二2023中考押題預測1．（2023春?將樂縣校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023?合肥一模）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，點E為BD上動點，連接AE，則AE+1A．1 B．2 C．3 D．23．（2022秋?任城區校級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+55A．35 B．65 C．53 D．10

4．（2023?邗江區校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?49x2+83x與x軸的正半軸交于點A，A．24 B．25 C．30 D．365．（2022?平南縣二模）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點E為AC中點，D是BE上的一個動點，則CD+1A．3 B．33 C．6 D．6．（2022春?覃塘區期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是邊BC的中點，P是對角線BD上的一個動點，連接AE，AP，若AP+12A．AB B．AE C．BD D．BE7．（2022春?新羅區校級月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于點E，BE＝2AE，D是線段BE上的一個動點，則CD+55A．25 B．45 C．55 D．108．（2021?澄海區期末）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+3x﹣4的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則PQ+22A．6 B．2+322 C．2+329．（2022?南山區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則AB＝2BC．請在這一結論的基礎上繼續思考：若AC＝2，點D是AB的中點，P為邊CD上一動點，則AP+12A．1 B．2 C．3 D．210．（2022春?武漢期末）如圖，?ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P為邊CD上一點，則3PD+2PB最小值為．11．（2023春?姑蘇區校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=33x?3分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+12．（2022?馬鞍山一模）如圖，AC垂直平分線段BD，相交于點O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（1）∠ABC＝．（2）E為BD邊上的一個動點，BC＝6，當AE+12BE最小時BE13．（2021秋?福清市期末）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面積為3，點P為BD上動點，連接AP，則AP+12BP的最小值為14．（2021秋?北碚區校級期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動點，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動點，F是CM上靠近C的四等分點，連接AE、BE、NF，當△CFN面積最小時，12BE+AE的最小值為15．（2021秋?亭湖區期末）如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點A（﹣3，0），B（1，0）．根據教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個結論：在Rt△ABC中，AB＝2BC．請在這一結論的基礎上繼續思考：若點D是AB邊上的動點，則CD+12AD的最小值為16．（2021秋?宜興市期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點C沿BE折疊與AB上的點D重合．連接DE，請你探究：BCAB=；請在這一結論的基礎上繼續思考：如圖②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，點G是OM邊上的動點，則PG+117．（2021秋?汕尾期末）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則C點的坐標是，2PD+PC的最小值是18．（2021秋?縉云縣期末）如圖，在直角坐標系中，點M的坐標為（0，2），P是直線y=3x（1）∠MOP＝．（2）當MP+12OP的值最小時，點P的坐標是

19．（2022秋?碑林區校級期末）問題提出（1）如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P為高AE上的動點，過點P作PH⊥AC于H，則PHAP的值為問題探