專題33中考命題核心元素一次函數的K值妙用（解析版）模塊一典例剖析+針對訓練類型1k與特殊角k值與特殊角角的關系：當k＝±1時?與x軸的夾角為45°；當k＝±eq\f(\r(3),3)時?與x軸的夾角為30°；當k＝±eq\r(3)時?與x軸的夾角為60°.1．（2020?堯都區模擬）如圖所示，已知點A坐標為（6，0），直線y＝x+b（b＞0）與y軸交于點B，連接AB，∠α＝75°，則b的值為（）A．23 B．33 C．3 D．63思路引領：根據直線y＝x+b可以求得∠BCO的度數，然后根據三角形的外角和不相鄰內角的關系可以求得∠BAO的度數，再根據銳角三角函數即可求得b的值．解：設直線y＝x+b與x軸交于點C，將y＝0代入y＝x+b，得x＝﹣b，將x＝0代入y＝x+b，得y＝b，∴OB＝OC＝b，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠α＝75°，∠α＝∠OCB+∠BAC，∴∠BAC＝30°，即∠BAO＝30°，∵點A（6，0），∠BOA＝90°，點B（0，b），∴OA＝6，OB＝b，∴tan30°=b解得，b＝23，故選：A．總結提升：本題考查一次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和數形結合的思想解答．針對訓練1．（2022?高新區二模）如圖，一次函數y＝x+22的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，把直線AB繞點B順時針旋轉30°交x軸于點C，則線段AC長為．思路引領：根據一次函數表達式求出點A和點B坐標，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設CD＝AD＝x，結合旋轉的度數，用兩種方法表示出BD，得到關于x的方程，解之即可．解：∵一次函數y＝x+22的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，令x＝0，則y＝22．令y＝0，則x＝﹣22，則A（﹣22，0），B（0，22），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB=(2過點C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設CD＝AD＝x，∴AC=A由旋轉的性質可知∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD=B又BD＝AB+AD＝4+x，∴4+x=3x解得：x＝23+∴AC=2x=2（23+2）＝26故答案是：26+22總結提升：本題考查了一次函數與坐標軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關鍵是作出輔助線，構造特殊三角形．2．（2015?黃岡中學自主招生）在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數y＝x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為23，則a的值是思路引領：過P點作PE⊥AB于E，過P點作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．分別求出PD、DC，相加即可．解：過P點作PE⊥AB于E，過P點作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．∵AB＝23，∴AE=3，PA∴PE＝1．∵點D在直線y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD=2∵⊙P的圓心是（2，a），∴點D的橫坐標為2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD+DC＝2+2故答案為：2+2總結提升：本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，題中運用圓與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．注意函數y＝x與x軸的夾角是45°．類型2k與平移直線的平移規律：上加下減，左加右減．典例2（2022?通州區二模）一次函數y=34x+3與y=34x+A．﹣8或2 B．8或﹣2 C．5或﹣5 D．﹣1或7思路引領：設直線y=34x+3與坐標軸交于A（0，3），B（﹣4，0），直線y=34x+n與y軸交于點P，作PM⊥AB于M．由△ABO∽△APM，得PMBO=APAB，因為AB=32+42=5，所以解：如圖，∵不妨設直線y=34x+3與坐標軸交于A（0，3），B（﹣4，0），直線y=34x+n與y軸交于點P，作PM⊥∵△ABO∽△APM，∴PMBO∵AB=3∴44∴PA＝5，∴點P坐標為（0，﹣2），∴n＝﹣2，根據對稱性可知，當n＝8時，也滿足條件．故選：B．總結提升：本題考查兩條直線平行問題，相似三角形的判定和性質，解此題的關鍵是求出PA的長．針對訓練1．（2021?朝陽區二模）若一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象可以由y＝2x的圖象平移得到，且經過點（0，1），則這個一次函數的表達式為．思路引領：根據一次函數平移時k不變可知k＝2，然后把（0，1）代入求出b的值即可．解：∵一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象可以由y＝2x的圖象平移得到，∴k＝2，∵一次函數y＝2x+b的圖象經過點（0，1），∴b＝1，∴一次函數表達式為y＝2x+1．故答案為y＝2x+1．總結提升：本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知一次函數平移的性質是解答此題的關鍵．2．（2017?易縣模擬）如圖，直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以OA為邊在x軸的下方作等邊三角形OAC，將點C向上平移m個單位長度，使其對應點C′恰好落在直線AB上，則m＝（）A．2?3 B．2+3 C．4?3思路引領：由一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，結合等邊三角形的性質即可得出點C的坐標，再將點C的橫坐標代入直線AB中可求出點C′的坐標，由點C、C′的坐標可得出m的值．解：當y＝2x+4＝0時，x＝﹣2，∴點A的坐標為（﹣2，0）．∵△OAC為以OA為邊的等邊三角形，∴點C的坐標為（﹣1，?3當x＝﹣1時，y＝2x+4＝2，∴點C′的坐標為（﹣1，2），∴m＝2﹣（?3）＝2+故選：B．總結提升：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、等邊三角形的性質以及平移，根據一次函數圖象上點的坐標特征結合等邊三角形的性質找出點C、C′的坐標是解題的關鍵．類型3k與折疊典例3（2014秋?溫江區校級期中）如圖，直線y=?3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，O為原點，若把△AOB沿著直線AB翻折，點O落在點C處，則點C的坐標是思路引領：如圖，作輔助線，首先求出OA、OB、OC的長，進而證明△OAB∽△ECO，求出OE、CE的長即可解決問題．解：如圖，連接OC，交AB于點D；過點C作CE⊥x軸于點E；由題意得：OD＝CD，OD⊥AB；對于直線y=?3x+3，當x＝0時，y=3；當y∴OA＝1，OB=3；AB由面積公式：12∴OD=32，OC＝2OD方法①：∵OD⊥AB，OA⊥OB，∴∠OBA＝∠COE，而∠BOA＝∠OEC，∴△OAB∽△ECO，∴ABOC=OBOE=OACE，而OA＝1，∴OE=32，CE方法②：可得OB=3，OA則∠OBA＝30°，則∠OBC＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠EOC＝30°，∴CE=32，OE∴點C的坐標為（32，3故答案為：（32，3總結提升：該題以直角坐標系為載體，以翻折變換為方法，以相似三角形的判定及其性質的應用為考查的核心構造而成；對綜合的分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求．針對訓練1．（2020?黑河一模）如圖，直線y＝kx+4與x，y軸分別交于A，B兩點，以OB為邊在y軸左側作等邊三角形OBC，將△OBC沿y軸翻折后，點C的對應點C′恰好落在直線y＝kx+4上，則k的值為（）A．3 B．﹣1 C．?33 思路引領：由等邊三角形的性質和折疊的性質得出∠ABO＝∠OBC＝60°，由三角函數求出OA，得出點A的坐標，代入直線y＝kx+4求出k即可．法一、解：∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°，∵直線y＝kx+4，當x＝0時，y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，由折疊的性質得：∠ABO＝∠OBC＝60°，∵∠AOB＝90°，∴OA=3OB＝43∴A（43，0），把點A（43，0）代入直線y＝kx+4得：43k+4＝0，解得：k=?3故選：C．法二、解：如圖，過點C作CD⊥y軸于點D，∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°，CD平分∠BCO，點D是OB的中點，∴∠BCD＝∠OCD＝30°，∵直線y＝kx+4，當x＝0時，y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，OD＝2，∴CD=3OD＝23∴C（﹣23，2），∵點C和點C′關于y軸對稱，∴C′（23，2），把點C′（23，2）代入直線y＝kx+4得：23k+4＝2，解得：k=?3故選：C．總結提升：本題考查了等邊三角形的性質、翻折變換的性質、三角函數、求一次函數的解析式；熟練掌握翻折變換和等邊三角形的性質是解決問題的關鍵．2．（2014?濟南）如圖，直線y=?33x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB沿直線AB翻折后得到△AO′B，則點OA．（3，3） B．（3，3） C．（2，23） D．（23，4）思路引領：作O′M⊥y軸，交y于點M，O′N⊥x軸，交x于點N，由直線y=?33x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求出B（0，2），A（23，0），和∠BAO＝30°，運用直角三角形求出MB和MO′，再求出點O解：如圖，作O′M⊥y軸，交y于點M，O′N⊥x軸，交x于點N，∵直線y=?33x+2與x軸、y軸分別交于A、∴B（0，2），A（23，0），∴∠BAO＝30°，由折疊的特性得，O′B＝OB＝2，∠ABO＝∠ABO′＝60°，∴MB＝1，MO′=3∴OM＝3，ON＝O′M=3∴O′（3，3），故選：A．總結提升：本題主要考查了折疊問題及一次函數問題，解題的關鍵是運用折疊的特性得出相等的角與線段．類型4k與旋轉典例4（2021?寬城區一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點B逆時針旋轉90°后得到△A1O1B，則點A1的坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）思路引領：先根據函數圖象分別求出OA、OB的長度，再通過旋轉之后對應邊相等可求出點A1的坐標．解：由函數圖象得B點的坐標為（0，4），將y＝0代入y＝2x+4，可得x＝﹣2，故A點的坐標為（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝4，∴BO1＝OB＝4，故A1的橫坐標為4，又∵A1O1＝OA＝2，故A1的縱坐標為2，∴點A1的坐標是（4，2）．故選：B．總結提升：本題主要考查一次函數與幾何圖形結合在一起的應用，旋轉前后對應邊長度不變是解題的關鍵．針對訓練1．（2019?自貢模擬）如圖，平面直角坐標系中，已知點P（2，2），C為y軸正半軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線OP交于點A，且BD＝4AD，直線CD與直線OP交于點Q，則點Q的坐標為．思路引領：過點P作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F．首先證明△CPE≌△PDF，得到DF＝PE＝2，推出BD＝BF+DF＝4，由BD＝4AD，推出AD＝1，AB＝OB＝5，CE＝PF＝3，D（5，4），C（0，5），利用待定系數法求出直線CD的解析式，利用方程組即可求出點Q的坐標．解：過點P作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F．∵AB⊥OB，∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，∴四邊形EOBF是矩形，∵P（2，2），∴OE＝PE＝BF＝2，∵∠CPD＝90°，∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，∴∠ECP＝∠DPF，在△CPE和△PDF中，∠PEC=∠PFD∠PCE=∠DPF∴△CPE≌△PDF（AAS），∴DF＝PE＝2，∴BD＝BF+DF＝4，∵BD＝4AD，∴AD＝1，AB＝OB＝5，∴CE＝PF＝3，∴D（5，4），C（0，5），設直線CD的解析式為y＝kx+b則有b=55k+b=4，解得k=?∴直線CD的解析式為y=?15由y=xy=?15∴點Q的坐標為（256，25當點D在直線OP的上方時，同法可得C（0，3），D（3，4），∴直線CD的解析式為y=13由y=xy=13∴Q（92，9綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為：（256，256）或（92總結提升：本題考查一次函數的應用、待定系數法、全等三角形的判定和性質、二元一次方程組等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會構建一次函數，利用方程組求交點坐標，屬于中考填空題中的壓軸題．2．（2021?南崗區校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+b分別交x、y軸于B、A兩點，且AB＝82．（1）求直線AB的解析式；（2）點C是y軸負半軸上一點，縱坐標為d，點D是直線AB上一點，橫坐標為t，d與t的函數關系為d＝t+4，將線段CD繞點C順時針旋轉90°，得到線段CE，求E點坐標；（3）在（2）的條件下，線段CD交x軸于點M，CE交x軸于點P，G為點P右側x軸上一點，連接GE并延長交直線AB于F，N是線段CE上一點，連接MN，過點E作EK⊥EC交過點A且平行于x軸的直線于點K，連接MK，若MK平分∠DMN，∠PEG＝45°，3AF＝4BD，求點N的坐標．思路引領：（1）由直線關系式表示出OA，OB的長，再利用勾股定理求出b即可；（2）點D是直線AB上一點，橫坐標為t，表示出D的坐標，求出CF的長，將線段CD繞點C順時針旋轉90°通過構造△DCF和△CEG全等，得出E的坐標；（3）連接DE，得DE⊥GF，設BD=32a，則AF=42a，AD=82?32a，AE=42；在Rt△DEF中，根據射影定理AE2＝AB?AF，可得a=23（2舍去），OC＝2；可證四邊形DCEK是正方形，根據半角結論，可知DM+解：（1）直線y＝x+b，令x＝0時，則y＝b，令y＝0時，則x＝﹣b，∴OA＝OB＝b，在Rt△OAB中，AB2＝OB2+OA2，則2b2＝（82）2，解得b＝8，∴直線AB的解析式為：y＝x+8；（2）如圖1，過點D作DF∥x軸交y軸于點F，過點E作GE⊥y軸于點G，∵D在直線AB上，D點橫坐標為t，∴D的縱坐標yD＝t+8，∴F點坐標為（0，t+8），∵點C坐標為（0，t+4），∴CF＝t+8﹣（t+4）＝4，在Rt△DFC中，∠FDC+∠DCF＝90°，∵線段CD繞點C順時針旋轉90°，得到線段CE，∴∠ECG+∠DCF＝90°，CD＝CE，∴∠FDC＝∠GCE，在△DCF和△CEG中，∠DFC=∠CGE∠FDC=∠GCE∴△DCF≌△CEG（AAS），∴EG＝CF＝4，CG＝DF＝﹣t，∵OC＝﹣（t+4），∴OG＝CG﹣OC＝﹣t+（t+4）＝4，∴點E的坐標為（4，4）．（3）如圖，連接DE，DK，KN，過D點作DH⊥x軸于點H，由第（2）小問知，E（4，4），CD＝CE，CD⊥CE，∴∠CED＝45°，∵∠PEG＝45°，∴∠DEG＝∠PEG+∠CED＝90°，即DE⊥FG，設BD=32a，AF=42a，則AD=8根據A（0，8），E（4，4）易證△AOE是等腰直角三角形，∠EAO＝45°，又∵△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°，∴∠EAB＝90°，即EA⊥DF，在Rt△DEF中，根據射影定理AE2＝AB?AF，可得a=2∴BD=22，DH＝BH＝2，OC＝2，D（﹣6，2），C（0，﹣2），DC=2由DH＝CO，∠DHM＝∠COM，∠DMH＝∠CMO得，△MDH≌△MCO（AAS），∴DM＝CM=13由AE＝OE，∠EAK＝∠EOC＝135°，∠AEK＝∠OEC，得△EAK≌△EOC（AAS），∴EK＝EC，AK＝OC＝2，K（﹣2，8），根據D（﹣6，2），K（﹣2，8），E（4，4）可得DK＝KE=213∵CD＝CE＝EK＝KD，CD⊥CE，∴四邊形DCEK是正方形，過點K作KQ⊥MN于Q，在Rt△KDM和Rt△KQM中，∠KDM＝∠KQM＝90°，∠KMD＝∠KMQ，AM＝AM，∴△KDM≌△KQM（AAS），∴KD＝KQ，DM＝QM，∵KD＝KE，∴KE＝KQ，在Rt△KEN和Rt△KQN中，KN＝KN，KE＝KQ得，Rt△KEN≌Rt△KQN（HL），∴EN＝QN．在Rt△MCN中，MN＝QM+QN＝DM+EN=13+（EC﹣CN）=313?CN由勾股定理MN2＝CM2+CN2，可得CN=4根據C（0，﹣2），E（4，4）可得直線CE：y=3設N（m，32m?2），可得m∴N的坐標為（83總結提升：本題考查了求一次函數解析式的方法，三角形全等的判定及性質，勾股定理，正方形的性質和判斷等，在第三問中，關鍵之處在于發現四邊形DCEK是正方形，根據半角模型，可得DM+EN＝MN這個數量關系，從而求解的，題目綜合性較強．類型5隱含的k典例5已知點A（4m，3m），且m＞0，點B為x軸正半軸上一點，點P為∠AOB內一點，OP＝5，則△PAB周長的最小值為．思路引領：作點P關于OA，OB的對稱點分別為點E，點F，連接EF，由軸對稱的性質可得OE＝OP＝OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，由△PAB周長＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB，可得當點A，點B，點E，點F共線時，AE+BF+AB的值最小，即最小值為EF，由銳角三角函數可求EH的長，即可求解．解：如圖，作點P關于OA，OB的對稱點分別為點E，點F，連接EF，過點O作OH⊥EF于H，∵點P關于OA，OB的對稱點分別為點E，點F，∴OE＝OP＝OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，∵△PAB周長＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB∴當點A，點B，點E，點F共線時，AE+BF+AB的值最小，即最小值為EF，∵∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，∴∠EOF＝2∠AOB，∵OE＝OF＝5，OH⊥EF，∴EH＝FH，∠EOH=12∠EOF＝∠∵點A（4m，3m），∴tan∠AOB=∴tan∠EOH=EHOH=∴EH＝3∴EF＝6，即△PAB周長的最小值為6故答案為：6總結提升：本題考查了軸對稱﹣最短路徑問題，確定當△PAB周長的最小時點A，點B的位置是本題的關鍵．針對訓練1．（2019秋?和平區校級月考）已知平面直角坐標系內有兩點P（4，2）與Q（a，a+2），當PQ的長最小時，a的值為．思路引領：求直角坐標系內任意兩點間的距離可直接套用兩點間的距離公式，再根據配方法可求PQ的最小值．解：∵直角平面坐標系內有兩點，點P（4，2）與點Q（a，a+2），∴PQ=(a?4∴當a＝2時，PQ的最小值為22．故答案為：2．總結提升：考查了勾股定理和兩點間的距離公式：設有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點間的距離為AB=(2．（2021春?臨潼區期末）如圖，平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線AB分別與x軸、y軸交于點A（5，0），B（0，5），動點P的坐標為（a，a﹣1）．（1）求直線AB的函數表達式；（2）連接AP，若直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，求此時P點的坐標．思路引領：（1）設直線AB的解析式為y＝kx+b，把點A（5，0），B（0，5）代入可得5k+b=0b=5，求出k、b（2）由題意可知直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，則直線AP經過OB的中點（0，52），設直線AP的解析式為y＝mx+n，把A（5，0），（0，52）代入，即可求出直線AP的解析式，再把P（a，a﹣1）代入即可得求出解：（1）設直線AB的解析式為y＝kx+b，把點A（5，0），B（0，5）代入上式，得5k+b=0b=5解得：k=?1b=5∴直線AB的函數表達式為y＝﹣x+5；（2）∵直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，∴直線AP經過OB的中點（0，52設直線AP的解析式為y＝mx+n，把A（5，0），（0，52得5m+n=0n=解得m=?1∴直線AP的解析式為y=?1把p（a，a﹣1）代入y=?1得?1解得：a=7∴點P的坐標為（73，4總結提升：本題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，熟練應用待定系數法求出函數系數的值是解決本題的關鍵．

一次函數k參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．（2022春?德化縣期中）若一次函數y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的圖象經過點A（﹣2，7），則k的值為（）A．2 B．﹣2 C．23 D．思路引領：利用一次函數圖象上點的坐標特征，即可得出關于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．解：∵一次函數y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的圖象經過點A（﹣2，7），∴7＝﹣2（k﹣3）+（3k﹣1），解得：k＝2，∴k的值為2．故選：A．總結提升：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y＝kx+b是解題的關鍵．2．（2022?海拉爾區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?43x+4分別交x軸，y軸于點A，點B，線段AB上有一點C，點C的橫坐標為65，過點C的直線y＝kx+b與直線AB垂直，交y軸于點D，則不等式kx+A．﹣10 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣1思路引領：先求出C點坐標，再根據CD⊥AB，可得CD的解析式：y=34x+b，代入C點坐標，可得解：將點C橫坐標代入直線y=?43得y=?43×∴C（65，12根據題意，得CD的解析式：y=34x+代入C點坐標，得34解得b=3∴CD的解析式：y=34x當34x+32≥∴負整數解有﹣2，﹣1，∴不等式kx+b≥0的所有負整數解的和為﹣2+（﹣1）＝﹣3，故選：C．總結提升：本題考查了一次函數的解析式，熟練掌握兩直線垂直與一次函數系數的關系以及一次函數與一元一次不等式的關系是解題的關鍵．3．如圖，在等邊三角形ABO中，邊OA在x軸上，點A的坐標為（﹣m，0），直線y=?32x+23與x軸交于點C，與y軸交于點D，將△ABO沿x軸向右平移3個單位，點B的對應點B'恰好落在直線CD上，則點A．（2，3） B．（3，3） C．（2，23） D．（2，2）思路引領：根據等邊三角形表示出點B的坐標，再根據平移的性質得出B'（?12m+3，解：∵在等邊三角形ABO中，邊OA在x軸上，點A的坐標為（﹣m，0），∴B（?1將△ABO沿x軸向右平移3個單位，得到B'（?1∵點B的對應點B'恰好落在直線CD上，∴32解得m＝2，∴B'（2，3），故選：A．總結提升：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，坐標與圖形變換﹣平移，表示出B'的坐標是解題的關鍵．4．（2021秋?河東區期末）如圖，直線y=?33x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB沿直線AB翻折后得到△AO'B，則點A．（32，32） B．（32，2） C．（1，32）思路引領：作O′M⊥y軸，交y軸于點M，O′N⊥x軸，交x軸于點N，由直線y=?33x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求出B（0，1），A（3，0），和∠BAO＝30°，運用直角三角形求出MB和MO′，再求出點O解：如圖，作O′M⊥y軸，交y軸于點M，O′N⊥x軸，交x軸于點N，∵直線y=?33x+1與x軸、y軸分別交于A、∴B（0，1），A（3，0），∴∠BAO＝30°，由折疊的特性得，O′B＝OB＝1，∠ABO＝∠ABO′＝60°，∴MB=12，MO′∴OM=32，ON＝O′M∴O′（32，3故選：A．總結提升：本題主要考查了折疊問題及一次函數問題，解題的關鍵是運用折疊的特性得出相等的角與線段．5．（2021?深圳模擬）如圖，直線AB：y＝﹣3x+9交y軸于A，交x軸于B，x軸上一點C（﹣1，0），D為y軸上一動點，把線段BD繞B點逆時針旋轉90°得到線段BE，連接CE，CD，則當CE長度最小時，線段CD的長為（）A．10 B．17 C．5 D．27思路引領：如圖，設D（0，m）．由題意得到B（3，0），求得OD＝m，OB＝3，過E作EH⊥x于H，根據旋轉的性質得到∠DBE＝90°，BD＝BE，根據全等三角形的性質得到EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，根據勾股定理得到CE=CH2+EH2=解：如圖，設D（0，m）．由題意：B（3，0），∴OD＝m，OB＝3，過E作EH⊥x于H，∴∠EHB＝∠BOD＝90°，∵把線段BD繞B點逆時針旋轉90°得到線段BE∴∠DBE＝90°，BD＝BE，∴∠ODB+∠OBD＝∠OBD+∠EBH＝90°，∴∠BDO＝∠EBH，∴△BOD≌△EHB（AAS），∴EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，∵點C（﹣1，0），∴OC＝1，∴CH＝4﹣m，∴CE=C∴當m＝4時，CE長度最小，∴D（0，4），∴OD＝4，∴CD=O故選：B．總結提升：本題考查一次函數圖象上的點的特征，坐標與圖形的變化，旋轉變換、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題，學會利用參數構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二．填空題（共6小題）6．（2021秋?潤州區校級月考）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（2，﹣1），點P在y軸上，當PA+PB的值最小時，P的坐標是．思路引領：如圖，作點A關于y軸的對稱點A′，連接BA′交y軸于P，連接PA，點P即為所求．求出直線BA′的解析式即可解決問題．解：如圖，作點A關于y軸的對稱點A′，連接BA′交y軸于P，連接PA，點P即為所求．設直線BA′的解析式為y＝kx+b，∵A′（﹣1，2），B（2，﹣1），則有：?k+b=22k+b=?1解得k=?1b=1∴直線BA′的解析式為y＝﹣x+1，∴P（0，1），故答案為：（0，1）．總結提升：本題考查軸對稱最短問題，一次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，學會構建一次函數解決交點坐標問題．7．（2022?南京模擬）已知A（2，5），B（m，0）是平面直角坐標系xOy中的兩點，這兩點之間的距離的最小值為．思路引領：根據點A和點B的坐標，可以表示出兩點之間的距離，然后根據非負數的性質，即可得到這兩點之間的距離的最小值．解：∵A（2，5），B（m，0），∴AB=(2?m∵（2﹣m）2≥0，∴當m＝2時，AB取得最小值5，故答案為：5．總結提升：本題考查勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用非負數的性質求最值．8．（2022?大同模擬）如圖，一次函數y＝﹣x+1的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，把直線AB繞點B逆時針旋轉30°后，直線交x軸于點C，則線段AC的長為．思路引領：根據一次函數表達式求出點A和點B坐標，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設CD＝AD＝x，結合旋轉的度數，用兩種方法表示出BD，得到關于x的方程，解之即可．解：∵一次函數y＝﹣x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，令x＝0，則y＝1．令y＝0，則x＝1，則A（1，0），B（0，1），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB=2過點C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設CD＝AD＝x，∴AC=AD由旋轉的性質可知∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD=BC又BD＝AB+AD=2+∴2+x=3解得：x=2∴AC=2x=故答案是：3+總結提升：本題考查了一次函數與坐標軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關鍵是作出輔助線，構造特殊三角形．9．（2021春?綿陽期末）先將函數y＝kx+1（k≠0）的圖象向下平移2個單位長度，再將函數y＝3x+b的圖象向上平移1個單位長度，若平移后的兩個函數的圖象重合，則2k?3b=思路引領：直接根據“上加下減，左加右減”的原則即可求得k、b的值，代入計算即可．解：將函數y＝kx+1（k≠0）的圖象向下平移2個單位長度，所得函數為y＝kx﹣1，將函數y＝3x+b的圖象向上平移1個單位長度，所得函數為y＝3x+b+1，∵平移后的兩個函數的圖象重合，∴k＝3，b+1＝﹣1，∴b＝﹣2，∴2k?3b=6+6=故答案為：23．總結提升：本題主要考查了一次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．10．（2022秋?內丘縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，將直線AB繞點A順時針旋轉90°，則旋轉后的直線的函數表達式為．思路引領：根據一次函數y＝﹣2x+4的圖像與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，得到A（2，0），B（0，4），得到AO＝2，BO＝4，根據旋轉的性質得到△BAO∽△ACO，得到OC＝1，然后利用待定系數法即可求解．解：∵一次函數y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，∴A（2，0），B（0，4），∴AO＝2，BO＝4，將直線AB繞點A順時針旋轉90°，交y軸于C，根據旋轉的性質得到△BAO∽△ACO，∴OBOA=OA∴OC＝1．∴C（0，1），設直線AC為y＝kx﹣1，代入A（2，0）得2k﹣1＝0，解得k=1∴旋轉后的直線的函數表達式為y=12x故答案為：y=12x總結提升：本題考查了一次函數與幾何變換，旋轉的關系，待定系數法求一次函數的解析式，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．11．（2022春?岳陽樓區期末）如圖，已知一次函數y=?34x+6的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，與直線y=54x相交于點C．過點B作x軸的平行線l，點①點C坐標是；②若點E是直線y=54x上的一個動點，且處于直線AB下方，當△APE是以∠EAP為直角的等腰直角三角形時，點E的坐標是思路引領：①解方程組，求得直線的交點坐標，于是得到結論；②根據一次函數y=?34x+6的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，根據題意畫出圖形，過點A作AM⊥BP于M，過點E作EN⊥x軸于N，證明△MPA≌△NEA（解：①∵一次函數y=?34x+6的圖象與直線y=54∴y=?3解得x=3y=∴點C（3，154故答案為：（3，154②∵一次函數y=?34x+6的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點∴令y＝0，則?34∴x＝8，令x＝0，則y＝6，∴點A、B的坐標分別為：（8，0）、（0，6）；設點E（m，54m）、點P（n如圖，過點A作AM⊥BP于M，過點E作EN⊥x軸于N，∴∠PMA＝∠ENA＝90°，∵BP∥x軸，∴∠MAO＝90°，∴∠MAE+∠NAE＝90°，∵∠MAE+∠MAP＝90°，∴∠MAP＝∠NAE，在△MPA和≌△NEA中，∠PMA=∠ENA∠MAP=∠NAE∴△MPA≌△NEA（AAS），∴MA＝NA＝6，MP＝NE，即54m＝n﹣8，8﹣m＝6，解得：m∴點E（2，52故答案為：（2，52總結提升：本題是一次函數綜合題，考查兩直線平行或相交問題，一次函數的圖象與性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確的作出所需要的輔助線，構造直角三角形．三．解答題（共2小題）12．（2022?天津模擬）如圖，直線y＝x+3交y軸于點A，交x軸于點B，經過點（2，2）且平行于直線y＝﹣2x的直線交x軸于點C，交y軸于點D，交AB于點E．（1）直線CD的解析式為；（2）求△EBC的面積；（3）P是直線AB上的一個動點，過點P作PQ∥y軸，交直線CD于點Q，若PQ＝2AD，求點P的坐標．思路引領：（1）依題意設直線CD的解析式為：y＝﹣2x+b，把（2，2）代入y＝﹣2x+b即可得出答案；（2）由y=x+3y=?2x+6可得E（3）設P（x，x+3），則Q（x，﹣2x+6），得出PQ＝|x+3﹣（﹣2x+6）|，再由PQ＝2AD得，|x+3﹣（﹣2x+6）|＝6，解方程即可得出答案．解：（1）依題意設直線CD的解析式為：y＝﹣2x+b，把（2，2）代入y＝﹣2x+b得：2＝﹣4+b，∴b＝6，∴直線CD的解析式為：y＝﹣2x+6．故答案為：y＝﹣2x+6；（2）由y=x+3y=?2x+6解得x=1y=4∴E（1，4），當y＝0時，0＝x+3，解得：x＝﹣3，∴B（﹣3，0），當y＝0時，0＝﹣2x+6，解得：x